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{{Dieser Artikel|behandelt die Implikation im Sinne der Logik. Zu weiteren Verwendungsweisen siehe [[Implikation (Begriffsklärung)]].}}

Die Bezeichnung '''Implikation''' (von {{laS|implicare|de=verwickeln}}; [[Verb]]: ''implizieren''; [[Adjektiv]]: ''implizit'') wird in der [[Logik]] nicht einheitlich für einen bestimmten logischen Zusammenhang verwendet; insbesondere werden unterschieden:
* eine '''materiale Implikation''' als eine von mehreren möglichen logischen Verknüpfungen ([[Junktor]]en) zwischen zwei [[Aussage (Logik)|Aussagenvariablen]]: <math>a \rightarrow b</math> (siehe auch Artikel „[[Junktor#Mögliche Junktoren|Junktor]]“). Diese materiale Implikation, auch ''[[Subjunktion]]'' oder ''Konditional'' genannt, kann [[wahrheitsfunktion]]al definiert werden (siehe [[#Wahrheitsfunktionale Implikation|Abschnitt unten]]). Sie findet sich bereits bei [[Philon von Megara]] (3. Jh. v. Chr.) und wird umgangssprachlich meist umschrieben mit: „Wenn ''a'', dann ''b''.“<ref name="Grundriß der formalen Logik">''Grundriß der formalen Logik''. Paderborn: Universitäts-Taschen-Bücher-Verlag: 1983. Aus dem Französischen von [[Joseph Maria Bocheński]]. Von [[Albert Menne]] übersetzt und erweitert.</ref>
* eine '''formale Implikation''' als eine Form logischen Zusammenhangs, welche eher einer intuitiven Anschauung entsprechen soll, die sich aus Gewohnheiten der [[Umgangssprache]] ergeben kann. Es entstanden im Laufe der Zeit verschiedene Interpretationen, um das Phänomen möglichst eindeutig zu [[Formalisierung|formalisieren]]. Dabei wird die obige Formel differenzierter betrachtet, zum Beispiel als <math>\bigwedge_x (A(x) \rightarrow B(x))</math>, gelesen: „Für jedes Individuum ''x'' gilt: Wenn ''x'' die Eigenschaft ''A'' besitzt, dann besitzt es auch die Eigenschaft ''B''.“ Die Analyse einer Aussage mit Zerlegung in den [[Prädikator]] und sein [[Argument]], insbesondere für die formale Implikation, findet sich ähnlich schon bei [[Platon]] und [[Aristoteles]].<ref name="Grundriß der formalen Logik" />

Als Varianten einer ''[[deduktion]]mäßigen'' formalen Implikation können auch die ''[[#Intuitionistische Implikation|intuitionistische Implikation]]'' bzw. ''[[Subjunktion]]'' innerhalb der [[dialogische Logik|dialogischen Logik]] sowie die ''[[strenge Implikation]]'' von [[Wilhelm Ackermann (Mathematiker)|Ackermann]] und ebenso die ''[[#Strikte Implikation|strikte Implikation]]'' angesehen werden. Von [[Bruno von Freytag-Löringhoff]] und [[Albert Menne]] wurde die Implikation als [[Hypothetischer Syllogismus|hypothetisches Urteil]] formalisiert.

Diese spezifischeren Deutungen können auch als ''objektsprachliche'' Implikationen bezeichnet werden. Davon zu unterscheiden sind dann jeweils die ''[[Metasprache|metasprachlichen]]'' Implikationen; sie erlauben es, ''über'' die logische Struktur dieser Sprachen zu sprechen. Dementsprechend kann ihnen eine noch engere Verbindung zum [[Ableitung (Logik)|Ableitbarkeitsbegriff]] und dem Begriff der [[Schlussfolgerung]] zugesprochen werden.

