imported>Mathze: /* Grundrechenarten im Unterricht */Wikilink

2025-03-03T09:20:08Z

Grundrechenarten im Unterricht: Wikilink

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[[Datei:Arithmetic symbols de.svg|mini|Symbole der vier Grundrechenarten: [[Pluszeichen|Plus]], [[Minuszeichen|Minus]], [[Malzeichen|Mal]] und [[Geteiltzeichen|Geteilt]].]]

Die '''Grundrechenarten''' (auch '''Grundrechnungsarten'''<ref>[https://www.duden.de/rechtschreibung/Grundrechnungsart ''Grundrechnungsart''.] In: ''Duden Online-Wörterbuch''. Bibliographisches Institut.</ref> oder schlicht '''Rechenarten'''<ref>[https://de.pons.com/%C3%BCbersetzung?q=Rechenart&l=dede&in=&lf= ''Rechenart''.] In: ''PONS Online-Wörterbuch – Rechtschreibung und Fremdwörter''. PONS.</ref> genannt) sind die vier [[Verknüpfung (Mathematik)|mathematischen Operationen]] [[Addition]], [[Subtraktion]], [[Multiplikation]] und [[Division (Mathematik)|Division]]. Die Beherrschung der Grundrechenarten gehört zu den [[Grundfertigkeit]]en [[Lesen]], [[Schreiben]] und [[Rechnen]], die von [[Schüler]]n während der [[Dauer der Schulzeit|Schulzeit]] zu erwerben sind.

Von den vier Grundrechenarten werden in der [[Arithmetik]] die Addition und die Multiplikation als Grundoperationen und die Subtraktion und die Division als abgeleitete Operationen angesehen. Für die beiden Grundoperationen gelten eine Reihe von [[Rechenregel]]n, wie die [[Kommutativgesetz]]e, die [[Assoziativgesetz]]e und die [[Distributivgesetz]]e. In der [[Algebra]] werden diese Konzepte dann abstrahiert, um sie auf andere [[Mathematisches Objekt|mathematische Objekte]] übertragen zu können.

== Die vier Grundrechenarten ==
=== Addition ===
{| class="wikitable float-right" style="text-align:center"
|+ Beispiel einer Addition
|-
| <math>1 + 2 = 3</math>
|}
{{Hauptartikel|Addition}}
Die Addition ist der Vorgang des [[Zählen|Zusammenzählens]] zweier (oder mehrerer) Zahlen. Der Operator für die Addition ist das [[Pluszeichen]] +, die Operanden werden ''Summanden'' genannt, der Term heißt ''[[Summe]]'' und das Ergebnis ''Wert der Summe'' oder ''Summenwert'':

: Summand + Summand = Summenwert

Das Ergebnis der Addition [[natürliche Zahl|natürlicher Zahlen]] ist wieder eine natürliche Zahl. Durch [[Auswendiglernen]] und elementare [[Rechnen|Rechentechniken]] können kleine Zahlen im Kopf addiert werden. Die Addition großer Zahlen kann per Hand mit Hilfe der [[Schriftliche Addition|schriftlichen Addition]] durchgeführt werden.

=== Subtraktion ===
{| class="wikitable float-right" style="text-align:center"
|+ Beispiel einer Subtraktion
|-
| <math>5 - 1 = 4</math>
|}
{{Hauptartikel|Subtraktion}}
Die Subtraktion ist der Vorgang des Abziehens einer Zahl von einer anderen Zahl. Der Operator für die Subtraktion ist das [[Minuszeichen]] −, die beiden Operanden werden ''[[Minuend]]'' und ''[[Subtrahend]]'' genannt, der Term [[Subtraktion#Sprachregelungen, Grundeigenschaften und Notation|''Differenz'']] und das Ergebnis heißt ''Differenzwert'' oder ''Wert der Differenz'':

: Minuend − Subtrahend = Differenzwert

Das Ergebnis der Subtraktion zweier natürlicher Zahlen ist jedoch nur dann wieder eine natürliche Zahl, wenn der Minuend größer als der Subtrahend ist. Sind Minuend und Subtrahend gleich, erhält man als Ergebnis die Zahl [[Null]], die oft auch zu den natürlichen Zahlen gezählt wird. Ist der Subtrahend größer als der Minuend, erhält man als Ergebnis eine [[Positive und negative Zahlen|negative Zahl]]. Um die Subtraktion uneingeschränkt durchführen zu können, wird daher der [[Zahlbereich]] auf die [[Ganze Zahl|ganzen Zahlen]] erweitert. Die Subtraktion großer Zahlen kann per Hand mit Hilfe der [[Schriftliche Subtraktion|schriftlichen Subtraktion]] durchgeführt werden.

