imported>Mathze: /* Eigenschaften */ Zeichensetzung

2025-06-12T13:54:29Z

Eigenschaften: Zeichensetzung

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{{Dieser Artikel|behandelt injektive Abbildungen. Für injektive Moduln und andere injektive Objekte siehe [[Injektives Objekt]].}}
[[Datei:Injection.svg|mini|Illustration einer '''Injektion.'''<br />Jedes Element von Y hat höchstens ein Urbild: A, B, D je eines, C keines.]]

'''Injektivität''' oder '''Linkseindeutigkeit''' ist eine Eigenschaft einer mathematischen [[Relation (Mathematik)|Relation]], also insbesondere auch einer [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] (wofür man meist gleichwertig auch „Abbildung“ sagt): Eine injektive Funktion, auch als '''Injektion''' bezeichnet, ist ein Spezialfall einer '''linkseindeutigen''' [[Relation (Mathematik)|Relation]], namentlich der, bei dem die Relation auch ''rechtseindeutig'' und ''linkstotal'' ist.

== Definition ==
Eine Funktion <math>f\colon X\to Y</math> ist '''injektiv''', wenn es zu jedem [[Element (Mathematik)|Element]] <math>y</math> der [[Zielmenge]] <math>Y</math> höchstens ein (also eventuell gar kein) Element <math>x</math> der Ausgangs- oder [[Definitionsmenge]] <math>X</math> gibt, das darauf ''zielt,'' wenn also nie zwei oder mehr verschiedene Elemente der Definitionsmenge auf dasselbe Element der Zielmenge abgebildet werden:
:<math>f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2</math>
Das ist äquivalent zu
:<math>x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)</math>
Die Zielmenge kann daher nicht [[Mächtigkeit (Mathematik)#Vergleich der Mächtigkeit|weniger mächtig]] als die Definitionsmenge sein, d. h., sie kann nicht weniger Elemente enthalten.

Die [[Bildmenge]] <math>f(X):=\{f(x)\mid x\in X\}</math> darf eine ''echte'' [[Teilmenge]] der Zielmenge <math>Y</math> sein, d. h., es kann Elemente <math>y\in Y</math> geben, die keine Bildelemente <math>f(x)</math> sind, wie es in der abgebildeten Grafik rechts der Fall ist. Dies macht den Unterschied zu einer [[Bijektivität|bijektiven]] Abbildung aus, von der außer Injektivität noch verlangt wird, dass ''jedes'' Element der Zielmenge als Bildelement <math>f(x)</math> auftritt, dass also <math>f</math> [[Surjektivität|surjektiv]] ist.

Dass eine Abbildung <math>f\colon X\to Y</math> injektiv ist, wird gelegentlich durch <math>f\colon X\hookrightarrow Y</math> ausgedrückt, mit einem aus <math>\subset</math> und <math>\to</math> zusammengesetzten Zeichen. Es erinnert an die [[Einbettung (Mathematik)|Einbettung]] einer Menge <math>X</math> in eine [[Obermenge]] <math>Y</math> durch eine Funktion <math>f\colon X\to Y,\, f(x)=x,</math> die jedes Element von <math>X</math> auf sich selbst abbildet.

== Beispiele und Gegenbeispiele ==
[[Datei:Non-injective function1.svg|mini|Nichtinjektive Funktion]]
* Außermathematisches Beispiel: Die Funktion, die jedem [[Bürger]] der [[Deutschland|Bundesrepublik Deutschland]] mit [[Personalausweis]] die Nummer seines aktuellen Personalausweises zuordnet, ist injektiv, wobei als Zielmenge die Menge aller möglichen Personalausweisnummern angenommen wird (denn Personalausweisnummern werden nur einmal vergeben).
* <math>\N</math> bezeichne die Menge der [[Natürliche Zahl|natürlichen]] und <math>\Z</math> die Menge der [[Ganze Zahl|ganzen Zahlen]].
:<math>f_1\colon \N \to \N,\, x \mapsto 2x</math> ist injektiv.
:<math>f_2\colon \Z \to \Z,\, x \mapsto 2x</math> ist injektiv.
:<math>f_3\colon \N \to \N,\, x \mapsto x^2</math> ist injektiv.
:<math>f_4\colon \Z \to \Z,\, x \mapsto x^2</math> ist ''nicht'' injektiv, da z. B. <math>f(1) = f(-1)</math> gilt.
* Jede Funktion <math>f\colon X \to Y,\, x \mapsto f(x)</math> von einer ''zwei''elementigen Menge <math>X=\{a,b\}</math> in eine ''ein''elementige Menge <math>Y=\{c\}</math> ist ''nicht'' injektiv, weil notwendigerweise beide Elemente von <math>X</math> auf das einzige Element <math>c\in Y</math> abgebildet werden:
::<math>f(a)=f(b)=c</math> trotz <math>a\ne b</math>