== Unterschied zwischen objektsprachlicher und metasprachlicher Implikation ==
Die objektsprachliche Implikation (materiale Implikation, Konditional, Subjunktion) ist ein Aussagesatz, der mittels des [[Junktor]]s „(schon) wenn …, dann …“ aus zwei kürzeren Aussagesätzen zusammengesetzt ist. Zum Beispiel ist „Wenn es regnet, dann ist die Straße nass“ eine materiale Implikation; diese Implikation sagt etwas über den logischen Zusammenhang der Sätze, nämlich dass die Wahrheit des ersten Teilsatzes ([[Antezedens (Logik)|Antezedens]], auch ''Antecedens'') eine [[Notwendige und hinreichende Bedingung|hinreichende Bedingung]] für die Wahrheit des zweiten Teilsatzes ([[Konsequenz]]) ist.

Die metasprachliche Implikation ist hingegen eine Aussage ''über Aussagen,'' eben eine ''Metaaussage.'' Eine metasprachliche Implikation wäre die Aussage „Aus dem [[Satz (Grammatik)|Satz]] ‚Es regnet‘ folgt der Satz ‚Die Straße ist nass‘“. Hier wird nichts über Regen, Nässe oder deren Zusammenhang ausgesagt, sondern hier wird über zwei Sätze der Objektsprache und ihr logisches Verhältnis gesprochen. Dabei kann auf ihre Bedeutung Bezug genommen werden (etwa: ob das, was der eine Satz aussagt, vorliegt, wenn das vorliegt, was der andere aussagt) oder auch nicht, so können zwei Sätze allein durch ihre logische Form miteinander verbunden sein (so kann man zum Beispiel sagen: „Wenn <math>a \land b</math>, dann <math>a</math>“).

== Objektsprachliche Implikationen ==
Die objektsprachliche Implikation, ein [[Aussagesatz]], der mittels des Junktors „(schon) wenn …, dann …“ aus zwei kürzeren Aussagesätzen zusammengesetzt ist, wird als ''materiale Implikation'', ''Subjunktion'' und ''Konditional'' bezeichnet.

=== Wahrheitsfunktionale Implikation ===
[[Datei:Venn1011.svg|mini|Die [[Subjunktion]] ist nur dann falsch, wenn A wahr und B falsch ist. Dieser Bereich ist im [[Mengendiagramm|Venn-Diagramm]] weiß. Es gilt klassisch <math>A \rightarrow B \Leftrightarrow \neg A \lor B</math> [[Datei:Venn1011.svg|40px|A → B]] <math>\Leftrightarrow</math>
[[Datei:Venn1010.svg|40px|¬A]] <math>\lor</math>
[[Datei:Venn0011.svg|40px|B]]]]

In der [[Klassische Logik|klassischen Logik]] werden nur [[Wahrheitswertefunktion|wahrheitsfunktionale]] Aussageverbindungen verwendet, das heißt nur solche, bei denen der [[Wahrheitswert]] der Aussagenverknüpfung allein von dem Wahrheitswert der Teilaussagen abhängt. {{Anker|Vordersatz|Nachsatz}} Innerhalb eines Konditionals <math>a \rightarrow b</math> wird die erste Aussage <math>a</math> unter anderem als Vordersatz, Antezedens, Implikans oder Vorderglied bezeichnet, die zweite Aussage <math>b</math> unter anderem als Nachsatz, Hintersatz, Konsequenz, Implikat, selten auch Sukzedens.

Seit der Antike wird – erstmals von [[Philon von Megara]] – die wahrheitsfunktionale Implikation oder '''seq-Funktion''' durch folgende [[Wahrheitstabelle]] definiert:
{|class="centered"
|
{|class="wikitable center hintergrundfarbe2"
! <math>a</math> || <math>b</math> || <math>a \rightarrow b</math>
|-
!f||f
|w
|-
!f||w
|w
|-
!w||f
|f
|-
!w||w
|w
|}
|}

Diese wahrheitsfunktionale objektsprachliche Implikation wird unter anderem ''materiale Implikation'', ''Subjunktion'' oder (zunehmend) ''Konditional'' genannt. Sie drückt die [[Notwendige und hinreichende Bedingung|hinreichende Bedingung]] aus, das heißt, sie behauptet keinerlei kausalen oder sonstigen inhaltlichen Zusammenhang zwischen <math>A</math> und <math>B</math>.