=== Multiplikation ===
{| class="wikitable float-right" style="text-align:center"
|+ Beispiel einer Multiplikation
|-
| <math>3 \cdot 5 = 15</math>
|}
{{Hauptartikel|Multiplikation}}
Die Multiplikation ist der Vorgang des Malnehmens zweier (oder mehrerer) Zahlen. Der Operator für die Multiplikation ist das [[Malzeichen]] · (oder ×), die Operanden werden [[Multiplikation#Namensgebung|''Multiplikator'']] und ''Multiplikand'' genannt, der Term [[Produkt (Mathematik)|''Produkt'']] und das Ergebnis heißt ''Produktwert'' oder ''Wert des Produkts'':

: Multiplikator · Multiplikand = Produktwert

Bedarf es keiner Unterscheidung von Multiplikator und Multiplikand, bezeichnet man beide oft zusammenfassend als [[Multiplikation#Namensgebung|''Faktoren'']].

Sind die Faktoren natürliche oder ganze Zahlen, so ist das Ergebnis der Multiplikation ebenfalls wieder eine natürliche oder ganze Zahl. Durch Auswendiglernen des [[Einmaleins]] können kleine Zahlen im Kopf multipliziert werden. Die Multiplikation großer Zahlen kann per Hand mit Hilfe der [[Schriftliche Multiplikation|schriftlichen Multiplikation]] durchgeführt werden.

=== Division ===
{| class="wikitable float-right" style="text-align:center"
|+ Beispiel einer Division
|-
| <math>12 : 3 = 4</math>
|}
{{Hauptartikel|Division (Mathematik)}}
Die Division ist der Vorgang des Teilens einer Zahl durch eine andere Zahl. Der Operator für die Division ist das [[Geteiltzeichen]] <code>:</code> (oder <code>/</code>), die beiden Operanden werden ''[[Dividend]]'' und ''[[Divisor]]'' genannt, der Term ''[[Quotient]]'' und das Ergebnis heißt ''Quotientenwert'' oder ''Wert des Quotienten'':

: Dividend : Divisor = Quotientwert

Das Ergebnis einer Division zweier natürlicher oder ganzer Zahlen ist jedoch nur dann wieder eine natürliche oder ganze Zahl, wenn der Dividend ein [[Vielfaches]] des Divisors ist. Andernfalls erhält man eine [[Bruchrechnung|Bruchzahl]]. Um die Division uneingeschränkt durchführen zu können, wird daher der Zahlbereich auf die [[Rationale Zahl|rationalen Zahlen]] erweitert. Die [[Division durch null]] kann jedoch nicht sinnvoll definiert werden. Die Division großer Zahlen kann per Hand mit Hilfe der [[Schriftliche Division|schriftlichen Division]] durchgeführt werden.

[[Datei:Rechenarten.PNG|mini|[https://www.lehrplanplus.bayern.de/sixcms/media.php/71/RS_M_05_M_Grundlegende%20Inhalte.pdf Auszug aus dem Lehrplan 2017/2018] (PDF; 3,4 MB) ]]

