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2025-07-22T13:48:37Z

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Als '''Intervall''' wird in der [[Analysis]], der [[Ordnungstopologie]] und verwandten Gebieten der [[Mathematik]] eine „zusammenhängende“ [[Teilmenge]] einer [[Ordnungsrelationen#Totalordnung|total (oder linear) geordneten]] [[Menge (Mathematik)|Trägermenge]] (zum Beispiel der Menge der [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] <math>\R</math>) bezeichnet. Ein ''(beschränktes)'' Intervall besteht aus allen Elementen <math>x</math>, die man mit zwei begrenzenden Elementen der Trägermenge ('''Intervallgrenzen'''), der ''unteren Grenze'' <math>a</math> und der ''oberen Grenze <math>b</math> des Intervalls,'' der Größe nach vergleichen kann und die im Sinne dieses Vergleichs ''zwischen'' den Grenzen liegen. Dabei können die Grenzen des Intervalls dem Intervall angehören ''(abgeschlossenes Intervall, <math>a\leq x\leq b</math>)'', nicht angehören ''(offenes Intervall <math>a< x < b</math>)'' oder teilweise angehören ''(halboffenes Intervall, <math>a\leq x < b</math>; <math>a < x\leq b</math>).''

Zusammenhängend bedeutet hier: Wenn zwei Objekte in der Teilmenge enthalten sind, dann sind auch alle Objekte, die (in der Trägermenge) dazwischen liegen, darin enthalten. Die wichtigsten Beispiele für Trägermengen sind die Mengen der reellen, der [[Rationale Zahl|rationalen]], der [[Ganze Zahl|ganzen]] und der [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]]. In den genannten Fällen und allgemeiner immer dann, wenn eine [[Subtraktion|Differenz]] zwischen zwei Elementen der Trägermenge erklärt ist, bezeichnet man die Differenz zwischen der oberen und unteren Grenze des Intervalls (<math>b-a</math>) als ''Länge'' des Intervalls oder kurz ''Intervalllänge;'' für diese Differenz ist auch die Bezeichnung ''Intervalldurchmesser'' geläufig. Wenn ein [[arithmetisches Mittel]] der Intervallgrenzen erklärt ist, wird dieses als ''Intervallmittelpunkt'' bezeichnet.

== Beispiele ==
; In der Menge der natürlichen Zahlen
:<math>\{5,6,7,8,9\}</math>
In diesem Fall einer [[diskret]]en Menge sind die Elemente des Intervalls benachbart.
; In der Menge der reellen Zahlen
:<math>[0,1] = \{x \in \R \mid 0 \le x \le 1\}</math>,
die Menge aller Zahlen zwischen 0 und 1, wobei die Endpunkte 0 und 1 mit eingeschlossen sind.

Triviale Beispiele von Intervallen sind die [[leere Menge]] und Mengen, die genau ein Element besitzen. Wenn man diese nicht einschließen möchte, dann spricht man von ''echten Intervallen.''

Die Menge <math>\{5,6,7,8,9\}</math> kann auch als Teilmenge der Trägermenge der reellen Zahlen betrachtet werden. In diesem Fall handelt es sich nicht um ein Intervall, da die Menge zum Beispiel die zwischen 6 und 7 liegenden nichtnatürlichen Zahlen nicht enthält.

Die Trägermenge der reellen Zahlen spielt insofern eine Sonderrolle unter den genannten Trägermengen für Intervalle, als sie [[ordnungsvollständig]] ist (s. a. [[Dedekindscher Schnitt]]). Intervalle sind in diesem Fall genau die im Sinne der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] [[Zusammenhängender Raum|zusammenhängenden]] Teilmengen.

== Bezeichnungs- und Schreibweisen ==
Ein Intervall kann (beidseitig) ''beschränkt'' oder – auch einseitig – ''unbeschränkt'' sein. Es ist durch seine untere und seine obere Intervallgrenze eindeutig bestimmt, wenn zusätzlich angegeben wird, ob diese Grenzen im Intervall enthalten sind.

Es gibt zwei verschiedene häufig verwendete ''Intervallschreibweisen:''
* Bei der häufigeren der beiden verwendet man für Grenzen, die zum Intervall gehören, [[Klammer (Zeichen)#Eckige Klammern|eckige Klammern]] und runde für Grenzen, die nicht zum Intervall gehören. Die eckigen Klammern entsprechen einem schwachen [[Vergleichszeichen|Ungleichheitszeichen]] ≤.<ref name="Senger">{{Literatur |Autor=Jürgen Senger |Titel=Mathematik: Grundlagen für Ökonomen |Verlag=Walter de Gruyter |Datum=2009 |ISBN=978-3-486-71058-8 |Seiten=65 |Online={{Google Buch| BuchID=NyvpBQAAQBAJ| Seite=65}}}}</ref> Die runden Klammern entsprechen einem starken Ungleichheitszeichen <.<ref name="Senger" />
* Bei der anderen Schreibweise werden statt der runden Klammern nach außen gewendete (gespiegelte) eckige verwendet. Im Folgenden werden beide Schreibweisen gezeigt und der ''[[Menge (Mathematik)#Begriff und Notation von Mengen|Mengenschreibweise]]'' gegenübergestellt:

=== Beschränkte Intervalle ===
Sei <math>a < b</math>. Ein ''beschränktes'' Intervall mit der unteren Grenze <math>a</math> und der oberen Grenze <math>b</math> ist ''[[Abgeschlossene Menge|abgeschlossen]],'' wenn es beide Grenzen<ref>topologisch gesehen: seinen [[Rand (Topologie)|Rand]], der hier aus dem linken und dem rechten Randpunkt besteht</ref> enthält, und ''[[Offene Menge|offen]],'' wenn beide Grenzen nicht enthalten sind. Ein ''beschränktes'' Intervall heißt ''halboffen,'' wenn es genau eine der beiden Intervallgrenzen enthält.

==== Abgeschlossenes Intervall ====
: <math>[a, b] := \{x\in\R \mid a\le x \le b\}</math>
Das Intervall enthält im Normalfall (<math>b \ge a</math>) sowohl <math>a</math> als auch <math>b</math>. Im Sonderfall <math>b < a</math> ist das Intervall leer.

Ein Intervall ist genau dann [[Kompaktheit (reelle Zahlen)|''kompakt'']], wenn es abgeschlossen und beschränkt ist.

==== Offenes Intervall ====
: <math>(a,b) = {]a, b[} := \{x \in\R \mid a<x<b\}</math>
Das Intervall enthält weder <math>a</math> noch <math>b</math>. Die Notation <math>(a,b)</math> ist die traditionell verwendete, während <math>{]a,b[}</math> auf [[Nicolas Bourbaki|Bourbaki]] zurückgeht.<ref>{{Internetquelle |url=https://hsm.stackexchange.com/questions/142/why-is-american-and-french-notation-different-for-open-intervals-x-y-vs-x/193#193 |titel=Why is American and French notation different for open intervals (x, y) vs. ]x, y[? |werk=History of Science and Mathematics |datum=2014-10-30 |sprache=en |abruf=2024-08-10 |kommentar=Blog}}</ref>

==== Halboffenes (genauer rechtsoffenes) Intervall ====
: <math>[a,b) = {[a, b[} := \{x \in\R \mid a \le x<b\}</math>
Das Intervall enthält im Normalfall (<math>b > a</math>) zwar <math>a</math>, aber nicht <math>b</math>.

==== Halboffenes (genauer linksoffenes) Intervall ====
:<math>(a,b] = {]a, b]} := \{x \in\R \mid a < x \le b\}</math>
Das Intervall enthält im Normalfall (<math>b > a</math>) zwar nicht <math>a</math>, wohl aber <math>b</math>.

Im Fall von <math>a=0</math> und <math>b=1</math> heißt <math>(0,1)</math> das '''offene Einheitsintervall''' und <math>[0,1]</math> das '''abgeschlossene Einheitsintervall'''.<ref group="A">Das [[reell]]e Einheitsintervall hat den [[Durchmesser]] <math>1</math>, während die [[Euklidischer Raum|euklidischen]] [[Einheitskugel]]n den Durchmesser <math>2</math> haben!</ref>

=== Unbeschränkte Intervalle ===
Wenn auf einer Seite die Intervallgrenze fehlt, es dort also keine Schranke geben soll, spricht man von einem (auf dieser Seite) unbeschränkten Intervall. Meist werden hierfür die bekannten Symbole <math>-\infty</math> und <math>\infty</math> als „Ersatz“-Intervallgrenzen verwendet, die selbst nie<ref Name=erw>Siehe dazu jedoch die abgeschlossenen Intervalle in den [[Erweiterte reelle Zahl#Affiner Fall|erweiterten reellen Zahlen]] <math>\overline{\R}.</math></ref> zum Intervall gehören (deshalb die Schreibung mit runder Klammer). In mancher Literatur werden beschränkte Intervalle auch als ''eigentlich,'' unbeschränkte als ''uneigentlich'' bezeichnet.

; Linksseitig unendliches abgeschlossenes Intervall
:<math>(-\infty, b] = {]{-\infty, b}]} := \{x \in \R \mid x \le b\}</math>
Es enthält alle Zahlen, die kleiner oder gleich <math>b</math> sind.

; Linksseitig unendliches offenes Intervall
:<math>(-\infty, b) = {]{-\infty, b}[} := \{x \in \R \mid x < b\}</math>
Es enthält alle Zahlen, die kleiner als <math>b</math> sind.

; Rechtsseitig unendliches abgeschlossenes Intervall
:<math>[a, \infty) = {[{a, \infty}[} := \{x \in \R \mid a \le x\}</math>
Es enthält alle Zahlen, die größer oder gleich <math>a</math> sind.

; Rechtsseitig unendliches offenes Intervall
:<math>(a, \infty) = {]{a, \infty}[} := \{x \in \R \mid a < x\}</math>
Es enthält alle Zahlen, die größer als <math>a</math> sind.