Schon im Altertum wurde diskutiert, inwieweit und unter welchen Voraussetzungen das [[natürlichsprachlich]]e „wenn …, dann …“ eine hinreichende Bedingung ausdrückt und damit der materialen Implikation entspricht, vor allem aber, ob und wie sich die anderen Bedeutungen des natürlichsprachlichen „wenn …, dann …“, zum Beispiel die kausale („A verursacht B“), analysieren lassen. Versuche, andere Bedeutung als die rein wahrheitsfunktionale („materiale“) Bedeutung des natürlichsprachlichen „wenn …, dann …“ zu analysieren, führen zu nichtklassischen Implikationen, zum Beispiel der ''strikten Implikation'' und der ''intuitionistischen Implikation''.

Als ''Symbol'' für den Junktor wird in der [[Formale Sprache|formalen Sprache]] der Logik ein einfacher Pfeil <math>\rightarrow</math>, insbesondere im englischsprachigen Bereich in Anlehnung an die Peano-Russellsche Schreibweise auch die Kurve <math>\supset</math> („Hufeisen“, ''„horseshoe“'', „Bogenzeichen“ (Reichenbach)) verwendet, gelegentlich auch der Pfeil mit zwei Querstrichen <math>\Rightarrow</math>.

In der [[Polnische Notation|polnischen Notation]] wird für die materiale Implikation der Großbuchstabe ''C'' verwendet, sodass die Aussage „Wenn a, dann b“ als ''Cab'' geschrieben wird.

[[Gottlob Frege]] drückt in seiner [[Begriffsschrift]], der ersten Formalisierung der klassischen [[Prädikatenlogik]], das Konditional „Wenn A, dann B“ durch [[Datei:Begriffsschrift Cab.svg]] aus.
{|class="centered"
|
{|class="wikitable center hintergrundfarbe2"
!Schreibweisen
| <math>a \rightarrow b</math>||<math>a \supset b</math>||<math>a \Rightarrow b</math>||<math>Cab</math>
|}
|}

==== Natürliche Sprache und materiale Implikation ====
{{Hauptartikel|Paradoxien der materialen Implikation}}
Im Fall der materialen Implikation sagt man oft kurz: „Wenn a, dann b.“ Dieser Sprachgebrauch ist etwas unglücklich, weil die Formulierung „wenn …, dann …“ im Deutschen ein weites Bedeutungsfeld hat und mehrheitlich nicht für materiale, das heißt hier wahrheitsfunktionale, sondern für inhaltliche Zusammenhänge ([[Kausalität]] oder zeitliche Abfolge) verwendet wird. Solche Zusammenhänge lassen sich mit der materialen Implikation nicht ausdrücken. Zwischen der materialen Implikation und dem natürlichsprachlichen „wenn …, dann …“ muss daher sehr genau unterschieden werden. Manchmal versucht man, durch Formulierungen wie „''Schon'' wenn a, dann b …“ oder „a ist eine hinreichende Bedingung für b“ Missverständnisse zu vermeiden, die aus den vielen Bedeutungen des deutschen „wenn …, dann …“ resultieren können.