== Grundrechenarten im Unterricht ==
Die Grundrechenarten werden während der ersten [[Schuljahr]]e im [[Mathematikunterricht]] behandelt. In der [[Grundschule]] ([[International Standard Classification of Education #1|Primarstufe]]) wird zunächst das Rechnen mit kleinen natürlichen Zahlen gelehrt und später auf größere Zahlen erweitert. Unterrichtsinhalte sind auch das [[Einmaleins|kleine Einmaleins]], die [[Division mit Rest]], das [[Lösen von Gleichungen|Lösen einfacher Gleichungen]] und der [[Dreisatz]]. Es werden [[Kopfrechnen]], schriftliches Rechnen, [[Überschlagsrechnung|Überschlagsrechnen]] und Anwendungen in Form von [[Textaufgabe]]n eingeübt. Für vorteilhaftes Rechnen werden einfache Rechengesetze angewendet. In den ersten Jahren einer [[Weiterführende Schule|weiterführenden Schule]] ([[International Standard Classification of Education #2|Sekundarstufe I]]) werden dann auch negative Zahlen betrachtet, die [[Bruchrechnung]] und damit die rationalen Zahlen eingeführt, sowie die Gesetze bei der Verbindung der vier Grundrechenarten behandelt.<ref>{{Literatur |Hrsg=I.V.S. Mullis, M.O. Martin, C.A. Minnich, G.M. Stanco, A. Arora, V.A.S. Centurino, C.E. Castle |Titel=TIMSS 2011 Encyclopedia: Education Policy and Curriculum in Mathematics and Science |Band=Volumes 1 and 2 |Verlag=TIMSS & PIRLS International Study Center, Boston College |Datum=2012 |ISBN=978-1-889938-59-2 |Online=[http://timssandpirls.bc.edu/timss2011/encyclopedia-timss.html timssandpirls.bc.edu]}}</ref>

== Rechenregeln ==
[[Datei:CommutativeExample2.svg|mini|Illustration der Kommutativgesetze]]
[[Datei:AssociativeExampleAddition.svg|mini|Illustration des Assoziativgesetzes für die Addition]]
Im Folgenden sind <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math> Zahlen aus dem zugrundeliegenden Zahlbereich. Für die Addition und die Multiplikation gelten die [[Kommutativgesetz]]e

: <math>a + b = b + a</math>   und   <math>a \cdot b = b \cdot a</math>,

das heißt das Ergebnis einer Summe oder eines Produkts ist unabhängig von der Reihenfolge der Summanden bzw. Faktoren. Weiter gelten die [[Assoziativgesetz]]e

: <math>( a + b ) + c = a + ( b + c )</math>   und   <math>( a \cdot b ) \cdot c = a \cdot ( b \cdot c )</math>.

Bei der Addition oder der Multiplikation mehrerer Zahlen ist es also unerheblich, in welcher Reihenfolge die Teilsummen oder Teilprodukte gebildet werden. Daher können bei Summen und Produkten die Klammern auch weggelassen werden. Zudem gelten die [[Distributivgesetz]]e

: <math>a \cdot ( b + c ) = a \cdot b + a \cdot c</math>   und   <math>( a + b ) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c</math>,

mit denen durch [[Ausmultiplizieren]] ein Produkt in eine Summe umgewandelt werden kann und umgekehrt durch [[Ausklammern]] eine Summe in ein Produkt. Weiterhin verhält sich die Zahl <math>0</math> [[Neutrales Element|neutral]] bezüglich der Addition und die Zahl <math>1</math> neutral bezüglich der Multiplikation, das heißt

: <math>a + 0 = 0 + a = a</math>   und   <math>a \cdot 1 = 1 \cdot a = a</math>.

Für die Subtraktion und die Division gelten diese Gesetze nicht oder nur eingeschränkt. Weitere Rechenregeln, wie [[Punkt vor Strich]], die [[Klammerregel]]n und die Gesetze der [[Bruchrechnung]], finden sich in der [[Formelsammlung Arithmetik]].

== Grundoperationen und abgeleitete Operationen ==
{| class="wikitable float-right" style="text-align:center"
|+ Subtraktion als Addition
|-
| <math>5 - 1 = 5 + ({-}1)</math>
|}
{| class="wikitable float-right" style="text-align:center"
|+ Division als Multiplikation
|-
| <math>12 : 3 = 12 \cdot \tfrac{1}{3}</math>
|}

In der [[Arithmetik]] betrachtet man Addition und Multiplikation als Grundoperationen. Dabei wird die Addition natürlicher Zahlen als wiederholte Ermittlung des [[Nachfolger (Mathematik)|Nachfolgers]] eines Summanden und die Multiplikation natürlicher Zahlen als wiederholte Addition eines Faktors mit sich selbst angesehen. Diese Sichtweise wird dann auf andere Zahlbereiche, wie ganze oder rationale Zahlen, übertragen.

