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Eine (rein) '''imaginäre Zahl''' (auch ''Imaginärzahl,'' lat. ''numerus imaginarius'') ist eine [[komplexe Zahl]], deren Quadrat eine nichtpositive [[reelle Zahl]] ist. Äquivalent dazu kann man die imaginären Zahlen als diejenigen komplexen Zahlen definieren, deren [[Realteil]] null ist.<ref>{{MathWorld|id=ImaginaryNumber|title=Imaginary Number}}</ref>

Die Bezeichnung „imaginär“ wurde zuerst 1637 von [[René Descartes]] benutzt, allerdings für nichtreelle [[Lösung (Mathematik)|Lösungen]] von [[Algebraische Gleichung|algebraischen Gleichungen]].<ref>[[Helmuth Gericke]]: ''Geschichte des Zahlbegriffs.'' Bibliographisches Institut, Mannheim 1970, S. 66.</ref>

== Allgemeines ==
[[Datei:Gaußsche Zahlenebene.svg|mini|Darstellung einer komplexen Zahl in der Gaußebene]]

=== Imaginäre Einheit i ===
Wie die reellen Zahlen aus der Einheit 1 hervorgehen, basieren die imaginären Zahlen auf der '''imaginären Einheit''' <math>\mathrm{i}</math>, einer nichtreellen Zahl mit der Eigenschaft

:<math>\mathrm{i}^2 = -1</math>.

Gelegentlich wird auch die Formulierung <math display="inline">\mathrm{i} = \sqrt{-1}</math> verwendet. Hier muss man allerdings Vorsicht walten lassen: Eine naive, aber inadäquate Übertragung der [[Wurzel (Mathematik)#Die Wurzelgesetze|Wurzelgesetze]] von reellen auf komplexe Zahlen führt mit dieser Bezeichnung zum Widerspruch

:<math>-1 = \mathrm{i}^2 = (\sqrt{-1})^2 = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{(-1) \cdot (-1)} = \sqrt{1} = 1 </math>.

Durch Anwendung der Definition der [[Quadratwurzel#Quadratwurzeln aus komplexen Zahlen|Quadratwurzeln aus komplexen Zahlen]] lässt sich dieser Widerspruch vermeiden.

=== Imaginäre Zahlen ===
Das Produkt der imaginären Einheit <math>\mathrm{i}</math> mit einem ''reellen'' Faktor <math>b</math>

:<math>b \cdot \mathrm{i}</math>

ist stets eine imaginäre Zahl. Und auch umgekehrt ist jede imaginäre Zahl ein reelles Vielfaches der imaginären Einheit. In der [[Gaußebene]] (siehe Bild) bilden die imaginären Zahlen die mit „<math>\operatorname{Im}</math>“ beschriftete Gerade, die die reelle [[Zahlengerade]] „<math>\operatorname{Re}</math>“ bei der gemeinsamen Zahl 0 [[Rechter Winkel|rechtwinklig]] schneidet.

== Anwendung ==
In den imaginären Zahlen lassen sich Gleichungen lösen, die keine reellen Lösungen haben können. Zum Beispiel hat die Gleichung

:<math>x^2 - 4 = 0</math>

als Lösung zwei reelle Zahlen, nämlich <math>+2</math> und <math>-2</math>. Aber die Gleichung

:<math>x^2 + 4 = 0</math>

kann keine reelle Lösung haben, da Quadrate reeller Zahlen niemals negativ sind, sodass es keine reelle Zahl gibt, deren Quadrat −4 wäre. Die Lösung dieser Gleichung sind zwei imaginäre Zahlen, <math>+2\mathrm{i}</math> und <math>-2\mathrm{i}</math>.

Eine Beschäftigung mit Quadratwurzeln aus negativen Zahlen wurde bei der Lösung von [[Kubische Gleichung|kubischen Gleichungen]] im Fall des [[Casus irreducibilis]] nötig.

In der [[Komplexe Wechselstromrechnung|komplexen Wechselstromrechnung]] wird als Symbol für die imaginäre Einheit statt <math>\mathrm i</math> ein <math>\mathrm j</math> benutzt, um Verwechslungen mit dem [[Augenblickswert|Momentanwert]] <math>i(t)</math> der [[Elektrische Stromstärke|elektrischen Stromstärke]] zu vermeiden. Diese Bezeichnung geht auf [[Charles P. Steinmetz]] zurück.<ref>{{Literatur |Autor=Kurt Jäger, Friedrich Heilbronner |Titel=Lexikon der Elektrotechniker |Auflage=2 |Verlag=VDE Verlag |Datum=2010 |ISBN=978-3-8007-2903-6 |Seiten=418}}</ref> Sie ist gemäß DIN 1302, DIN 5483-3 und [[ISO 80000|ISO 80000-2]] als Symbol erlaubt.