Die Implikation zu (a) „Es regnet“ und (b) „Die Straße wird nass“ ist damit die [[Aussage]]
{| class="hintergrundfarbe1" style="margin-left:1em; padding:1em; text-align: left" cellpadding="1" cellspacing="10"
|Wenn es regnet, wird die Straße nass.
|}
Alternative Formulierungen, die den materialen Charakter besser betonen, sind
{| class="hintergrundfarbe1" style="margin-left:1em; padding:1em; text-align: left" cellpadding="1" cellspacing="10"
|Schon wenn es regnet, wird die Straße nass.
|}
oder
{| class="hintergrundfarbe1" style="margin-left:1em; padding:1em; text-align: left" cellpadding="1" cellspacing="10"
|Dass es regnet, ist eine hinreichende Bedingung dafür, dass die Straße nass wird.
|}
Die materiale Implikation ist genau dann ''falsch'', wenn das Antezedens ''wahr'' ist und das Sukzedens ''falsch'' ist. In jedem anderen Fall ist die Implikation ''wahr''. Das Konditional „(w)enn es regnet, wird die Straße nass“ ist also nur dann falsch, wenn es regnet, die Straße aber nicht nass wird.

Die Festlegung, dass eine materiale Implikation nur dann falsch ist, wenn das Antezedens (der Wenn-Teil) wahr und das Sukzedens falsch ist, führt dazu, dass die folgenden [[logische Verknüpfung|Verknüpfungen]] empirischer Aussagen ''wahr'' sind:
{| class="hintergrundfarbe1" style="margin-left:1em; padding:1em; text-align: left" cellpadding="1" cellspacing="10"
|Wenn London in Frankreich liegt, ist Schnee weiß. || falsches Antezedens, wahres Sukzedens
|-
|Wenn London in Frankreich liegt, ist Schnee schwarz.|| falsches Antezedens, falsches Sukzedens
|-
|Wenn London in England liegt, ist Schnee weiß. ||wahres Antezedens, wahres Sukzedens
|}
Diese ''Paradoxien der materialen Implikation'' unterstreichen den extensionalen Charakter (''siehe'' [[Junktor]]) der materialen Implikation: Sie behauptet keinerlei inhaltlichen Zusammenhang zwischen Antezedens (Wenn-Teil) und Sukzedens (es gibt auch tatsächlich keinen Zusammenhang zwischen der geographischen Lage von London und der Farbe von Schnee), vielmehr wird ihr Wahrheitswert rein extensional auf die [[Wahrheitswert]]e ihrer Teilsätze zurückgeführt: „Schon wenn das Antezedens wahr ist, ist das Sukzedens auch wahr.“

==== Zusammenhang mit der notwendigen Bedingung ====
Wie bereits erwähnt, drückt die materiale Implikation die [[Notwendige und hinreichende Bedingung|hinreichende Bedingung]] aus. Von ihr zu unterscheiden ist die ''notwendige Bedingung,'' die besagt, dass ein [[Sachverhalt]] erforderlich, aber eben nicht ausreichend dafür ist, dass ein anderer Sachverhalt eintritt.

;Beispiel: „Nur wenn eine Person volljährig ist, darf sie wählen.“ Volljährigkeit ist eine notwendige Bedingung für das Wahlrecht, ist aber nicht ausreichend; man muss in der Regel zusätzliche Bedingungen erfüllen, z. B. die Staatsbürgerschaft des Landes haben.

Die hinreichende und die notwendige [[Bedingung (Philosophie)|Bedingung]] stehen in engem Zusammenhang. Wenn ein Sachverhalt A eine hinreichende Bedingung für einen Sachverhalt B ist, dann ist B zugleich eine notwendige Bedingung für A. Das Beispiel „Nur wenn eine Person volljährig ist, darf sie wählen“ ist logisch äquivalent mit „Schon wenn eine Person wählen darf, ist sie volljährig.“ Verdeutlichen kann man sich diesen zunächst oft als kontraintuitiv empfundenen Zusammenhang, indem man sich die Situation in einem Wahllokal vor Augen führt. Wenn man dort eine Person wählen sieht, dann kann man – auch wenn sie vielleicht sehr jung aussieht – daraus eindeutig schließen, dass sie volljährig sein muss; denn es dürfen ja nur Volljährige wählen.