== Eigenschaften ==
* Man beachte, dass die Injektivität einer Funktion <math>f\colon A \to B</math> nur vom [[Funktionsgraph]]en <math>\{(x, f(x)) \mid x \in A\}</math> abhängt (im Gegensatz zur [[Surjektivität]], die auch von der Zielmenge <math>B</math> abhängt, die man am Funktionsgraphen nicht ablesen kann).
* Eine Funktion <math>f\colon A \to B</math> ist genau dann injektiv, wenn für alle Teilmengen <math>X, Y \subseteq A</math> gilt: <math>f(X \cap Y)=f(X) \cap f(Y)</math>
* Eine Funktion <math>f\colon A \to B</math> ist genau dann injektiv, wenn <math>f^{-1}(f(T))=T</math> für alle <math>T \subseteq A</math> gilt (wobei <math>f^{-1}\colon \mathcal{P}(B)\to \mathcal{P}(A)</math> die [[Urbildfunktion]] bezeichnet).
* Sind die Funktionen <math>f\colon A \to B</math> und <math>g\colon B \to C</math> injektiv, dann ist auch die [[Komposition (Mathematik)|Komposition]] (Verkettung) <math>g \circ f\colon A \to C</math> injektiv.
* Aus der Injektivität von <math>g \circ f</math> folgt, dass <math>f</math> injektiv ist.
* Eine Funktion <math>f\colon A \to B</math> mit nichtleerer Definitionsmenge <math>A</math> ist genau dann injektiv, wenn <math>f</math> eine [[Inverses Element|Linksinverse]] hat, das ist eine Funktion <math>g\colon B \to A</math> mit <math>g \circ f = \operatorname{id}_A</math> (wobei <math>\operatorname{id}_A</math> die [[identische Abbildung]] auf <math>A</math> bezeichnet).
* Eine Funktion <math>f\colon A \to B</math> ist genau dann injektiv, wenn sie [[linkskürzbar]] ist, wenn also für beliebige Funktionen <math>g, h\colon C \to A</math> aus <math>f \circ g = f \circ h</math> die Gleichheit <math>g = h</math> folgt. (Diese Eigenschaft motiviert den in der [[Kategorientheorie]] verwendeten Begriff [[Monomorphismus]], jedoch sind bei allgemeinen [[Morphismus|Morphismen]] ''injektiv'' und ''linkskürzbar'' nicht mehr äquivalent.)
* Jede beliebige Funktion <math>f\colon A \to B</math> ist als Verkettung <math>f = h \circ g</math> darstellbar, wobei <math>g</math> surjektiv und <math>h</math> injektiv (nämlich eine [[Inklusionsabbildung]]) ist.
* Eine [[Stetige Funktion|stetige]] [[reellwertige Funktion]] auf einem reellen [[Intervall (Mathematik)|Intervall]] ist genau dann injektiv, wenn sie in ihrem ganzen Definitionsbereich [[Streng monotone Funktion|streng monoton]] steigend oder streng monoton fallend ist, d. h. wenn für zwei beliebige Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> aus dem Definitionsbereich gilt: Aus <math>a<b</math> folgt <math>f(a)<f(b)</math> (steigend), bzw. aus <math>a<b</math> folgt <math>f(a)>f(b)</math> (fallend).

{{Doppeltes Bild|ohne|Injektivität Mengenkasten 01.png|180|Injektivität Mengenkasten 02.png|180|Drei injektive streng monoton steigende reelle Funktionen.|Drei injektive streng monoton fallende reelle Funktionen.}}

* Ein [[Gruppenhomomorphismus|Gruppen-]] oder [[Vektorraumhomomorphismus]] ist genau dann injektiv, wenn sein [[Kern (Algebra)|Kern]] trivial ist, d. h. nur aus dem [[Neutrales Element|neutralen Element]] bzw. dem [[Nullvektor]] besteht.