Subtraktion und Division führt man als abgeleitete mathematische Operationen der Grundoperationen ein. Zur Subtraktion und Division gelangt man über die Frage nach der Lösung elementarer [[Gleichung]]en der Form

:<math>a + x = b</math>   bzw.   <math>a \cdot x = b</math>,

wobei <math>a</math> und <math>b</math> gegebene Zahlen aus dem zugrundeliegenden Zahlbereich sind und die Zahl <math>x</math> gesucht ist. Um diese Gleichungen zu lösen, wird eine [[Umkehroperation]] zur Addition benötigt, nämlich die Subtraktion, und ebenso eine Umkehroperation der Multiplikation, nämlich die Division:

: <math>x = b - a</math>   bzw.   <math>x = b \, / \, a</math>.

Die Subtraktion einer Zahl <math>a</math> wird nun als Addition mit der [[Gegenzahl]] <math>-a</math> definiert und die Division durch eine Zahl <math>a</math> als Multiplikation mit dem [[Kehrwert]] <math>\tfrac{1}{a}</math>:

: <math>x = b + (-a)</math>   bzw.   <math>x = b \cdot \tfrac{1}{a}</math>.

Die Gegenzahl und der Kehrwert einer Zahl werden als die [[Inverses Element|inversen Zahlen]] bezüglich der Addition und der Multiplikation bezeichnet. Auf diese Weise lassen sich die Rechenregeln für die Addition und Multiplikation auch auf die Subtraktion und Division übertragen.

== Algebraische Strukturen ==
In der [[Algebra]] werden diese zunächst für die Arithmetik geschaffenen Konzepte abstrahiert, um sie auf andere [[Mathematisches Objekt|mathematische Objekte]] übertragen zu können. Eine [[algebraische Struktur]] besteht dann aus einer [[Trägermenge]] (hier einer Zahlenmenge), sowie ein oder mehreren [[Verknüpfung (Mathematik)|Verknüpfungen]] auf dieser Menge (hier die arithmetischen Operationen), die nicht aus ihr [[Abgeschlossenheit (algebraische Struktur)|herausführen]]. Die verschiedenen algebraischen Strukturen unterscheiden sich dann nur über die Eigenschaften der Verknüpfungen (die Rechenregeln), die als [[Axiom]]e festgelegt werden, nicht jedoch bezüglich der konkreten Elemente der Trägermenge. Für die Grundoperationen erhält man die folgenden algebraischen Strukturen:

* Die Menge der natürlichen Zahlen bildet mit der Addition eine [[kommutative Halbgruppe]] <math>(\N, +)</math>, in der für die Verknüpfung das Assoziativgesetz und das Kommutativgesetz gelten.
* Die Menge der natürlichen Zahlen bildet mit der Multiplikation ebenfalls eine kommutative Halbgruppe <math>(\N, \cdot)</math>.
* Die Menge der ganzen Zahlen bildet mit der Addition eine [[kommutative Gruppe]] <math>(\Z, +)</math>, in der zusätzlich ein neutrales Element existiert und zu jedem Element ein inverses Element.
* Die Menge der ganzen Zahlen bildet mit der Addition und der Multiplikation einen [[Kommutativer Ring|kommutativen Ring]] <math>(\Z, +, \cdot)</math>, in dem zusätzlich für die Verknüpfungen die Distributivgesetze gelten.
* Die Menge der rationalen Zahlen bildet mit der Addition und der Multiplikation einen [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>(\Q, +, \cdot)</math>, in dem zusätzlich jedes Element außer der Null bezüglich der Multiplikation ein inverses Element besitzt.

Nach dem [[Permanenzprinzip]] gelten dabei alle Rechenregeln einer grundlegenden Struktur (hier eines einfachen Zahlbereichs mit den Grundoperationen) auch in einer entsprechend spezielleren Struktur (hier einem erweiterten Zahlbereich mit den gleichen Operationen). Diese Strukturierung und Axiomatisierung erlaubt es nun, gewonnene Erkenntnisse von Zahlen auf andere mathematische Objekte zu übertragen. Beispielsweise sind entsprechende Operationen bei [[Vektorraum|Vektoren]] die [[Vektoraddition]] und bei [[Matrix (Mathematik)|Matrizen]] die [[Matrizenaddition]]. Spezielle Strukturen entstehen bei der Betrachtung [[Endliche Menge|endlicher Mengen]], zum Beispiel [[Restklassenring]]e als mathematische Abstraktion einer [[Division mit Rest]].

