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Das '''Ikosaeder''' [{{IPA|ikozaˈʔeːdɐ}}] (von [[Altgriechische Sprache|altgriechisch]] {{lang|grc|εἰκοσάεδρον}} ''eikosáedron'' „Zwanzigflach“, „Zwanzigflächner“)<ref>{{Literatur |Titel=Brockhaus' Kleines Konversations-Lexikon |Band=1 |Auflage=5. |Ort=Leipzig |Datum=1911 |Online=http://www.zeno.org/nid/20001207768}}</ref> ist ein [[Polyeder]] mit zwanzig Seitenflächen. Zu diesen gehören:
* [[Pyramide (Geometrie)|Pyramide]] mit einem Neunzehneck als Grundfläche
* [[Prisma (Geometrie)|Prisma]] mit achtzehneckiger Grund- und Deckfläche
* Das regelmäßige, konvexe Ikosaeder.
Von diesen Formen hat nur das regelmäßige konvexe Ikosaeder eine wesentliche Bedeutung. Dieser Artikel behandelt im Folgenden nur das regelmäßige, konvexe Ikosaeder.
{| class="wikitable float-right"
|- class="hintergrundfarbe6"
! colspan="2"|Regelmäßiges Ikosaeder
|-
| colspan="2" style="text-align:center"|[[Datei:120px-Icosahedron-slowturn.gif]]
|-
| Art der Seitenflächen
| style="text-align:center"|gleichseitige Dreiecke
|-
| Anzahl der Flächen
| style="text-align:center"|20
|-
| Anzahl der Ecken
| style="text-align:center"|12
|-
| Anzahl der Kanten
| style="text-align:center"|30
|-
| [[Schläfli-Symbol]]
| style="text-align:center"|{3,5}
|-
| [[Dualität (Mathematik)#Dualität in der Geometrie|dual]] zu
| style="text-align:center"|[[Dodekaeder]]
|-
| Beispiel eines [[Körpernetz]]es
| style="text-align:center"|[[Datei:Icosahedron flat.svg|80px]]
|-
| Anzahl verschiedener Netze
| style="text-align:center"|43380
|-
| Anzahl Kanten in einer Ecke
| style="text-align:center"|5
|-
| Anzahl Ecken einer Fläche
| style="text-align:center"|3
|-
|}

Das regelmäßige Ikosaeder ist einer der fünf [[Platonischer Körper|platonischen Körper]]. Es besitzt zwanzig [[Kongruenz (Geometrie)|kongruente]] [[Gleichseitiges Dreieck|gleichseitige Dreiecke]] als [[Seitenfläche]]n, dreißig gleich lange Kanten und zwölf Ecken, in denen jeweils fünf Seitenflächen zusammentreffen.

== Symmetrie ==
[[Datei:01 Ikosaeder-Symmetrie.png|mini|hochkant=0.8|Ikosaeder mit Beispielen der Drehachsen <math>C_5, C_3, C_2</math> und einer Symmetrieebene (rot)]]

Wegen seiner hohen [[Symmetrie (Geometrie)|Symmetrie]] – alle [[Ecke]]n, Kanten und [[Fläche (Mathematik)|Flächen]] sind untereinander gleichartig – ist das Ikosaeder ein [[reguläres Polyeder]]. Es hat:
* 6 fünfzählige [[Drehachse]]n <math>C_5</math> (durch gegenüberliegende Ecken)
* 10 dreizählige Drehachsen <math>C_3</math> (durch die [[Mittelpunkt]]e gegenüberliegender [[Fläche (Mathematik)|Flächen]])
* 15 zweizählige Drehachsen <math>C_2</math> (durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten)
* 15 [[Symmetrieebene]]n (durch einander gegenüberliegende und [[Parallelität (Geometrie)|parallele]] Kanten)
und ist
* [[Punktsymmetrie|punktsymmetrisch]] (Punktspiegelung am Mittelpunkt des [[Polyeder]]s).

Insgesamt hat die [[Symmetriegruppe]] des Ikosaeders – die [[Ikosaedergruppe]] oder Dodekaedergruppe – 120 Elemente. Die [[Untergruppe]] der [[Drehung]]en des Ikosaeders hat die [[Ordnung einer Gruppe|Ordnung]] 60 und ist die kleinste [[Nichtabelsche Gruppe|nichtabelsche]] [[Einfache Gruppe (Mathematik)|einfache Gruppe]] (<math>A_5</math>, [[Alternierende Gruppe]] vom Grad 5). Die [[Symmetrie (Geometrie)|Symmetrie]] des Ikosaeders ist wegen der bei ihm auftretenden fünfzähligen Symmetrie mit einer periodischen Raumstruktur nicht verträglich (siehe [[Parkettierung]]). Es kann daher kein [[Kristallgitter]] mit Ikosaedersymmetrie geben (siehe [[Quasikristall]]e).