Auf Grund dieses inhaltlichen [[Relation (Philosophie)|Zusammenhangs]] drückt die materiale Implikation ebenso die notwendige wie die hinreichende Bedingung aus:
:<math>A \rightarrow B</math>
wird zwar gewöhnlich gelesen als „A ist eine hinreichende Bedingung für B“ bzw. „Schon wenn A, dann B“; da das aber äquivalent ist zu „''B'' ist eine ''notwendige'' Bedingung für ''A''“, kann man es ebenso gut auf diese Weise lesen.

==== Eigenschaften und logische Gesetze ====
Die materiale Implikation
:<math>a \rightarrow b</math>
ist aussagenlogisch zum Beispiel mit den folgenden Aussagen [[logische Äquivalenz|äquivalent]]:
* <math>\neg a \lor b</math> (lies: „nicht ''a'' oder ''b''“). Über diese Äquivalenz kann die materiale Implikation anhand von [[Disjunktion]] und [[Negation]] [[Definition|definiert]] werden.
* <math>\neg(a \land \neg b)</math> (lies: „es gilt nicht: ''a'' und nicht ''b''“). Die materiale Implikation kann also ebenfalls anhand von [[Konjunktion (Logik)|Konjunktion]] und Negation definiert werden.
* <math>\neg b \rightarrow \neg a</math> (lies: „wenn nicht ''b'', dann nicht ''a''“). Man kann also die Implikation umkehren, wenn man dabei gleichzeitig Antezedens und Sukzedens negiert. Dieses logische Gesetz wird auch als [[Kontraposition]] bezeichnet.

Außerdem ist die Aussage ''a'' äquivalent mit <math>\top \rightarrow a</math> und die Aussage <math>\neg a</math> (lies: „nicht ''a''“) ist äquivalent mit <math>a \rightarrow \bot</math>, wobei <math>\top</math> eine beliebige [[Tautologie (Logik)|Tautologie]] und <math>\bot</math> eine beliebige [[Kontradiktion]] ist. Ferner sind <math>\bot \rightarrow a</math> und <math>a \rightarrow \top</math> äquivalent mit <math>\top</math>.

Aufgrund ihres extensionalen Charakters eignet sich die materiale Implikation in der [[Prädikatenlogik]] gut dazu, Aussagen des Typs „Alle Pferde sind Säugetiere“ wie folgt zu formalisieren:
{| class="wikitable"
|| Schreibweise
|| <math>\forall x (P(x) \rightarrow S(x))</math>
|-
|| Sprechweise
||''„Für alle x gilt: Wenn x ein Pferd ist, ist x ein Säugetier“''
|}

Bezüglich der Eigenschaften der materialen Implikation ist festzuhalten: Sie ist nicht [[Assoziativgesetz|assoziativ]], [[kommutativgesetz|kommutativ]], [[Symmetrische Relation|symmetrisch]], [[Antisymmetrische Relation|antisymmetrisch]] oder [[Asymmetrische Relation|asymmetrisch]]. Sie ist aber [[Transitive Relation|transitiv]], das heißt, es gilt:
: aus <math>a \rightarrow b</math> und <math>b \rightarrow c</math> folgt <math>a \rightarrow c</math>
Außerdem ist sie [[Reflexive Relation|reflexiv]], es gilt also allgemein:
: <math>a \rightarrow a</math>
Mit Hilfe der Implikation und der [[Negation#Logik|Negation]] lassen sich alle aussagenlogischen Junktoren darstellen.

=== Nichtklassische Implikationen ===
==== Intuitionistische Implikation ====
Im [[Intuitionismus]] bedeutet der Ausdruck <math>a \rightarrow b</math> intuitiv, dass sich ein Beweis von <math>a</math> (über dessen Existenz nichts ausgesagt wird) zu einem Beweis von <math>b</math> transformieren lässt. Die [[Semantik (Logik)|Semantik]] findet in [[Heyting-Algebra|Heytingalgebren]] statt, oder es werden [[Extension und Intension|intensionale]] Semantiken verwendet, deren bekannteste und erste formalisierte die von [[Saul Kripke]] zunächst für die [[Modallogik]] entwickelte [[Kripke-Semantik]] ist.