== Geschichte ==
Alle vier Grundrechenarten waren bereits in der [[Mathematik im Alten Ägypten|altägyptischen Mathematik]] und in der [[Babylonische Mathematik|babylonischen Mathematik]] bekannt. Die Multiplikation und die Division waren jedoch keine eigenständigen arithmetischen Operationen. Die Multiplikation natürlicher Zahlen wurde auf das fortgesetzte Verdoppeln (''[[Duplation|Duplatio]]'') eines Faktors und anschließende Addition der Teilergebnisse zurückgeführt. Die Division wurde bei nicht ganzzahligen Quotienten näherungsweise mittels fortgesetzter Halbierung (''[[Mediatio (Mathematik)|Mediatio]]'') durchgeführt. Multiplikation und Division finden sich als eigenständige Operationen erst in der [[Geschichte der Mathematik#Mathematik in Griechenland|altgriechischen Mathematik]], etwa bei [[Euklid]] und bei [[Pappos]].<ref name="tropfke">{{Literatur |Autor=[[Johannes Tropfke]] |Titel=Geschichte der Elementar-Mathematik in systematischer Darstellung |Band=Erster Band |Verlag=Veit |Ort=Leipzig |Datum=1902 |Seiten=29–31}}</ref>

Welche arithmetischen Operationen zu den Grundrechenarten gezählt werden, hat sich im Lauf der Zeit stark gewandelt. Bei [[Heron von Alexandria|Heron]] und [[Diophantos von Alexandria|Diophantos]] kamen zu den bekannten vier Rechenoperationen das [[Quadrieren]] und das [[Quadratwurzel]]ziehen als weitere Grundrechenarten hinzu. In der [[Indische Mathematik|indischen Mathematik]] wurden diese Operationen durch das allgemeinere [[Potenz (Mathematik)|Potenzieren]] und [[Wurzelziehen]] ersetzt und in neuerer Zeit um das [[Logarithmieren]] als siebte Grundrechenart ergänzt. In der [[Mathematik im mittelalterlichen Islam|islamischen Mathematik]] wurden beginnend mit [[Al-Chwarizmi]] auch die ''Duplatio'' und die ''Mediatio'' als eigene Rechenoperationen angesehen.<ref name="tropfke" />

In den [[Rechenbuch|Rechenbüchern]] des Mittelalters gab es weitere Ergänzungen der Grundrechenarten, die dort als „Spezies“ bezeichnet wurden. So finden sich um 1225 bei [[Johannes de Sacrobosco]] insgesamt neun dieser Spezies: ''Numeratio'', ''Additio'', ''Subtractio'', ''Duplatio'', ''Multiplicatio'', ''Mediatio'', ''Divisio'', ''Progressio'' und ''Radicum extractio''. Die ''Numeratio'' behandelte das Zählen, Lesen und Schreiben der Zahlen, als ''Progressio'' wurde die [[Summe|Summation]] aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen bezeichnet und die ''Extractio'' umfasste lediglich das Ziehen von Quadratwurzeln. Erst 1494 verwarf [[Luca Pacioli]] die ''Duplatio'' und die ''Mediatio'' als Spezialfälle der Multiplikation und der Division wieder. Daraufhin erfolgten weitere Reduktionen bis [[Gemma R. Frisius|Gemma Frisius]] 1540 als einer der ersten Autoren die Grundrechenarten auf die bekannten vier beschränkte.<ref name="tropfke" />

== Literatur ==
* {{Literatur
|Hrsg=Walter Gellert
|Titel=Fachlexikon ABC Mathematik
|Verlag=Verlag Harri Deutsch
|Ort=Thun und Frankfurt/Main
|Datum=1978
|ISBN=3-87144-336-0}}

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Mathematrix: Kompass/ Grundrechenarten und Bruchrechnungen/ Textaufgaben zu den Grundrechenarten|<math>\begin{smallmatrix}{\mathbf{MATHE} \mu \alpha T\mathbb R ix}\end{smallmatrix}</math> Mathematik für die Schule |suffix=Textaufgaben zu den Grundrechenarten}}
{{Wiktionary}}
* [http://www.walter-fendt.de/html5/mde/elementaryoperations_de.htm Einüben der vier Grundrechenarten (schriftlich) online]
* [http://www.mathematik-wissen.de/grundrechenarten.htm Grundrechenarten für Schüler erklärt]

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4197290-9}}

[[Kategorie:Arithmetik]]

Grundrechenart - Versionsgeschichte

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