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2025-07-31T23:12:53Z

Konstruktion: Typographie

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In der [[Mathematik]] sind '''hyperreelle Zahlen''' ein zentraler Untersuchungsgegenstand der [[Nichtstandardanalysis]]. Die Menge der hyperreellen Zahlen wird meist als <math>{}^*\mathbb{R}</math> geschrieben; sie erweitert die [[reelle Zahlen|reellen Zahlen]] um [[Infinitesimalzahl|infinitesimal benachbarte Zahlen]] sowie um unendlich große (infinite) Zahlen.

Als [[Isaac Newton|Newton]] und [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]] ihre [[Differentialrechnung]] mit „Fluxionen“ bzw. „Monaden“ durchführten, benutzten sie infinitesimale Zahlen, und auch [[Leonhard Euler|Euler]] und [[Augustin-Louis Cauchy|Cauchy]] fanden sie nützlich. Trotzdem wurden diese Zahlen von Anfang an skeptisch betrachtet, und im 19. Jahrhundert wurde die [[Analysis]] durch die Einführung der Epsilon-delta-Definition des [[Grenzwert (Funktion)|Grenzwertes]] und die Definition der reellen Zahlen durch Cauchy, [[Karl Weierstraß|Weierstraß]] und andere auf eine [[Mathematische Strenge|strenge]] Grundlage gestellt, die ohne infinitesimale Größen auskommt.

[[Abraham Robinson]] zeigte dann in den 1960er Jahren, auf welche Weise unendlich große und kleine Zahlen streng formal definiert werden können, und eröffnete so das Gebiet der Nichtstandardanalysis. Die hier gegebene Konstruktion ist eine vereinfachte, aber nicht minder strenge Version, die zuerst von Tom Lindstrøm<ref>{{Internetquelle |url=https://www.researchgate.net/publication/239052466_An_invitation_to_nonstandard_analysis |titel=An invitation to nonstandard analysis |datum=1988-01 |abruf=2024-07-27}}</ref> gegeben wurde.

Durch die hyperreellen Zahlen ist eine Formulierung der [[Differentialrechnung|Differential-]] und [[Integralrechnung]] ohne den Grenzwertbegriff möglich.

== Elementare Eigenschaften ==
Die hyperreellen Zahlen <math>{}^*\mathbb{R}</math> bilden einen [[geordneter Körper|geordneten]] [[Körper (Algebra)|Körper]], der <math>\mathbb{R}</math> als Teilkörper enthält. Beide sind [[Reell abgeschlossener Körper|reell abgeschlossen]].
[[Datei:Números hiperreales.png|mini|Infinitesimale (ε) und Infinite (ω) auf der hyperreellen Zahlengerade]]
Der Körper <math>{}^*\mathbb{R}</math> wird so konstruiert, dass er [[Elementare Äquivalenz|elementar äquivalent]] zu <math>\mathbb{R}</math> ist. Das bedeutet, dass jede Aussage, die in <math>\mathbb{R}</math> gilt, auch in <math>{}^*\mathbb{R}</math> gilt, falls die Aussage sich in der [[Prädikatenlogik erster Stufe]] über der [[Signatur (Modelltheorie)|Signatur]] <math>\{0,1,+,-,\cdot,<\}</math> formulieren lässt.

Die Signatur bestimmt, welche Symbole man in den Aussagen gebrauchen darf. Die Einschränkung auf die Prädikatenlogik ''erster Stufe'' bedeutet, dass man nur über Elemente des Körpers quantifizieren kann, nicht jedoch über Teilmengen.
Folgende Aussagen gelten z. B. sowohl in <math>\mathbb{R}</math> als auch in <math>{}^*\mathbb{R}</math>:
* <math>\forall x \ \exists y\ x < y</math>
* <math>\forall x\ x < x+1</math>
* Jede Zahl, die größer oder gleich Null ist, hat eine Quadratwurzel. In Formeln: <math>\forall x\ ((x > 0 \lor x = 0) \rightarrow (\exists y \ x=y\cdot y))</math>.
Das heißt nun nicht, dass <math>\mathbb{R}</math> und <math>{}^*\mathbb{R}</math> sich genau gleich verhalten; sie sind nicht [[isomorph]].
Zum Beispiel gibt es in <math>{}^*\mathbb{R}</math> ein Element <math>\omega</math>, das größer als alle [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] ist. Dies lässt sich jedoch nicht durch ''eine'' Aussage der obigen Form ausdrücken, man braucht dazu unendlich viele:
:<math>1 < \omega, 1+1 < \omega, 1+1+1 < \omega, 1+1+1+1 < \omega, \dotsc</math>
Eine solche Zahl gibt es in <math>\mathbb{R}</math> nicht.
Eine hyperreelle Zahl wie <math>\omega</math> nennt man ''infinit'' oder unendlich, der Kehrwert einer unendlich großen Zahl ist eine ''infinitesimale Zahl''.