== Mächtigkeiten von Mengen ==
Eine wichtige Rolle spielt der Begriff der Injektion in der [[Mengenlehre]] bei Definition und Vergleich von [[Mächtigkeit (Mathematik)|Mächtigkeiten]], einem Begriff, der die Elementeanzahl von endlichen Mengen auf beliebige Mengen verallgemeinert. Zwei Mengen <math>X,\,Y</math> heißen „von gleicher Mächtigkeit“, wenn es sowohl eine Injektion von <math>X</math> nach <math>Y</math> als auch eine solche von <math>Y</math> nach <math>X</math> gibt. (In diesem Fall existieren auch Bijektionen von der einen auf die andere Menge.) Dagegen heißt <math>X</math> von kleinerer Mächtigkeit als <math>Y</math>, wenn es zwar eine Injektion von <math>X</math> nach <math>Y</math>, aber keine von <math>Y</math> nach <math>X</math> gibt.

== Schubfachschluss ==
Ein in Beweisen insbesondere der Zahlentheorie häufiges Schlussschema benutzt die Feststellung, dass eine Abbildung <math>f</math> einer endlichen Menge <math>X</math> in eine Menge <math>Y</math> mit weniger Elementen nicht injektiv sein kann, dass es also Elemente <math>a,b\in X</math> mit <math>a\ne b</math> und gleichem Bild <math>f(a) = f(b)</math> gibt. Wegen der Vorstellung von vielen Objekten in weniger Schubfächern heißt das „[[Schubfachprinzip|Schubfachschluss]]“.

== Anzahl injektiver Abbildungen ==
Die Anzahl der injektiven Abbildungen von einer [[Definitionsmenge]] <math>A</math> in eine gegebene endliche [[Zielmenge]] <math>B</math> mit der Eigenschaft <math>|B| \geq |A|</math> ist gegeben durch:

:<math>|B|\cdot (|B|-1) \cdot \ldots \cdot (|B|-|A|+1) = \frac{|B|!}{(|B|-|A|)!} = |A|! \cdot \binom{|B|}{|A|}</math>

Dies entspricht in der [[Abzählende Kombinatorik|Kombinatorik]] einer ''[[Variation (Kombinatorik)|Variation]] ohne Wiederholung.''

== Geschichte ==
Nachdem man generationenlang mit Formulierungen wie „eineindeutig“ ausgekommen war, kam erst in der Mitte des 20. Jahrhunderts mit der durchgehend mengentheoretischen Darstellung aller mathematischen Teilgebiete das Bedürfnis nach einer prägnanteren Bezeichnung auf.

Im Englischen lässt sich das Substantiv ''injection'' 1945 belegen.<ref>{{Literatur |Autor=[[Ralph H. Fox]] |Titel=Torus homotopy groups |Sammelwerk=[[Proceedings of the National Academy of Sciences]] |Band=31 |Nummer=2 |Datum=1945-02-01 |Seiten=71–74 |Fundstelle=siehe S. 73 |Online=[https://www.pnas.org/content/pnas/31/2/71.full.pdf Online] |Abruf=2017-01-13 |Zitat=The nucleus of the injection homomorphism …}}</ref> Das englische Adjektiv ''injective'' wurde 1952 in den ''Foundations of algebraic topology'' von [[Samuel Eilenberg|S. Eilenberg]] und [[Norman Steenrod|N. Steenrod]] verwendet, allerdings eher im Sinne von [[Injektives Objekt|injektiven Objekten]].<ref name="EarliestKnown">[https://jeff560.tripod.com/i.html ''Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics.'']</ref> Injektiv im Kontext mit den Fachwörtern surjektiv und bijektiv wurde 1954 von der Autorengruppe [[Nicolas Bourbaki]] in dem Buch ''Théorie des ensembles, Éléments de mathématique Première Partie'' eingeführt.<ref name="EarliestKnown" />

Es herrscht stellenweise große Verwirrung bezüglich der Zuordnung zwischen den Begriffen „eineindeutig“ einerseits und „injektiv“ bzw. „bijektiv“ andererseits. Quellen (Lehrbücher) aus der reinen Mathematik favorisieren „injektiv“, fachfremde Quellen favorisieren teilweise eher „bijektiv“.

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Beweisarchiv: Mengenlehre}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:Injektivitat}}
[[Kategorie:Mathematischer Grundbegriff]]

Injektive Funktion - Versionsgeschichte

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