== Struktur des Ikosaeders ==
[[Datei:Icosahedron-golden-rectangles.svg|mini|hochkant=0.8|Rechtecke in einem Ikosaeder]]

Wie die nebenstehende Abbildung zeigt, kann man unter den Kanten des Ikosaeders 3 Paare gegenüberliegender Kanten so auswählen, dass diese Paare 3 [[Kongruenz (Geometrie)|kongruente]] zueinander paarweise [[Orthogonalität|orthogonale]] [[Rechteck]]e aufspannen. Die [[Länge (Mathematik)|Längen]] der Seiten dieser Rechtecke entsprechen dem [[Goldener Schnitt|Goldenen Schnitt]], weil sie Seiten bzw. [[Diagonale (Geometrie)|Diagonalen]] regelmäßiger [[Fünfeck]]e sind. Das Ikosaeder kann daher so in einen [[Würfel (Geometrie)|Würfel]] eingeschrieben werden, dass diese 6 Kanten in den 6 [[Fläche (Mathematik)|Flächen]] des Würfels liegen und [[Parallelität (Geometrie)|parallel]] zu den Kanten des Würfels sind.

Die 24 restlichen Kanten begrenzen 8 [[Dreieck]]e, die in den Flächen eines – dem Ikosaeder umschriebenen – [[Oktaeder]]s liegen, wobei die Ecken des Ikosaeders auf dessen Kanten liegen.

Insgesamt gibt es fünf derartige Positionen, wobei jede Kante des Ikosaeders zu genau einer solchen Gruppe von [[Orthogonalität|orthogonalen]] Kantenpaaren gehört, während jede [[Fläche (Mathematik)|Fläche]] zweimal in der Fläche eines umschriebenen [[Oktaeder]]s liegt. Die [[Symmetriegruppe]] des Ikosaeders bewirkt alle 5!/2 ''= 60'' geraden [[Permutation]]en dieser fünf Positionen.

Die Kanten des Ikosaeders enthalten zwölf [[Ebene (Mathematik)|ebene]] [[Fünfeck]]e, wobei jede Kante zu zwei und jede Ecke zu fünf dieser Fünfecke gehört. Man kann diese Eigenschaft zum Bau eines Drahtmodells benutzen.

Man kann sich das Ikosaeder auch als Kombination aus einem uniformierten fünfeckigen [[Antiprisma]] und aus beidseits je einer aufgesetzten fünfseitigen [[Pyramide (Geometrie)|Pyramide]] vorstellen.

== Formeln ==
Die folgende Tabelle ist eine Zusammenstellung von metrischen Eigenschaften eines regulären Ikosaeders, die im nächsten Abschnitt hergeleitet werden.

{| class="wikitable"
|-
! colspan="3" style="background:#C0C0FF"| Größen eines Ikosaeders mit Kantenlänge ''a''
|-
| style="background:#ececec; padding:.5em" | '''[[Volumen]]'''
|<math>V = \frac{5}{12} (3 + \sqrt{5})\cdot a^3 </math> <math>\approx 2{,}182 \cdot a^3</math>
|rowspan="12"|
[[Datei:01 Ikosaeder-Größen.png|400px]] 
::: ohne Raumwinkel <math>\Omega</math> in den Ecken
|-
| style="background:#ececec; padding:.5em" | '''[[Flächeninhalt|Oberflächeninhalt]]'''
|<math>A_O = 5\sqrt{3}\cdot a^2</math> <math>\approx 8{,}660\cdot a^2</math>
|-
| style="background:#ececec; padding:.5em" | '''[[Umkugel]]radius'''
|<math>r_u = \frac{1}{4}\sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}\cdot a</math> <math>\approx 0{,}951 \cdot a</math>
|-
| style="background:#ececec; padding:.5em" | '''[[Kantenkugel]]radius'''
|<math>r_k = \frac{1}{4}\left(1 + \sqrt{5}\right)\cdot a</math> <math>\approx 0{,}809 \cdot a</math>
|-
| style="background:#ececec; padding:.5em" | '''[[Inkugel]]radius'''
|<math>r_i = \frac{\sqrt{3}}{12} (3 + \sqrt{5})\cdot a</math> <math>\approx 0{,}756 \cdot a</math>
|-
| style="background:#ececec; padding:.5em" | '''Verhältnis von Volumen zu Umkugelvolumen'''
|<math>\frac{V}{V_{UK}} = \frac{1}{2 \pi}\sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}</math> <math>\approx 0{,}605</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"|'''Innenwinkel des [[Gleichseitiges Dreieck#Berechnung und Konstruktion|gleichseitigen Dreiecks]]'''
|<math> \alpha = 60^\circ</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"|'''Winkel zwischen benachbarten Flächen'''
|<math>\beta = 2\arctan\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right) \approx 138{,}19^\circ</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"|'''Winkel zwischen Kante und Fläche'''
|<math>\gamma =90^\circ+\arctan\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right) \approx 110{,}9^\circ</math>
|-
| style="background:#ececec; padding:.5em" | '''3D-Kantenwinkel'''
|<math>\delta = 108^\circ</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Raumwinkel]] in den Ecken'''
|<math>\Omega = 2\pi-10\arctan\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right) \approx 2{,}6345\;\mathrm{sr}</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"|''' [[Sphärizität (Geologie)|Sphärizität]]'''
|<math>\Psi =\sqrt [3] {\frac{ \left(7 + 3 \sqrt{5} \right) \pi}{30 \sqrt{3}}
} \approx 0{,}939</math>
|}

== Flächen, Winkel, Radien, Koordinaten ==
=== Punkte des Ikosaeders ===
[[Datei:Ikosaeder-10-10-gr.svg|mini|hochkant=1.1|Ikosaeder mit seinen 3 goldenen Rechtecken]]

Die Punkte eines regulären Ikosaeders sind die Ecken dreier sich orthogonal schneidender kongruenter [[Goldenes Rechteck|goldener Rechtecke]]. Sind die Seitenlängen <math>\;a,\; c=\tfrac{1+\sqrt{5}}{2}a\;</math>, so lassen sich die 12 Punkte in einem kartesischen Koordinatensystem so beschreiben:
:<math>\left(0, \pm\frac a 2, \pm\frac c 2\right), \; \left(\pm\frac c 2, 0, \pm\frac a 2\right), \; \left(\pm\frac a 2, \pm\frac c 2, 0\right)</math>.