Die oben angeführten Äquivalenzen gelten intuitionistisch teilweise „nur in eine Richtung“, d. h. insbesondere:
* aus <math>a \rightarrow b</math> folgt <math>\neg(a \land \neg b)</math>, aber nicht umgekehrt.
* aus <math>a \rightarrow b</math> folgt <math>\neg b \rightarrow \neg a</math>, aber nicht umgekehrt.
* aus <math>\neg a \lor b</math> folgt <math>a \rightarrow b</math>, aber nicht umgekehrt.

Anders als die materiale Implikation kann also die intuitionistische Implikation nicht über Negation und Konjunktion oder Disjunktion definiert werden.

Es gilt jedoch weiterhin, dass ''a'' äquivalent ist mit <math>\top \rightarrow a</math> und <math>\neg a</math> mit <math>a \rightarrow \bot</math> sowie dass <math>\bot \rightarrow a</math> und <math>a \rightarrow \top</math> äquivalent sind mit <math>\top</math>. Wie die materiale Implikation ist auch die intuitionistische transitiv und reflexiv.

==== Strikte Implikation ====
Bei der strikten Implikation handelt es sich um die Kombination des [[Modallogik|modallogischen]] Notwendigkeits-Operators mit der materialen Implikation.

{| class="wikitable"
|| Schreibweise
|| <math>\Box (a \rightarrow b)</math>, <math>\Box (a \supset b)</math>
|-
|| Sprechweise
||''Wenn'' a, ''dann gilt notwendig'' b
|}

Die strikte Implikation wurde von [[Diodoros Kronos]] und in der Scholastik als Umgehungsversuch der Paradoxien der materialen Implikation entwickelt und 1918 von [[Clarence Irving Lewis]] neu aufgestellt. Damit soll eine Annäherung an das natürlichsprachliche „wenn …, dann …“ erreicht werden. Die strikte Implikation ist nämlich nicht schon dann bereits wahr, wenn das Antezedens falsch oder das Sukzedens wahr ist. Von der strikten Implikation gibt es zahlreiche Varianten, je nachdem welcher Modalkalkül zugrunde gelegt wird. Die strikte Implikation ist, ebenso wie die materiale und die intuitionistische, transitiv und reflexiv.

Auch das Konzept der strikten Implikation unterliegt der Kritik, weil sie zwar die Paradoxie der materialen Implikation vermeidet, aber zu der analogen Schwierigkeit führt, dass jede logisch unmögliche Aussage jede beliebige Aussage und dass jede Aussage jede logisch notwendige Aussage strikt impliziert. Lewis’ eigener Verwendung der strikten Implikation wurde zudem vorgeworfen, [[Metasprache|Objekt- und Metasprache]] durcheinanderzubringen.

== Metasprachliche Implikation ==
Die metasprachliche Implikation ist eine Aussage ''über Aussagen''. Eine Aussage A impliziert genau dann eine Aussage B, wenn mit dem Zutreffen von A auch das Zutreffen von B gewährleistet ist. Analog implizieren mehrere Aussagen A1 bis An genau dann eine Aussage B, wenn mit dem gemeinsamen Zutreffen der Aussagen A1 bis An auch das Zutreffen von B gewährleistet ist. Zum Beispiel implizieren die Aussagen „Alle Schweine grunzen“ und „Babe ist ein Schwein“ die Aussage „Babe grunzt“.

