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2022-07-23T18:36:23Z

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[[Bild:Triangle-tikz.svg|miniatur|Innenwinkel α, β, γ eines Dreiecks]]

Die '''Innenwinkel''' eines [[Polygon]]s sind in der [[Geometrie]] die [[Winkel]], die durch zwei benachbarte Polygonseiten eingeschlossen werden und im [[Innerer Punkt|Inneren]] des Polygons liegen. Die [[Ecke]]n des Polygons bilden dabei die [[Scheitelpunkt (Winkel)|Scheitelpunkte]] der Innenwinkel. Jedes <math>n</math>-Eck besitzt genau <math>n</math> Innenwinkel. In einem nicht-[[Überschlagenes Polygon|überschlagenen]] Polygon hängt die [[Innenwinkelsumme]] nur von der Anzahl der Ecken des Polygons ab. Ein [[Nebenwinkel]] eines Innenwinkels, der durch Verlängerung einer Polygonseite entsteht, wird [[Außenwinkel]] genannt.

== Bezeichnungen ==

Werden die Ecken eines Polygons mit <math>A,B,C,\ldots</math> bezeichnet, so werden die Innenwinkel meist <math>\alpha, \beta, \gamma, \ldots</math> genannt. Die Ecke <math>A</math> ist dabei der Scheitelpunkt des Winkels <math>\alpha</math>, die Ecke <math>B</math> der Scheitelpunkt des Winkels <math>\beta</math> und so weiter. Bei einem [[Dreieck]] wird die dem Winkel <math>\alpha</math> gegenüberliegende Seite mit <math>a</math> bezeichnet, die dem Winkel <math>\beta</math> gegenüberliegende Seite mit <math>b</math> und so fort (siehe Abbildung).<ref>{{Literatur|Autor=Arnfried Kemnitz|Titel=Mathematik zum Studienbeginn|Verlag=Springer|Jahr=2014|Seiten=131–132}}</ref>

== Spezialfälle ==
[[Datei:5-gon concav 01 edit.svg|miniatur|Ein nichtkonvexes Fünfeck mit einem Innenwinkel von über 180°]]

* Sind in einem Dreieck alle Innenwinkel kleiner als <math>90^\circ</math>, heißt es [[spitzwinkliges Dreieck|spitzwinklig]]; misst einer der Innenwinkel genau <math>90^\circ</math>, [[Rechtwinkliges Dreieck|rechtwinklig]]; und ist einer der Innenwinkel größer als <math>90^\circ</math>, [[stumpfwinkliges Dreieck|stumpfwinklig]]. Bei einem [[Gleichschenkliges Dreieck|gleichschenkligen Dreieck]] sind zwei der drei Innenwinkel gleich groß.

* Sind bei einem [[Viereck]] je zwei gegenüber liegende Innenwinkel gleich groß, liegt ein [[Parallelogramm]] vor; sind je zwei nebeneinander liegende Innenwinkel gleich groß, ein [[gleichschenkliges Trapez]]. Bei einem [[Sehnenviereck]] ergänzen sich je zwei gegenüberliegende Innenwinkel zu <math>180^\circ</math>.

* Bei einem [[Gleichwinkliges Polygon|gleichwinkligen Polygon]] sind alle Innenwinkel gleich groß. Wichtige Beispiele für gleichwinklige Polygone sind die [[Regelmäßiges Polygon|regelmäßigen Polygone]], beispielsweise das [[Gleichseitiges Dreieck|gleichseitige Dreieck]], das [[Quadrat]] oder das [[Regelmäßiges Fünfeck|regelmäßige Fünfeck]], bei denen auch alle Seiten gleich lang sind.

* In einem [[Konvexes Polygon|konvexen Polygon]] messen alle Innenwinkel höchstens <math>180^\circ</math>. Bei einem nichtkonvexen Polygon gibt es demnach mindestens eine einspringende Ecke mit einem Innenwinkel von mehr als <math>180^\circ</math>.

* Zwei Polygone sind nicht notwendigerweise zueinander [[Ähnlichkeit (Geometrie)|ähnlich]], wenn alle einander entsprechenden Innenwinkel übereinstimmen. Zum Beispiel sind Rechtecke mit verschiedenen Seitenverhältnissen nicht ähnlich zueinander.