Man rechnet nach, dass
#alle Punkte vom Nullpunkt den Abstand <math>\frac 1 2\sqrt{a^2+c^2}</math> und
#benachbarte Punkte den Abstand <math>a</math>
haben. Also liegen alle (gleichseitigen) Dreiecke benachbarter Punkte auf einer Kugel und das Polyeder ist das reguläre Ikosaeder.

=== Winkel ===
Für die Berechnung der Winkel zwischen zwei benachbarten Dreiecken bzw. einer Kante mit einem benachbarten Dreieck ist der in dem Bild eingezeichnete Winkel <math>\psi</math> wichtig. Aus der Zeichnung erkennt man, dass
[[Datei:Ikosaeder-gr.svg|mini|hochkant=1.1|Ikosaeder: Koordinaten und Winkel, sowie goldene Rechtecke (dunkelrot)]]
:<math>\tan\psi = \frac{c-a}{c}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}</math>
:<math>\Longrightarrow \; \psi = \arctan\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right) \approx 20{,}9^\circ</math>
und damit der
* ''Winkel'' zwischen Seitenflächen
::<math>\beta=180^\circ-2\psi \approx 138{,}2^\circ</math>
* ''Winkel'' zwischen einer Kante und einer Seitenfläche
::<math>\gamma=90^\circ+\psi \approx 110{,}9^\circ</math>

=== Um/In/Kanten-Kugelradien ===
Aus der Zeichnung erkennt man ferner den
* ''Kantenkugelradius'' <math>\ r_k=\frac{c}{2}=\frac a 4 (1+\sqrt{5})\approx 0{,}81\; a</math>
* ''Umkugelradius'' <math>\ r_u=|OP_1|=\frac 1 2\sqrt{a^2+c^2}=\frac a 4\sqrt{10+2\sqrt{5}}\approx 0{,}95\; a</math>

Der Inkugelradius ist (im Bild) der Abstand der Gerade in der y-z-Ebene durch die Punkte <math>(\tfrac c 2,0),(\tfrac a 2,-\tfrac c 2)</math> vom Nullpunkt. Diese Gerade hat die Gleichung
:<math>z = \frac{c}{c-a}\left(y-\frac c 2\right) \quad \Longrightarrow \quad cy-(c-a)z-\frac{c^2}{2} = 0 </math>
:<math>\Longrightarrow \ (\sqrt{5}+1)y-(\sqrt{5}-1)z-\frac 1 2 (3+\sqrt{5})a=0.</math>
Bestimmt man den Abstand dieser Gerade vom Nullpunkt mit Hilfe der [[Hessesche Normalform|Hesseschen Normalform]], so ergibt sich der Inkugelradius <math>r_i</math>. Es ist

:<math>r_i^2=\frac 1 4\frac{(3+\sqrt{5})^2}{(\sqrt{5}+1)^2+(\sqrt{5}-1)^2}\;a^2
=\frac 1 4\frac{(3+\sqrt{5})^2}{12}\;a^2</math>
Damit ist der
* ''Inkugelradius'' <math>\ r_i=\frac{\sqrt{3}\;(3+\sqrt{5})}{12}\;a \approx 0{,}76\;a</math>.

=== Oberfläche, Volumen ===
Die Oberfläche des Ikosaeders ist die Summe der 20 Dreiecksflächen. Die Fläche eines regelmäßigen 3-Ecks ist
<math>A_3=\tfrac{\sqrt{3}}{4}\;a^2\ </math>. Damit ist die
* ''Oberfläche'' des Ikosaeders: <math>\ A_O=5 \sqrt{3}\; a^2</math>.

Das Volumen des Ikosaeders ist die Summe der Volumina der 20 Pyramiden, die jeweils ein Dreieck als Grundfläche und den Innenkugelradius <math>r_i</math> als Höhe besitzen. Das Volumen einer Pyramide ist <math>\tfrac{r_i}{3}A_3</math> und das
* ''Volumen'' des Ikosaeders ist
:<math>V=20\;\frac{\sqrt{3}\;(3+\sqrt{5})}{3\cdot 12}\frac{\sqrt{3}}{4}\;a^3
=\frac{5}{12}(3+\sqrt{5})\;a^3</math>.