Ein weiterer Unterschied: Die reellen Zahlen sind [[Ordnungsvollständigkeit|ordnungsvollständig]], d. h., jede nichtleere, nach oben beschränkte [[Teilmenge]] von <math>\R</math> besitzt ein [[Supremum]] in <math>\R</math>. Diese Forderung charakterisiert die reellen Zahlen als geordneten Körper eindeutig, d. h. bis auf eindeutige Isomorphie. <math>{}^*\mathbb{R}</math> ist hingegen nicht ordnungsvollständig: Die Menge aller endlichen Zahlen in <math>{}^*\mathbb{R}</math> besitzt kein Supremum, ist aber z. B. durch obiges <math>\omega</math> beschränkt.
Das liegt daran, dass man zur Formulierung der Ordnungsvollständigkeit über alle Teilmengen quantifizieren muss; sie kann daher nicht in der Prädikatenlogik ''erster Stufe'' formalisiert werden.

Die Menge der hyperreellen Zahlen ist [[Mächtigkeit (Mathematik)|gleichmächtig]] zur Menge der reellen Zahlen:
:<math>|{}^*\mathbb{R}| = |\mathbb{R}| = 2^{\aleph_0}</math>.

== Konstruktion ==
Die Menge aller [[Folge (Mathematik)|Folgen]] reeller Zahlen (<math>\textstyle \R^{\N}=\prod_{n=1}^{\infty}\R</math>) bilden eine Erweiterung der reellen Zahlen, wenn man die reellen Zahlen mit den konstanten Folgen identifiziert.
:<math>1</math> wird also mit der Folge <math> ( 1; 1; 1; 1; 1; 1; \dotsc)</math>,
:<math>2</math> wird also mit der Folge <math> ( 2; 2; 2; 2; 2; 2; \dotsc)</math> identifiziert.
Die Prototypen für „unendliche große“ Zahlen sind in dieser Menge Folgen, die irgendwann größer als jede reelle Zahl werden, z. B. die Folge:
:<math>\omega = ( 1; 2; 3; 4; 5; \dotsc)</math>.
Auf <math>\R^{\N}</math> kann man nun die Addition und Multiplikation gliedweise definieren:
:<math>( 1; 1; 1; 1; 1; 1; \dotsc) + ( 2; 2; 2; 2; 2; 2; \dotsc) = ( 3; 3; 3; 3; 3; 3; \dotsc)</math>

Dadurch wird <math>\R^{\N}</math> zu einem [[kommutativ]]en [[unitärer Ring|unitären Ring]], allerdings besitzt dieser [[Nullteiler]] und ist daher kein Körper.
Es gilt z. B. für
:<math>p = ( 1; 0; 1; 0; 1; 0; \dotsc)</math>und
:<math>q = ( 0; 1; 0; 1; 0; 1; \dotsc)</math>
die Gleichung
:<math>p \cdot q=0</math>,
obwohl sowohl <math>p</math> als auch <math>q</math> ungleich null sind. Es müssen daher noch Folgen über eine [[Äquivalenzrelation]] identifiziert werden. Die Idee ist, dass Folgen äquivalent sind, wenn die Menge aller Stellen, wo sich die Folgen unterscheiden, eine ''unwesentliche'' ist. Was ist nun die Menge aller ''unwesentlichen Mengen''?
Insbesondere sollen ja Folgen äquivalent sein, wenn sie sich ''im Unendlichen'' gleich verhalten, wenn sie also nur an endlich vielen Stellen verschieden sind. Alle endlichen Mengen sind daher unwesentlich. Und das Beispiel mit <math>p</math> und <math>q</math> zeigt, dass für jede Teilmenge entweder die Teilmenge oder ihr [[Komplement (Mengenlehre)|Komplement]] unwesentlich ist. Unter anderem wird dann noch gebraucht, dass die Vereinigung zweier unwesentlicher Mengen unwesentlich ist, da die Äquivalenzrelation transitiv sein muss. Das führt zu einem Ultrafilter:

Ein [[Filter (Mathematik)#Mengenfilter|Filter]] <math>\mathcal U\subseteq \mathcal P(\N)</math> auf den natürlichen Zahlen ist eine Menge von Teilmengen der natürlichen Zahlen, für die gilt:
* <math>\emptyset \notin \mathcal U</math> (Die [[leere Menge]] liegt nicht in <math>\mathcal U</math>.)
* <math>S, T\in \mathcal U \implies S \cap T \in \mathcal U</math> (Wenn sie zwei Mengen enthält, dann auch deren Schnittmenge.)
* <math>S \in \mathcal U \land T \supset S \implies T \in \mathcal U</math> (Wenn sie eine Menge enthält, dann auch deren Obermengen.)
Ein Filter <math>\mathcal U</math> ist frei, wenn gilt:
* <math>\mathcal U</math> enthält keine endlichen Mengen.
Er ist ein [[Ultrafilter]], falls gilt:
* Wenn <math>\mathcal U</math> eine bestimmte Teilmenge nicht enthält, enthält <math>\mathcal U</math> deren Komplement.
Die Existenz eines freien Ultrafilters folgt aus dem [[Lemma von Zorn]]. Mit Hilfe dieses Ultrafilters <math>\mathcal U</math> lässt sich eine Äquivalenzrelation definieren:
:<math>(x_0, x_1, x_2, \dotsc) \sim (y_0, y_1, y_2, \dotsc)</math> genau dann, wenn <math>\{\, n \in \N \mid x_n = y_n \,\} \in \mathcal U</math>.

Auf der Menge der [[Äquivalenzklasse]]n, die mit <math>{}^*\R := \R^{\N} / \mathord{\sim}</math> bezeichnet wird, kann nun die Addition und Multiplikation der Äquivalenzklassen über Repräsentanten definiert werden. Dies ist [[wohldefiniert]], da <math>\mathcal U</math> ein Filter ist. Da <math>\mathcal U</math> sogar ein Ultrafilter ist, hat jedes Element außer 0 in <math>{}^*\R</math> ein Inverses. Z. B. ist eine der beiden Folgen <math>p</math> und <math>q</math> äquivalent zu null, die andere zu eins.

Nun müssen wir auf <math>{}^*\R</math> noch eine Ordnung definieren. Dies geschieht durch
:<math>(x_0, x_1, x_2, \dotsc) < (y_0, y_1, y_2, \dotsc)</math> genau dann, wenn <math>\{\, n \in \N \mid x_n < y_n \,\} \in \mathcal U</math>.
Leicht wird klar, dass dies eine totale Ordnung auf <math>{}^*\R</math> definiert (für die Totalität ist wichtig, dass <math>\mathcal U</math> ein Ultrafilter ist).

Die Äquivalenzklasse der Folge <math>\omega</math> ist größer als jede reelle Zahl, denn für eine reelle Zahl <math>r</math> gilt
:<math>\{\, n \in \N \mid n > r \,\} \in \mathcal U</math>.

Anschließend ist noch zu zeigen, dass der konstruierte Körper tatsächlich elementar äquivalent zu <math>\R</math> ist. Dies geschieht durch einen [[Strukturelle Induktion|Induktionsbeweis]] über den Aufbau der Formeln, wobei von den Ultrafilter-Eigenschaften Gebrauch gemacht wird.

=== Bemerkungen ===
* Jedem Filter auf den natürlichen Zahlen entspricht ein [[Ideal (Ringtheorie)|Ideal]] des Ringes <math>\R^{\N}</math> (aber nicht umgekehrt). Einem Ultrafilter entspricht dabei ein maximales Ideal, daher ist der Quotient ein Körper. Die Wahl eines nicht-freien Ultrafilters hätte zur Folge, dass der Körper der Äquivalenzklassen isomorph zum Ausgangskörper ist.
* Diese Konstruktion ist ein Spezialfall der [[Ultrapotenz]]. Unter anderem heißt das, dass die Einbettung von <math>\R</math> in <math>{}^*\mathbb{R}</math> eine [[elementare Einbettung]] ist und dass <math>{}^*\mathbb{R}</math> <math>\omega_1</math>-[[Saturiertheit (Modelltheorie)|saturiert]] ist.
* Aus den [[Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre|Axiomen der Mengenlehre]] (ZFC) plus der [[Kontinuumshypothese]] folgt, dass diese Konstruktion nicht von der Wahl des Ultrafilters abhängt. (Das bedeutet, dass unterschiedliche Ultrafilter zu isomorphen Ultraprodukten führen.)