== Eigenschaften ==

=== Winkelsumme ===
[[Datei:Triangle-angles.svg|miniatur|In einem Dreieck beträgt die Innenwinkelsumme stets α + β + γ = 180°. Die beiden blauen und roten Winkel sind Stufen- bzw. Wechselwinkel an parallelen Geraden und daher gleich groß.]]
{{Hauptartikel|Winkelsumme}}

Die Summe der Innenwinkel eines nicht [[Überschlagenes Polygon|überschlagenen]] <math>n</math>-Ecks ergibt sich in der [[Euklidische Geometrie|euklidischen Geometrie]] stets zu

:<math>\alpha + \beta + \gamma + \dotsb = (n-2)\cdot 180^\circ</math>.

In einem Dreieck beträgt die Innenwinkelsumme daher immer <math>180^\circ</math>, in einem [[Viereck]] immer <math>360^\circ</math> und in einem [[Fünfeck]] immer <math>540^\circ</math>. In einem gleichwinkligen (und damit speziell auch in einem regelmäßigen) Polygon mit <math>n</math> Ecken ergeben sich damit alle Innenwinkel zu

:<math>\alpha = \beta = \gamma = \dotsb = \frac{n-2}{n} \cdot 180^\circ</math>.

In einem gleichseitigen Dreieck messen daher alle Innenwinkel <math>60^\circ</math>, in einem Quadrat <math>90^\circ</math> und in einem regelmäßigen Fünfeck <math>108^\circ</math>. Diese Aussagen gelten in [[Nichteuklidische Geometrie|nichteuklidischen Geometrien]] jedoch nicht mehr. In einer [[Elliptische Geometrie|elliptischen Geometrie]], beispielsweise auf einer [[Kugeloberfläche]], ist die Innenwinkelsumme stets größer als in der euklidischen Geometrie, in einer [[Hyperbolische Geometrie|hyperbolischen Geometrie]], beispielsweise auf einer [[Sattelfläche]], stets kleiner.

=== Winkelhalbierende ===
[[Datei:Incircle and Excircles.svg|miniatur|Dreieck mit Innenwinkelhalbierenden (rot), Außenwinkelhalbierenden (grün), Inkreis (blau) und Ankreisen (orange)]]

Die [[Winkelhalbierende]]n der Innenwinkel eines [[Tangentenvieleck]]s, beispielsweise eines Dreiecks oder einer [[Raute]], treffen sich im [[Inkreis]]mittelpunkt des Vielecks.

In einem Dreieck teilt jede Innenwinkelhalbierende die gegenüberliegende Seite im [[Verhältnis (Mathematik)|Verhältnis]] der beiden anliegenden Seiten. Zudem schneidet sie die Winkelhalbierenden der beiden nicht anliegenden Außenwinkel im Mittelpunkt des [[Ankreis]]es der gegenüberliegenden Seite.

=== Mathematische Sätze ===

Beziehungen zwischen den Innenwinkeln und den Seiten eines Dreiecks stellen unter anderem der [[Sinussatz]], der [[Kosinussatz]], der [[Tangenssatz]], die [[Halbwinkelsatz|Halbwinkelsätze]] und die [[Mollweidesche Formeln|mollweideschen Formeln]] her.

Nach dem [[Außenwinkelsatz]] ist jeder Außenwinkel eines Dreiecks gleich der Summe der beiden nichtanliegenden Innenwinkel. Nach dem Satz von Morley ist das [[Morley-Dreieck]], welches durch [[Dreiteilung des Winkels|Drittelung]] der drei Innenwinkel eines Dreiecks entsteht, stets gleichseitig.

In gleichwinkligen Polygonen gilt der [[Satz von Viviani]], nach dem die Summe der Abstände von einem beliebigen Punkt im Inneren des Polygons zu den Polygonseiten unabhängig von der Position des Punkts ist.

== Literatur ==
* {{Literatur|Autor=Arnfried Kemnitz|Titel=Mathematik zum Studienbeginn|Verlag=Springer|Jahr=2014|ISBN=978-3-658-02081-1}}
* {{Literatur|Autor=[[Ilka Agricola]], [[Thomas Friedrich (Mathematiker)|Thomas Friedrich]]|Titel=Elementargeometrie|Verlag=Springer|Jahr=2010|ISBN=978-3-834-89826-5}}

== Einzelnachweise ==
<references />

== Weblinks ==
{{Wiktionary}}
* {{Internetquelle|autor= |url=https://www.geogebra.org/m/hbx56w5n |titel=Interaktive Darstellung des Innenwinkelsatzes an einem Dreieck |werk=[[GeoGebra]] |abruf=2022-07-23 |abruf-verborgen=1}}

[[Kategorie:Winkel]]

Innenwinkel - Versionsgeschichte

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