=== Raumwinkel in den Ecken ===
<div style="float:right;">[[Datei:01 Ikosaeder-Raumwinkel.svg|mini|ohne|250px|Raumwinkel mit Einheitskugel]]</div>
<div style="float:right;">[[Datei:Ikosaeder-20-15-rw.svg|mini|ohne|250px|Zur Bestimmung des Raumwinkels]]</div>
Der Raumwinkel in einer Ikosaederecke <math>P_1</math> ist der Flächeninhalt des sphärischen 5-Ecks, das die 5 Kanten durch <math>P_1</math> auf der Einheitskugel an dieser Ecke ausstechen. Im Bild wird der Einfachheit halber angenommen, dass <math>a=1</math> ist. Dann geht die Einheitskugel in <math>P_1</math> durch die Nachbarpunkte <math>P_2,P_3,P_4,P_5,P_6</math>. Zerlegt man mit Hilfe des Mittelpunkts <math>Z</math> des sphärischen 5-Ecks das 5-Eck entlang den 5 Kanten in 5 sphärische Dreiecke (eins davon ist <math>P_2,P_3,Z</math>) und bestimmt den Raumwinkel <math>\Omega_3</math> dieses Dreiecks, so ist der gesuchte Raumwinkel <math>\Omega=5\Omega_3</math>. Ist <math>\beta</math> der Winkel zwischen zwei 3-Ecken des Ikosaeders (siehe oben), so sind die Winkel <math>\psi_1,\psi_2,\psi_3</math> in dem sphärischen Dreieck gleich den Winkeln zwischen den das sphärische Dreieck ausschneidenden Ebenen:
:<math>\psi_1=\frac{2\pi}{5},\; \psi_2=\psi_3=\frac{\beta}{2}</math>
Der [[Kugeldreieck|Flächeninhalt des sphärischen Dreiecks]] ist damit
:<math>\Omega_3=\psi_1+\psi_2+\psi_3-\pi=\frac{2\pi}{5}+\beta-\pi</math>
und der Raumwinkel des Ikosaeders
[[Datei:Raumw-ikosaeder.svg|mini|hochkant=0.6|Raumwinkel]]
* <math>\Omega=5\Omega_3
=5\beta -3\pi=5(\pi-2\arctan\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)-3\pi</math>
:<math>\quad =2\pi-10\arctan\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)\approx 2{,}6345\;\mathrm{sr} .
</math>
Dieser Raumwinkel entspricht der Fläche eines [[Kugelsegment]]s auf der Einheitskugel mit einem halben Öffnungswinkel <math>\theta \approx 54{,}5^\circ</math>

=== 3D-Kantenwinkel ===
Dieser Winkel, bezeichnet mit <math>\delta</math> (siehe Bild in ''[[#Formeln|Formeln]]''), hat seinen Scheitel an einer Ecke des Ikosaeders und entspricht dem [[Innenwinkel]] des regelmäßigen [[Fünfeck#Innenwinkel|Fünfecks]].
Somit gilt für den 3D-Kantenwinkel des Ikosaeders
:<math>\delta = 108^\circ</math>.

== Kartesische Koordinaten ==
Die folgenden [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinaten]] definieren die [[Ecke]]n eines am Ursprung zentrierten Ikosaeders mit Kantenlänge 2:
: (0, ±1, ±<math>\Phi</math>)
: (±1, ±<math>\Phi</math>, 0)
: (±<math>\Phi</math>, 0, ±1)
mit <math>\Phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618</math> ([[Goldener Schnitt|Goldene Zahl]]). Die Verbindungsstrecke zweier Ecken ist genau dann eine Kante des Ikosaeders, wenn ihr (kanonisches) [[Skalarprodukt]] gleich <math>\Phi</math> ist. <math>(0, 1, \Phi)</math> ist z. B. mit <math>(\Phi, 0, 1)</math>, <math>(1, \Phi,0)</math>, <math>(-1, \Phi, 0)</math>, <math>(-\Phi,0,1)</math>, <math>(0, -1, \Phi)</math> durch Kanten verbunden (beachte: <math>\Phi^2-1=\Phi</math>).

== Konstruktion ==
{{Doppeltes Bild|rechts|01 Icosahedron.gif|297|01 Icosahedron-15 images.gif|299|Ikosaeder, Konstruktionsskizze|Konstruktion in 15 Bildern}}
[[Euklid]] beschreibt und beweist im dreizehnten Buch seines Werkes [[Elemente (Euklid)|''Elemente'']], unter Proposition 16, die Konstruktion des Ikosaeders.
{{Zitat
|Text=Ein Ikosaeder einer Kugel mit gegebenem rationalem oder quadriert rationalem
Durchmesser einbeschreiben.
Die Kante des Ikosaeders ist dann irrational und zwar konjugiert apotomisch.
|Autor=Euklid
|Quelle=Stoicheia. Buch XIII.16.
|Übersetzung=Rudolf Haller
|ref=<ref name="Haller">[http://www.opera-platonis.de/euklid/Buch13.pdf#page=17&zoom=100,-436,658 Euklid, deutsch Rudolf Haller: Stoicheia. Buch XIII.16.]</ref>}}
Um den Aufwand zu minimieren, enthält die folgende [[Sphärische Geometrie|sphärische Darstellung]] nur die Schritte, die für das Ikosaeder vonnöten sind. Von Vorteil ist hierzu die Anwendung einer sogenannten [[Dynamische Geometrie|''Dynamische-Geometrie-Software (DGS)'']].

Gegeben sei eine [[Umkugel]], z. B mit dem Radius gleich <math>1</math> und deren Mittelpunkt <math>U</math>. Beim Bestimmen der <math>x-,\; y-</math> und <math>z-</math>Achsen eines kartesischen [[Koordinatensystem]]s, entstehen die Punkte <math>A',\; B',\;Y</math> und <math>Z</math> auf der Oberfläche der Umkugel.