== Infinitesimale und unendlich große Zahlen ==
Eine hyperreelle Zahl heißt ''infinitesimal'', wenn sie kleiner als jede positive reelle Zahl und größer als jede negative reelle Zahl ist. Die Zahl [[Null]] ist die einzige infinitesimale reelle Zahl, aber es gibt andere hyperreelle infinitesimale Zahlen, beispielsweise <math>a = (1; 0{,}1; 0{,}01; 0{,}001; \dotsc)</math>. Sie ist größer als null, aber kleiner als jede positive reelle Zahl, denn der Ultrafilter enthält alle Komplemente endlicher Mengen.

Eine ''negativ infinitesimale'' Zahl ist größer als jede negative reelle Zahl und kleiner als null, z. B.<math>-a = (-1; -0{,}1; -0{,}01; -0{,}001; \dotsc)</math>.

Eine hyperreelle Zahl <math>x</math> heißt ''endlich'', wenn es eine natürliche Zahl <math>n</math> gibt mit <math>-n < x < n</math>, anderenfalls heißt <math>x</math> ''unendlich''. Die Zahl <math>A = ( 1; 10; 100; 1000; \dotsc)</math> ist eine infinite Zahl. Beachte: Die Bezeichnung „unendlich groß“ bezeichnet meist eine Zahl, die größer ist als jede natürliche Zahl, „unendlich“ schließt aber auch Zahlen ein, die kleiner sind als jede ganze Zahl, wie <math>-A = ( -1; -10; -100; \dotsc)</math>.

Eine von 0 verschiedene Zahl <math>x</math> ist genau dann unendlich, wenn <math>\frac{1}{x}</math> infinitesimal ist. Zum Beispiel ist <math>A = \tfrac{1}{a}</math>.

Es lässt sich zeigen, dass jede endliche hyperreelle Zahl „sehr nah“ an genau einer reellen Zahl liegt. Genauer: Ist <math>x</math> eine endliche hyperreelle Zahl, dann gibt es genau eine reelle Zahl <math>\operatorname{st}(x)</math>, so dass <math>x-\operatorname{st}(x)</math> infinitesimal ist. Die Zahl <math>\operatorname{st}(x)</math> nennt man den ''Standardteil'' von <math>x</math>, die Differenz zu <math>x</math> ist der ''Nichtstandardteil''. Die Abbildung <math>\operatorname{st}</math> hat einige angenehme Eigenschaften: Für alle endlichen hyperreellen Zahlen <math>x</math>, <math>y</math> gilt:
* <math>\operatorname{st}(x + y) = \operatorname{st}(x) + \operatorname{st}(y),</math>
* <math>\operatorname{st}(xy) = \operatorname{st}(x) \operatorname{st}(y),</math>
* <math>\operatorname{st}(x) = x</math> genau dann, wenn <math>x</math> reell ist.
Daraus folgt, dass der Term auf der linken Seite definiert ist, dass also z. B. <math>x+y</math> endlich ist, falls sowohl <math>x</math> als auch <math>y</math> endlich sind. Die Menge der endlichen Zahlen bilden also einen Unterring in den hyperreellen Zahlen. Außerdem ist
* <math>\operatorname{st}\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{\operatorname{st}(x)}</math>, falls <math>x</math> nicht infinitesimal ist.
Ferner gilt:
* Die Abbildung <math>\operatorname{st}</math> ist [[Stetige Funktion|stetig]] bzgl. der Ordnungstopologie auf der Menge der endlichen hyperreellen Zahlen, sie ist sogar [[Lokal konstante Funktion|lokal konstant]].
Die ersten zwei Eigenschaften (und die Folgerungen <math>\operatorname{st}(0)=0</math>, <math>\operatorname{st}(1)=1</math> aus der dritten Eigenschaft) besagen, dass <math>\operatorname{st}</math> ein Ring-[[Homomorphismus]] ist.