== Rechenregeln ==

[[Summe]]n oder Differenzen zweier imaginärer Zahlen sind stets imaginär, und es gilt das [[Distributivgesetz]]:

:<math>b\mathrm{i} - c\mathrm{i} = (b-c)\cdot \mathrm{i}</math>

[[Produkt (Mathematik)|Produkte]] oder [[Quotient]]en zweier imaginärer Zahlen sind stets reell:

:<math>b\mathrm{i} \cdot c\mathrm{i} = bc \cdot \mathrm{i}^2 = -bc</math>

=== Potenzen ===

:<math>\begin{align}
\mathrm{i}^{-1} &= \frac{1}{\mathrm{i}} = \frac{\mathrm{i}}{\mathrm{i}^2} = \frac{\mathrm{i}}{-1} = -\mathrm{i}\\
\mathrm{i}^0 &= 1\\
\mathrm{i}^1 &= \mathrm{i}\\
\mathrm{i}^2 &= -1\\
\mathrm{i}^3 &= \mathrm{i}^2 \cdot \mathrm{i} = -\mathrm{i}\\
\mathrm{i}^4 &= \mathrm{i}^2 \cdot \mathrm{i}^2 = (-1)^2 = 1
\end{align}</math>

Allgemein gilt:

:<math>\begin{align}
\mathrm{i}^{4n} &= 1\\
\mathrm{i}^{4n+1} &= \mathrm{i}\\
\mathrm{i}^{4n+2} &= -1\\
\mathrm{i}^{4n+3} &= -\mathrm{i}\\
\mathrm{i}^{2n} &= (\mathrm{i}^2)^n = (-1)^n
\end{align}</math>

für alle <math>n\in \Z</math>.

== Komplexe Zahlen ==
{{Hauptartikel|Komplexe Zahl}}
Die imaginäre Einheit <math>\mathrm i</math> erlaubt die Erweiterung des [[Körper (Algebra)|Körpers]] der reellen Zahlen zum Körper der komplexen Zahlen.

Heute versteht man imaginäre Zahlen als spezielle komplexe Zahlen. Jede komplexe Zahl kann dargestellt werden als Summe einer reellen Zahl und eines reellen Vielfachen der imaginären Einheit <math>\mathrm{i}</math>.

[[Klassische Algebra|Algebraisch]] wird <math>\mathrm{i}</math> definiert als eine [[Nullstelle]] des [[Polynom]]s <math>x^2 + 1</math> und die komplexen Zahlen als die dadurch erzeugte [[Körpererweiterung]]. Die zweite Nullstelle ist dann <math>-\mathrm{i}</math>. Man kann die beiden Nullstellen erst unterscheiden, wenn man eine der beiden mit <math>\mathrm{i}</math> bezeichnet hat. Für die beiden Nullstellen hat man hierbei keine Unterscheidungsmerkmale. Es spielt so keine Rolle, „welche“ Nullstelle man nun mit <math>\mathrm{i}</math> bezeichnet. (Wird jedoch, wie üblich, der komplexe Zahlenbereich auf der Struktur des <math>\mathbb{R}^2</math> definiert statt nur mit seiner Hilfe dargestellt, so kann man die möglichen Nullstellen sehr wohl unterscheiden und wählt naheliegenderweise <math>\mathrm{i} := (0,1)^\mathrm{T}</math> statt des ebenso möglichen <math>\mathrm{i} := (0,-1)^\mathrm{T}</math>.)

Alle komplexen Zahlen lassen sich in der [[Gaußebene]] darstellen, einer Erweiterung der reellen [[Zahlengerade]]n. Die komplexe Zahl <math>a + \mathrm i \cdot b</math> mit ''reellen'' Zahlen <math>a, b</math> hat den [[Realteil]] <math>a</math> und den Imaginärteil <math>b</math>. Aufgrund der Rechenregeln komplexer Zahlen ist das Quadrat einer Zahl, deren Realteil gleich 0 ist, eine nichtpositive reelle Zahl:
:<math>(b\mathrm i)^2 = -b^2</math>

== Weiteres ==
Erweiterungen stellen die [[Hyperkomplexe Zahl|hyperkomplexen Zahlen]] dar, die über die komplexen Zahlen hinausgehend mehrere imaginäre Einheiten aufweisen. Beispielsweise treten bei den vierdimensionalen [[Quaternionen]] drei imaginäre Einheiten auf, bei den achtdimensionalen [[Oktonionen]] gibt es sieben imaginäre Einheiten.

Ausgehend von der [[Eulersche Formel|eulerschen Formel]]

:<math>\mathrm e^{\mathrm i x} = \cos x + \mathrm i \sin x</math>

wird für <math>x=\pi</math> in der [[Eulersche Identität|eulerschen Identität]] ein prägnanter, einfacher Zusammenhang der imaginären Einheit <math>\mathrm i</math> mit drei anderen grundlegenden [[Mathematische Konstante|mathematischen Konstanten]] hergestellt, nämlich mit der [[Eulersche Zahl|eulerschen Zahl]] <math>\mathrm{e}</math>, der [[Kreiszahl]] <math>\mathrm{\pi}</math> sowie der reellen Einheit 1:

:<math>\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi} = -1</math>

== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=Ilja N. Bronstein, K. A. Semendjajew, Gerhard Musiol, Heiner Muehlig |Titel=Taschenbuch der Mathematik |Auflage=7 |Verlag=Harri Deutsch |Datum=2008 |ISBN=978-3-8171-2007-9}}

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Imaginäre und komplexe Zahlen}}
{{Wikibooks|Komplexe Zahlen}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4588957-0}}

{{SORTIERUNG:Imaginare Zahl}}

[[Kategorie:Zahl]]

Imaginäre Zahl - Versionsgeschichte

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