Vorab werden die beiden Größen Kantenlänge <math>a</math> und der Umkreisradius <math>r_{U5}</math> für zwei konstruktiv erforderliche [[Fünfeck]]e ermittelt. Auf der verlängerten <math>z-</math>Achse wird der Punkt <math>U'</math> festgelegt und anschließend der Kugeldurchmesser <math>|AB| = 2</math> mit Mittelpunkt <math>U'</math> auf einer zur <math>y-</math>Achse Parallelen projiziert. Mittels einer (nicht eingezeichneten) Hilfskugel mit Radius <math>|AU'| = 1</math> wird <math>E</math> als dritter Punkt für den folgenden Umkreisbogen <math>AEB</math> markiert. Weiter geht es mit der zur <math>z-</math>Achse parallelen Streckenlänge <math>|\overline{AG}|</math> mithilfe eines (nicht eingezeichneten) Kreisbogens um <math>A</math> (Richtung <math>y-</math>Achse) mit Radius gleich <math>2</math>. Verbindet man jetzt <math>G</math> mit <math>U'</math>, wird der Umkreisbogen in <math>H</math> geschnitten. Die Verbindung <math>A</math> mit <math>H</math> liefert die Kantenlänge <math>a</math> des Ikosaeders.<ref>[http://www.opera-platonis.de/euklid/Buch13.pdf#page=24 Euklid, deutsch Rudolf Haller: Stoicheia. Buch XIII.18.]</ref><ref>Euklid zeigt <math>a = |\overline{MB}|</math> und <math>|\overline{KC}|=|\overline{CL}|</math>, folglich ist auch <math>|\overline{AH}|=a.</math></ref> Das anschließend eingezeichnete [[Rechtwinkliges Dreieck|rechtwinklige Dreieck]] <math>CBD</math> mit der Kathete <math>\overline{BC} = \tfrac{1}{5}|AB|</math> hat eine Hypotenuse <math>\overline{BD}</math>, deren Länge gleich dem Umkreisradius <math>r_{U5}</math> eines Fünfecks ist.<ref name="Haller" />

Die eigentliche Konstruktion des Ikosaeders beginnt mit dem Übertragen der halben Länge des Umkreisradius <math>r_{U5}</math> auf die <math>z-</math>Achse. Dies geschieht mittels einer (nicht eingezeichneten) Hilfskugel mit Radius <math>\tfrac{1}{2}|BD|</math> um den Mittelpunkt <math>U</math>; die damit bestimmten Schnittpunkte sind <math>W</math> und <math>X</math>. Die Verbindung dieser beiden Punkte zur Strecke <math>\overline{WX}</math> dient lediglich der Verdeutlichung des Zusammenhangs. Es folgt das Einzeichnen der Umkreise (Richtung <math>z-</math>Achse) mit Radius <math>|BD|</math> um die Punkte <math>W</math> und <math>X</math>. Eine sich anschließende Parallele zur <math>x-</math>Achse durch <math>W</math> bringt mit dem Schnittpunkt <math>L</math> die erste Ecke des Fünfecks. Nun zieht man drei (nicht eingezeichnete) Kreise, beginnend um <math>L</math>, mit dem Radius <math>a</math> auf die Ebene des Umkreises um <math>W</math>; dabei entsteht das Fünfeck <math>LMNOP</math>. Eine Parallele zur <math>x-</math>Achse durch <math>X</math>, in entgegengesetzter Richtung bezüglich des Umkreises um <math>W</math>, erzeugt den Schnittpunkt <math>T</math>. Drei (nicht eingezeichnete) Kreise, beginnend um <math>T</math>, mit dem Radius <math>a</math> auf die Ebene des Umkreises um <math>X</math>, liefern das Fünfeck <math>TVQRS</math>.

Für die Fertigstellung des Ikosaeders bedarf es jetzt nur noch des Einzeichnens der gleichseitigen Dreiecksflächen mit der Seitenlänge <math>a</math>. Sie ergeben sich durch Verbindungen der entsprechenden Eckpunkte, wie das Beispiel Dreieck <math>ZQR</math> zeigt.

== Beziehungen zu anderen Polyedern ==
[[Datei:01 Ikosaeder umschreibt Dodekaeder.svg|mini|Ikosaeder (blau) mit [[Dualität (Mathematik)#Dualität von Polytopen|dualem]] [[Dodekaeder]] (grün). Die [[Mittelpunkt|Mittelpunkte]] (rot) der [[Regelmäßiges Polygon|regelmäßigen]] [[Dreieck|Dreiecke]] sind die Ecken des Dodekaeders.|links]]
[[Datei:Soccerball.svg|mini|200x200px|Fußball – ein [[Ikosaederstumpf]] mit [[Fünfeck|Fünfecken]] und [[Sechseck|Sechsecken]]]]

Das Ikosaeder ist das zum [[Dodekaeder]] [[Platonischer Körper#Dualität|duale Polyeder]] und umgekehrt.