; Beidseitig unendliches offenes (und zugleich abgeschlossenes) Intervall
:<math>(-\infty, \infty) = {]{-\infty, \infty}[} := \R</math>
Es enthält alle Zahlen zwischen <math>-\infty</math> und <math>+\infty</math>. Dies entspricht der gesamten Menge <math>\R</math> der reellen Zahlen.<ref Name=erw/>

Bei obiger Definition wird übrigens nicht <math>a\leq b</math> gefordert, sodass für <math>a>b</math> jedes Intervall leer ist. Daneben existieren auch je nach Anwendung Definitionen, die solche Intervalle nicht erlauben oder im Falle <math>a>b</math> einfach die Grenzen vertauschen.

Zur Vermeidung von Verwechslungen mit dem [[Dezimalkomma]] wird als Trennzeichen auch das [[Semikolon]] (;), selten auch ein senkrechter Strich (|) verwendet, z. B.
: <math>(0, 2{,}5] = (0; 2{,}5] = (0|2{,}5].</math>

== {{Anker|n-dimensionales Intervall}}''n''-dimensionale Intervalle ==
=== Definition ===
Analog definiert man für <math>n \in \N</math> im ''n''-dimensionalen Raum <math>\R^n</math> ein beliebiges '''''n''-dimensionales Intervall''' ([[Hyperrechteck]])
:<math>I := I_1 \times \dotsb \times I_n</math> mit beliebigen Intervallen <math>I_1, \dotsc, I_n \subseteq \R.</math>

=== Beschränkte ''n''-dimensionale Intervalle ===
Es seien nun <math>a, b \in \R^n</math> mit <math>a = (a_1, \dotsc, a_n)</math> und <math>b = (b_1, \dotsc, b_n)</math>, dann gilt speziell:

; Abgeschlossenes Intervall
:<math>[a, b] := \{(x_1, \dotsc, x_n) \in \R^n \mid a_1 \le x_1 \le b_1, \dotsc, a_n \le x_n \le b_n\}.</math>
; Offenes Intervall
:<math>(a, b) = {]{a, b}[} := \{(x_1, \dotsc, x_n) \in \R^n \mid a_1 < x_1 < b_1, \dotsc, a_n < x_n < b_n\}.</math>
; Halboffenes (genauer rechtsoffenes) Intervall
:<math>[a, b) = {[{a, b}[} := \{(x_1, \dotsc, x_n) \in \R^n \mid a_1 \le x_1 < b_1, \dotsc, a_n \le x_n < b_n\}.</math>
; Halboffenes (genauer linksoffenes) Intervall
:<math>(a, b] = {]{a, b}]} := \{(x_1, \dotsc, x_n) \in \R^n \mid a_1 < x_1 \le b_1, \dotsc, a_n < x_n \le b_n\}.</math>

== Verallgemeinerung ==
In der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] sind reelle Intervalle Beispiele für [[zusammenhängend]]e Mengen, tatsächlich ist eine Teilmenge der reellen Zahlen sogar genau dann zusammenhängend, wenn sie ein Intervall ist. Offene Intervalle sind offene Mengen und abgeschlossene Intervalle sind abgeschlossene Mengen. Halboffene Intervalle sind weder offen noch abgeschlossen. Abgeschlossene beschränkte Intervalle sind [[Kompaktheit (reelle Zahlen)|kompakt]].

Alle hier für die [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] <math> \mathbb{R} </math> gemachten Schreibweisen lassen sich direkt auf beliebige [[Ordnungsrelationen|total geordnete]] Mengen übertragen.

Bei der Übertragung auf [[Halbordnung]]en<ref name="nLab_interval">[https://ncatlab.org/nlab/show/interval interval]. Auf: nLab. Stand: 30. Dezember 2020.</ref> ist zu beachten, dass wegen fehlender Totalität Intervalle „oft“ leer sind.

Bei der Übertragung auf [[Quasiordnung]]en ist zu beachten, dass derartig definierte „Intervalle“ gewöhnlich „viel mehr“ Elemente enthalten. Beispielsweise bekommt man mit der für [[komplexe Zahlen]] <math>a, b\in\mathbb C</math> über den [[Absoluter Betrag|Absolutbetrag]] per „<math>a \leq b</math> genau dann, wenn <math>|a|\leq|b|</math>“ festgelegten Quasiordnung im Normalfall Kreisscheiben in der komplexen Zahlenebene. Eine analoge Definition im Fall eines [[Metrischer Vektorraum|metrischen]] oder allgemeiner [[normierter Vektorraum|normierten Vektorraums]] ergeben im Normalfall Kugelschalen o. Ä.

== Siehe auch ==
* [[Intervallarithmetik]]
* [[Intervallschachtelung]]

== Literatur ==
* Harro Heuser: ''Lehrbuch der Analysis''. Teil 1. 5. Auflage. Teubner-Verlag, 1988, ISBN 3-519-42221-2, S. 84

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Mathe für Nicht-Freaks: Intervall}}

== Einzelnachweise ==
<references />

== Anmerkungen ==
<references group="A" />

[[Kategorie:Ordnungstheorie]]
[[Kategorie:Geometrie]]
[[Kategorie:Analysis]]

Intervall (Mathematik) - Versionsgeschichte

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