Der Begriff der Folgerung und damit die metasprachliche Implikation wird auf unterschiedliche Weisen formal präzisiert. Zum einen unterscheidet man zwischen der ''[[semantische Folgerung|semantischen Folgerung]]'', [[Notation|notiert]] als <math>A_1,\ldots, A_n \models B</math>, und der ''syntaktischen Folgerung'', der Herleitbarkeit, aufgeschrieben als <math>A_1,\ldots, A_n \vdash B</math>:

;Semantischer Folgerungsbegriff: Eine Folgerung ist genau dann semantisch gültig, geschrieben: <math>A_1,\ldots, A_n \models B</math>, wenn die Wahrheit der Aussagen A1 bis An die Wahrheit der Aussage B gewährleistet. In einer [[Interpretationssemantik]] ist das genau dann der Fall, wenn bei jeder [[Interpretation (Logik)|Interpretation]], bei der jede der Aussagen A1 bis An wahr ist, auch die Aussage B wahr ist.
;Syntaktischer Folgerungsbegriff: Eine Folgerung ist genau dann syntaktisch gültig, geschrieben <math>A_1,\ldots A_n \vdash B</math>, wenn sich die Aussage B in einem gegebenen logischen [[Kalkül]] aus den Aussagen A1 bis An herleiten lässt, das heißt, wenn sich aus den Aussagen A1 bis An unter Anwendung der Schlussregeln und Axiome des jeweiligen Kalküls die Aussage B erzeugen lässt.

Zum anderen gibt es grundsätzlich unterschiedliche Fassungen des Folgerungsbegriffs und damit der metasprachlichen Implikation, etwa den der [[Klassische Logik|klassischen Logik]] oder den der Logik. Diese unterschiedlichen Definitionen von Folgerung beziehungsweise metasprachlicher Implikation führen zu grundsätzlich unterschiedlichen Kalkülen und semantischen [[Modelltheorie|Modellen]]. Wenn aus dem Zusammenhang nicht klar hervorgeht, welche Art von metasprachlicher Implikation beziehungsweise Folgerung gemeint ist, ist es daher notwendig, diese Information mitzuliefern. Man kann daher zum Beispiel auf Formulierungen treffen wie „A impliziert klassisch (semantisch, syntaktisch) B“ oder „C impliziert intuitionistisch (semantisch, syntaktisch) D“. In der formalen Schreibweise wird die Art der Folgerung meist durch ein Subskript beim Folgerungszeichen angezeigt. So könnte zum Beispiel „K“ für klassische, „I“ für intuitionistische Folgerung stehen, also <math>A \models_K B</math> (semantisch, klassisch), <math>A \vdash_K B</math> (syntaktisch, klassisch), <math>A \models_I B</math> (semantisch, intuitionistisch) und <math>A \vdash_I B</math> (syntaktisch, intuitionistisch).

In den allermeisten Logiken besteht zwischen objekt- und metasprachlicher Implikation ein enger Zusammenhang, der im [[Deduktionstheorem]] ausgedrückt wird. Ist nämlich „Wenn a, dann b“ beweisbar, so lässt sich ''b'' aus ''a'' herleiten; und lässt sich umgekehrt ''b'' aus ''a'' herleiten, dann ist „Wenn a, dann b“ beweisbar. Für „''c'' ist beweisbar“ schreibt man auch <math>\vdash c</math>. Das Deduktionstheorem kann damit wie folgt niedergeschrieben werden:

:<math>\vdash a \rightarrow b</math> gdw. <math> a \vdash b</math>

Das Deduktionstheorem gilt sowohl für die klassische, die intuitionistische als auch die strikte Implikation. Es handelt sich jedoch um keinen selbstverständlichen Zusammenhang, sondern erfordert einen (in den meisten Fällen nicht-trivialen) Beweis.

== Siehe auch ==
* [[Mamdani-Implikation]]
* [[Kontrafaktisches Konditional]]

== Weblinks ==
{{Wiktionary}}
* {{SEP|https://plato.stanford.edu/entries/conditionals/|Conditionals|Dorothy Edgington}}
* {{SEP|https://plato.stanford.edu/entries/necessary-sufficient/|Necessary and Sufficient Conditions|Andrew Brennan}}
* {{SEP|https://plato.stanford.edu/entries/logic-conditionals/|The Logic of Conditionals|Horacio Arlo-Costa}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4161414-8}}

[[Kategorie:Aussagenlogik]]

Implikation - Versionsgeschichte

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