Mit Hilfe von Ikosaeder und [[Dodekaeder]] können zahlreiche [[Körper (Geometrie)|Körper]] konstruiert werden, die ebenfalls die [[Ikosaedergruppe]] als [[Symmetriegruppe]] haben. So erhält man zum Beispiel

* das [[Ikosaederstumpf|abgestumpfte Ikosaeder]] (Fußballkörper) mit 12 [[Fünfeck]]en und 20 [[Sechseck]]en als Durchschnitt eines [[Dodekaeder]]s mit einem Ikosaeder (siehe [[archimedische Körper]], [[Fullerene]]). Es entsteht aus dem Ikosaeder, indem die [[Ecke]]n senkrecht zu den Verbindungsgeraden der Ecken mit dem [[Mittelpunkt]] gekappt werden, wobei [[Regelmäßiges Polygon|regelmäßige]] Fünfecke als Schnittflächen auftreten und die [[Dreieck]]e zu Sechsecken mutieren. Bei bestimmter Schnitthöhe sind die Sechsecke regelmäßig.<ref>Mathematische Basteleien – Fußball: ''[http://www.mathematische-basteleien.de/fussball.htm Abgestumpftes Ikosaeder]''.</ref>

* das [[Ikosidodekaeder]] mit 20 Dreiecken und 12 Fünfecken
* das [[Dodekaederstumpf|abgestumpfte Dodekaeder]] mit 20 Dreiecken und 12 Zehnecken als Durchschnitte eines Ikosaeders mit einem [[Dodekaeder]] (siehe [[archimedische Körper]])
* ein [[Rhombentriakontaeder]] mit 20 + 12 = 32 Ecken und 30 [[Raute]]n als [[Fläche (Mathematik)|Flächen]] als [[konvexe Hülle]] einer Vereinigung eines Ikosaeders mit einem [[Dodekaeder]] und
* einen [[Ikosaederstern]], indem sämtliche Kanten eines Ikosaeders über seine [[Ecke]]n hinaus verlängert werden, bis sich jeweils drei von ihnen in einem [[Punkt (Geometrie)|Punkt]] schneiden.

== Geodätische Kuppeln ==
[[Datei:Geod-kuppel-123.svg|mini|hochkant=1.3|Geodätische Kuppeln]]

Ikosaeder sind Ausgangspolyeder für die Konstruktion von [[Geodätische Kuppel|geodätischen Kuppeln]]. Diese sind Triangulierungen einer Kugel mit relativ gleich großen sphärischen Dreiecken. Dabei werden die Dreiecke des Ikosaeders durch Unterteilung der Dreiecksseiten in 2, 3, … gleich lange Stücke in 4,9, … gleichseitige Dreiecke zerlegt und diese kleinen Dreiecke vom Mittelpunkt aus auf die Umkugel des Ikosaeders projiziert. Die Punkte des Ikosaeders werden dabei stets von 5 Dreiecken umgeben, während die anderen Punkte von 6 Dreiecken umgeben sind. Geodätische Kuppeln werden als Gerüste von Gebäudekuppeln verwendet.

== Bedeutung der Ikosaedergruppe in der Mathematik ==
Die [[Punktgruppe]] des Ikosaeders, die [[Ikosaedergruppe]], wird in der Mathematik vielfach angewendet. Das geht zurück auf die berühmte Monographie von [[Felix Klein (Mathematiker)|Felix Klein]] aus dem Jahr 1884 ''Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade''.<ref name="Klein_1884">{{Literatur |Autor=[[Felix Klein (Mathematiker)|Felix Klein]] |Titel=Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade |Verlag=Teubner |Ort=Leipzig |Datum=1884 |Online=[https://archive.org/details/vorlesungenber00kleiuoft/page/n5 online] |Umfang=VIII, 260}}</ref> Die allgemeine [[Gleichung fünften Grades]] hat nach der [[Galoistheorie]] keine [[Lösung (Mathematik)|Lösung]] in Radikalen, da die alternierende Gruppe [[A5 (Gruppe)|''A''5]] nicht auflösbar ist.

== Bedeutung des Ikosaeders in der Clusterphysik ==
Große Bedeutung hat die Ikosaeder-Form bei [[Cluster (Physik)|Clustern]] (Ansammlungen von [[Atom]]en in der Größenordnung von 3 bis 50.000 Atomen) ab einer Größe von mehr als 7 Atomen. Grund dafür ist die Regel von Friedel, die besagt, dass diejenige Struktur die geringste [[Energie]] besitzt, für die die Anzahl der Nächste-Nachbarn-Bindungen maximal ist. Bei vielen freien Clustern tritt dies ab 7 Atomen auf, wobei es allerdings auch Ausnahmen gibt und andere Strukturen bevorzugt werden (etwa Kuben).

Des Weiteren gibt es in der [[Cluster (Physik)|Clusterphysik]] sogenannte magische Zahlen, die eng mit dem sogenannten Mackayschen Ikosaeder zusammenhängen. Hier sorgen Schalenabschlüsse (also perfekte Atom-Ikosaeder) für besonders stabile Cluster. Dies tritt bei Clustern mit den ''magischen Atomzahlen'' 1, 13, 55, 147, 309, 561, 923 und 1415 auf. Diese recht alten Erkenntnisse von [[Alan Mackay]]<ref>A. L. Mackay: ''A dense non-crystallographic packing of equal spheres.'' In: ''Acta Crystallographia.'' Band 15, 1962, S. 916–918, [[doi:10.1107/S0365110X6200239X]].</ref> spielen in der aktuellen Clusterphysik eine bedeutende Rolle.