Zum Beispiel ist die hyperreelle Zahl <math>g = (0; 0{,}9; 0{,}99; 0{,}999; \dotsc)</math> gliedweise kleiner als <math>(1; 1; 1; 1; \dotsc)</math>, also ist <math>g < 1</math>. Sie ist aber größer als jede reelle Zahl kleiner 1. Sie ist daher zu 1 ''infinitesimal benachbart'' und 1 ist ihr Standardteil. Ihr Nichtstandardteil (die Differenz zu 1) ist
:<math>g - 1 = (-1; -0{,}1; -0{,}01; -0{,}001; \dotsc) = -a</math>.
Beachte aber, dass die reelle Zahl <math>0{,}999\dotso</math> als [[Grenzwert (Folge)|Grenzwert]] der Folge <math>g</math> gleich 1 ist.

== Weitere Eigenschaften ==
Die hyperreellen Zahlen sind [[gleichmächtig]] zu den reellen Zahlen, denn die Mächtigkeit muss mindestens so groß wie die der reellen Zahlen sein, da sie die reellen Zahlen enthalten, und kann höchstens so groß sein, da die Menge <math>\R^\N</math> gleichmächtig zu den reellen Zahlen ist. Die Ordnungsstruktur der hyperreellen Zahlen hat [[überabzählbar]]e [[Konfinalität]], d. h., es existiert keine [[Beschränktheit|unbeschränkte]] [[Abzählbare Menge|abzählbare]] Menge, also keine unbeschränkte Folge von hyperreellen Zahlen: Sei eine Folge von hyperreellen Zahlen durch Repräsentanten <math>(a_n)\in{}^*\R^\N</math> gegeben. Dann ist die hyperreelle Zahl mit dem Repräsentanten <math>A\in\R^\N</math>,
:<math>A_n = \max_{i\leq n} a_{in}</math>
eine obere Schranke. Es lassen sich also mit keiner Folge beliebig große hyperreelle Zahlen erreichen. Die hyperreellen Zahlen sind nicht [[Archimedisches Axiom|archimedisch angeordnet]]. Die Ordnung der hyperreellen Zahlen induziert eine [[Ordnungstopologie]]. Mittels dieser lassen sich die üblichen [[Topologie (Mathematik)|topologischen]] Begriffe von Grenzwerten und [[Stetige Funktion|Stetigkeit]] auf die hyperreellen Zahlen übertragen. Als geordneter Körper weisen sie mit der Addition eine mit der Topologie verträgliche [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]]nstruktur auf, es handelt sich also um eine [[topologische Gruppe]]. Diese induziert eine [[uniforme Struktur]], sodass man auf den hyperreellen Zahlen auch von gleichmäßiger Stetigkeit, Cauchyfiltern etc. sprechen kann. Aus der überabzählbaren Konfinalität folgt durch Betrachtung von [[Kehrwert]]en, dass es auch keine Folge bestehend aus von 0 (oder entsprechend einer beliebigen anderen hyperreellen Zahl) verschiedenen hyperreellen Zahlen gibt, die [[Häufungspunkt|beliebig nah]] an die 0 gelangt. Daher erfüllt die Topologie der hyperreellen Zahlen nicht die beiden [[Abzählbarkeitsaxiom]]e, sie ist also insbesondere nicht [[metrisierbar]]. Aus der überabzählbaren Konfinalität folgt auch, dass sie nicht [[Separabler Raum|separabel]] sind. Aus dem Nichtvorhandensein von [[Suprema]] zahlreicher Mengen folgt, dass der Raum [[total unzusammenhängend]] und nicht [[Lokalkompakter Raum|lokalkompakt]] ist.

== Siehe auch ==
* [[Erweiterte reelle Zahl]]
* [[Surreale Zahl]]
* [[Nichtstandardanalysis#Hrbacek’sche Mengenlehre|Hypernatürliche Zahlen]] *ℕ
* [[Hyperganze Zahl]] *ℤ

== Literatur ==
* Heinz-Dieter Ebbinghaus et al.: ''Zahlen''. 3. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 1992, ISBN 3-540-55654-0.

== Weblinks ==
* Jordi Gutierrez Hermoso: [https://web.archive.org/web/20110201163053/http://mathforum.org/dr.math/faq/analysis_hyperreals.html ''Nonstandard Analysis and the Hyperreals''], Archivlink abgerufen am 27. Juli 2024 (englisch)

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Zahl]]

Hyperreelle Zahl - Versionsgeschichte

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