Die Clusterzahlen lassen sich nach folgender Formel berechnen:

:<math>C = \frac{10n^3-15n^2+11n-3}{3}</math>

mit

:<math>C</math> = Gesamtzahl der Atome im Cluster
:<math>n</math> = Anzahl der Atome pro Kante

== Anwendungen ==
* Die [[Kapsid]]e vieler [[Viren]] haben eine [[Kapsid#Ikosaedrische Symmetrie|ikosaedrische Symmetrie]]. Das ist dadurch zu erklären, dass Viren ihre [[Nukleinsäure]] optimal verpacken. Die Ikosaederform ist in dieser Hinsicht günstig, weil das Ikosaeder von allen regelmäßigen Polyedern mit gegebenem Durchmesser das größte Volumen besitzt. Beispiele sind [[Rhinovirus]] (Schnupfen), [[Hepatitis-B-Virus]], [[Adenovirus]] und [[Poliovirus]]. In der [[Virologie]] bezeichnet man etwas allgemeiner die Symmetrie länglich-gestreckter Kapside als {{nowrap|(gestreckt-)}}ikosaedrisch, obwohl es sich genau genommen um ein fünfeckiges, bipyramidales [[Antiprisma]] handelt; die ideal-regelmäßigen Kapside werden dann als isometrisch-ikosaedrisch bezeichnet.
* Das [[Borane#closo-Borane|closo-dodeka-Boranat-Anion]] B12H122− besitzt die Struktur des besonders stabilen B12-Ikosaeders.
* [[Rudolf von Laban]] hatte das Ikosaeder für seine Raumharmonielehre intensiv genutzt und beeinflusste damit den modernen [[Tanz]]. Dies wird heute in den [[Laban-Bewegungsstudien]] weiter geführt.
* [[Stafford Beer]] hatte in seiner kybernetischen Managementtheorie die Ikosaeder-Struktur als Modell für eine optimale Vernetzung von Mitarbeitern in Teams herausgearbeitet.
* In vielen [[Pen-&-Paper-Rollenspiel]]en werden Ikosaeder als zwanzigseitige [[Spielwürfel]] (W20) verwendet.
* [[Klettergerüst]]e für Kinder sind in der Ikosaederform besonders stabil.
* Ein in die Erdkugel platziertes Ikosaeder bildet den Kern der Gitterstruktur beim Wettervorhersagemodell ''[[ICON (Wettervorhersagemodell)|ICON]]'' des [[Deutscher Wetterdienst|Deutschen Wetterdienstes]] (ähnlich wie eine [[geodätische Kuppel]] bzw. dem [[Dymaxion#Dymaxion-Weltkarte|Dymaxion-Weltkarten-Entwurf]] nach [[Richard Buckminster Fuller]]).
* Der [[Dogic]] ist eine Variante des [[Zauberwürfel]]s in Form eines Ikosaeders als dreidimensionales, mechanisches Puzzle.
* Im Inneren eines [[Magic 8 Ball]] befindet sich ein Ikosaeder, auf dem die möglichen Antworten stehen. Es schwimmt in einer dunkelblauen Flüssigkeit im Inneren der Kugel.
* Beim Militär als Sonarreflektor in der Minenjagd, um ein Grundgewicht in der Nähe einer Grundmine zu positionieren. Hierbei sind die 20 gleichseitigen Dreiecke noch einmal in jeweils 3 nach innen gehende Tetraeder geöffnet, um möglichst viele Reflexionswinkel zu erzeugen
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Adenovirus Kapsid 01.png|Kapsid des Adenovirus
Dodecaborane-3D-balls.png|closo-dodeka-Boranat-[[Anion]] B12H122− Ikosaeder
Icosaedro.jpg|Ein Ikosaeder als [[Spielwürfel]]
Kinderklettergeruest Ikosaederform.jpg|[[Klettergerüst]] in Ikosaederform
Icosahedron-spinoza.jpg|Ikosaeder als Teil des [[Baruch de Spinoza|Spinoza]]-Monuments in Amsterdam
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== Netze des Ikosaeders ==
Das Ikosaeder hat 43380 [[Netz (Geometrie)|Netze]].<ref>Wolfram MathWorld: [https://mathworld.wolfram.com/RegularIcosahedron.html Regular Icosahedron]</ref> Das heißt, es gibt 43380 Möglichkeiten, ein hohles Ikosaeder durch Aufschneiden von 11 Kanten aufzuklappen und in der [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] auszubreiten. Die anderen 19 Kanten verbinden jeweils die 20 [[Gleichseitiges Dreieck|gleichseitigen Dreiecke]] des Netzes. Um ein Ikosaeder so zu färben, dass keine benachbarten [[Fläche (Mathematik)|Flächen]] dieselbe Farbe haben, braucht man mindestens 3 Farben.
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Icosaedro desarrollo.gif|[[Animation]] eines Ikosaedernetzes
Ikosaedernetz.svg|Weiteres Beispiel eines Ikosaedernetzes
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== Graphen, duale Graphen, Zyklen, Färbungen ==
Das Ikosaeder hat einen ihm zugeordneten ungerichteten [[Planarer Graph|planaren Graphen]] mit 12 [[Knoten (Graphentheorie)|Knoten]], 30 [[Kante (Graphentheorie)|Kanten]] und 20 Gebieten, der 5-[[Regulärer Graph|regulär]] ist, d. h. von jedem Knoten gehen 5 Kanten aus, sodass der [[Grad (Graphentheorie)|Grad]] für alle Knoten gleich 5 ist. Bei planaren Graphen ist die genaue [[Geometrisch|geometrische]] Anordnung der Knoten unwesentlich. Wichtig ist allerdings, dass sich die Kanten nicht schneiden müssen. Die Knoten dieses Ikosaedergraphen entsprechen den Ecken des Ikosaeders.

Die [[Knoten (Graphentheorie)|Knoten]] des Ikosaedergraphen können mit 4 Farben (Bild 1) so gefärbt werden, dass benachbarte Knoten immer unterschiedlich gefärbt sind. Dies bedeutet, dass die chromatische Zahl dieses Graphen gleich 4 ist (siehe [[Knotenfärbung]]). Außerdem können die [[Kante (Graphentheorie)|Kanten]] mit 5 Farben (Bild 2) so gefärbt werden, dass benachbarte Kanten immer unterschiedlich gefärbt sind. Mit 4 Farben ist das nicht möglich, sodass der chromatische Index für die [[Kantenfärbung]] gleich 5 ist (das rechtsstehende Bild veranschaulicht diese Färbungen).
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01 Icosahedral graph vertex coloring.svg|Bild 1: Knotenfärbung des Ikosaedergraphen, siehe hierzu auch Bild 4
01 Icosahedral graph edge coloring.svg|Bild 2: Kantenfärbung des Ikosaedergraphen, siehe hierzu auch Bild 4
01 Icosahedral graph dual face coloring.svg|Bild 3: Flächenfärbung des Ikosaedergraphen mit [[Dodekaeder#Graphen, duale Graphen, Zyklen, Färbungen|Dodekaedergraphen]], siehe hierzu auch Bild 4
01 Ikosaeder einbeschrieben v. Dodekaeder.png|Bild 4: Veranschaulichung der Färbungen, Ikosaeder einbe- schrieben vom dualen [[Dodekaeder]], dessen Mittelpunkte der Fünfecke sind die Eckpunkte des Ikosaeders, die Färbung der Fünfecke ist gleich, wie die der Eckpunkte des Ikosaeders.
</gallery>Um die entsprechende nötige Anzahl der Farben für die [[Fläche (Graphentheorie)|Flächen]] oder Gebiete zu bestimmen (Bild 3), ist der [[Dualer Graph|duale Graph]] (Dodekaedergraph) mit 20 [[Knoten (Graphentheorie)|Knoten]], 30 [[Kante (Graphentheorie)|Kanten]] und 12 Gebieten hilfreich. Die Knoten dieses Graphen werden dabei den Gebieten des Ikosaedergraphen eineindeutig (bijektiv) zugeordnet und umgekehrt (siehe [[bijektive Funktion]] und Abbildung oben). Die Knoten des Dodekaedergraphen können mit 3 Farben so gefärbt werden, dass benachbarte Knoten immer unterschiedlich gefärbt sind, aber nicht mit 2 Farben, sodass die chromatische Zahl des Ikosaedergraphen gleich 3 ist. Daraus lässt sich indirekt schließen: Weil die chromatische Zahl gleich 3 ist, sind 3 Farben für eine solche Flächenfärbung des Ikosaeders oder eine Färbung der Gebiete des Ikosaedergraphen nötig.<ref>{{Internetquelle |autor=Mike Zabrocki |url=http://garsia.math.yorku.ca/~zabrocki/math3260w03/hw3sln.pdf#page=4&zoom=90,-162,755 |titel=HOMEWORK #3 SOLUTIONS - MATH 3260 |hrsg=York University, Mathematics and Statistics, Toronto |datum=2003 |seiten=4 |format=PDF |abruf=2020-05-31}}</ref>

Die 11 aufgeschnittenen [[Kante (Graphentheorie)|Kanten]] jedes [[Netz (Geometrie)|Netzes]] (siehe oben) bilden zusammen mit den Ecken ([[Knoten (Graphentheorie)|Knoten]]) einen [[Spannbaum]] des Ikosaedergraphen. Jedes Netz entspricht genau einem Spannbaum und umgekehrt, sodass hier eine eineindeutige ([[Bijektive Funktion|bijektive]]) Zuordnung zwischen Netzen und Spannbäumen besteht. Wenn man ein Ikosaedernetz ohne das äußere Gebiet als Graphen betrachtet, erhält man als [[Dualer Graph|dualen Graphen]] jeweils einem Baum mit 20 Knoten und 19 Kanten und dem maximalen Knotengrad 5. Jede Fläche des Ikosaeders wird dabei einem Knoten des Baums zugeordnet. Dabei kommt nicht jede [[Graphentheoretisch|graphentheoretische]] Konstellation (siehe [[Isomorphie von Graphen]]) solcher Bäume vor, aber einige mehrfach.
[[Datei:01 Icosahedral-Hamiltonkreis.svg|mini|Ikosaedergraph mit einem der 2560 Hamiltonkreise]]
Der Ikosaedergraph besitzt 2560 [[Hamiltonkreisproblem|Hamiltonkreise]], aber keine [[Eulerkreisproblem|Eulerkreise]].<ref>Wolfram MathWorld: [https://mathworld.wolfram.com/IcosahedralGraph.html Icosahedral Graph]</ref>
== Weblinks ==
{{Commonscat|Icosahedron|Ikosaeder}}
{{Wiktionary}}
* [http://opera-platonis.de/euklid/Buch13.pdf#page=17&zoom=80,-609,791 Euklid: Stoicheia. Buch XIII.16. Ikosaeder einer Kugel ...]
* {{Toter Link |url=http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/ikosa.html |date=2025-06-30 |text=Herleitungen der Formeln}}
* [https://www.mathematische-basteleien.de/ikosaeder.htm Mathematische Basteleien – Ikosaeder]

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Navigationsleiste Platonische Körper}}
{{Normdaten|TYP=s|GND=4161254-1}}

[[Kategorie:Platonischer Körper]]

Ikosaeder - Versionsgeschichte

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