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2024-12-01T08:14:44Z

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[[Datei:Small and great circles 3d.png|mini|Großkreis (rot) und Kleinkreis (blau)]]
[[Datei:Grosskreis.svg|mini|Verschiedene Großkreise (durchgezogene Linien). Die gelben Großkreise sind hier Längenkreise. Neigung der 2 schwarzen Großkreise gegen den Äquator (blau) ca. 55° und 60°]]
[[Datei:Gnomonic Projection Transversal.jpg|mini|Karte in gnomonischer Projektion: Großkreise erscheinen, soweit dargestellt, gerade.]]

Ein '''Großkreis''' ist ein größtmöglicher [[Kreis (Geometrie)|Kreis]] auf einer [[Kugeloberfläche]]. Sein Mittelpunkt fällt immer mit dem Mittelpunkt der [[Kugel]] zusammen und ein Schnitt auf dem Großkreis teilt die Kugel in jedem Fall in zwei („gleich große“) Hälften. Da es unendlich viele Möglichkeiten gibt, eine Kugel so zu zerschneiden, dass die Schnittebene den Kugelmittelpunkt trifft, gibt es auch unendlich viele Großkreise.

Großkreise spielen z. B. in der Geographie sowie der Schiff- und Luftfahrt eine bedeutende Rolle. Anhand von ihnen werden auch die Zeitzonen festgelegt. Die [[sphärische Geometrie]] beinhaltet Großkreise als elementaren Bestandteil. Das Verständnis der [[Orthodrome]] als kürzeste Verbindung zweier Punkte auf einer Kugeloberfläche ist unerlässlich für das Verständnis der „geradlinigen“, unbeschleunigten (Abkehr vom Konzept der [[Gravitation]]) Bewegung im gekrümmten Raum ([[allgemeine Relativitätstheorie]], [[Raumkrümmung]]).

Im [[Geographische Koordinaten|geografischen Koordinatensystem]] der Erde gibt es Sonderfälle von Großkreisen. Sie sind besonders gelagerte Großkreise. Diese Sonderfälle sind der [[Äquator]] (hier durchgezogene blaue Linie) sowie die Längenkreise (hier gelbe Linie). Der Äquator ist der Großkreis, der die Erdkugel in der Mitte zwischen Süd- und Nordpol trennt. Die Längenkreise gehen durch den Süd- und durch den Nordpol. Auf ihnen liegen die [[Meridian (Geographie)|Meridiane]], die sich jeweils vom [[Nordpol|Nord]]- zum [[Südpol]] erstrecken, wie z. B. der [[Nullmeridian]] (0°) und der 180°-Meridian. Die Meridiane werden auch Längengrade genannt. Hingegen sind die [[Breitengrad|Breitenkreise]] (hier gestrichelte Linien), mit Ausnahme des Äquators, keine Großkreise, sondern kleiner als der maximale Kugelumfang. Man nennt sie deshalb Neben- oder [[Kleinkreis]]e.

Auf Großkreisen der [[Erde]] entspricht eine [[Bogenminute]] einer [[Seemeile]], abgekürzt ''sm'' (engl. ''nautical mile'', ''nm'' oder ''NM''). Sie wird (also als „Längenminute“ bzw. als „Breitenminute am Äquator“) mit 1852 Metern errechenbar bei einem angenommenen Erdumfang von 40.000 km. Der mittlere [[Erdradius]] beträgt 6371 km.

Die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten auf einer Kugeloberfläche – die sogenannte [[Orthodrome]] – ist immer Teil eines Großkreises (der sogenannte Hauptbogen). Deshalb führen Schifffahrts- und vor allem Flugrouten meist entlang von Großkreisen. Das Befahren der Erdkugel auf Orthodromen wird Großkreissegeln genannt; bei Start- und Zielpunkt auf ähnlicher geographischer Breite verlaufen die „Großkreiskurse“ dabei über etwas größere Breiten (z. B. [[München]]–[[Peking]] über [[Sibirien]]).

Auf dem [[Erdellipsoid]] und anderen Flächen wird die Orthodrome [[geodätische Linie]] genannt. Sie ist eine ''Kurve höherer Ordnung'' (Abweichung vom Großkreis einer Kugel einige Promille) und entspricht dem Verlauf eines straff gespannten, reibungsfreien [[Faden]]s. Auf dem Erdellipsoid, z. B. nach [[World Geodetic System 1984|WGS84]], berechnet man Anfangskurs und Distanz nach der Formel von [[Thaddeus Vincenty]].

== Darstellung auf Karten ==

Da viele [[Karte (Kartografie)|Landkarten]] (z. B. bei der [[Mercator-Projektion|Mercatorkarte]]) so dargestellt werden, dass die Breitengrade als gerade, waagrechte Linien erscheinen, wirken die Flugrouten trotz ihrer Kürze gekrümmt und verlaufen weiter [[Pol (Geographie)|polwärts]] (siehe auch [[Loxodrome]]). Um das Zeichnen zu vereinfachen, gibt es spezielle Großkreiskarten (siehe [[gnomonische Projektion]]), auf denen alle Großkreise als Gerade erscheinen, die Umgebung allerdings etwas verzerrt ist. Kürzeste Flugrouten und lange kürzeste Schiffsrouten (z. B. bei einer [[Atlantiküberquerung]]) können auf einer Gnomonischen Karte als Gerade dargestellt werden. Der dabei zu fahrende Kompasskurs ändert sich dabei stetig und kann auf der Karte abgelesen werden als Winkel zwischen Meridian und Kurslinie.

Auf [[Seekarte]]n ist am rechten und linken Rand die [[geografische Breite]] aufgetragen, d. h. der jeweilige Ausschnitt des betreffenden Längen-Großkreises. Hier kann der [[Nautik]]er mit dem [[Stechzirkel]] eine Distanz abgreifen (1 Bogenminute = 1 Seemeile = 1,852 km) und zum Einzeichnen von Positionen und Kursen in die Karte übertragen.

== Berechnung ==
Der Winkel zwischen den Punkten <math>A</math> und <math>B</math> mit den Breitenkoordinaten <math>\varphi</math> und den Längenkoordinaten <math>\lambda</math> auf dem Großkreis berechnet sich wie folgt:

:<math>\, \zeta =\arccos\Big(\sin(\varphi_A) \cdot \sin(\varphi_B) + \cos(\varphi_A) \cdot \cos(\varphi_B) \cdot \cos(\lambda_B - \lambda_A) \Big) </math>

Wird <math>\, \zeta</math> im Bogenmaß angegeben, kann die ''Großkreisentfernung d'' zwischen den beiden Punkten aus dem Erdradius rE berechnet werden:

:<math>\, d = \zeta \cdot r_E</math>

Die Großkreisentfernung beträgt maximal den halben Erdumfang.

Den [[Schnittwinkel (Geometrie)|Schnittwinkel]] des Großkreises von A und B mit dem Meridian im Punkt A nennt man [[Kurswinkel]] <math>\, \omega</math>. Er berechnet sich mit:

:<math>\cos \omega = \frac {\sin \varphi_B - \sin \varphi_A \cdot \cos \zeta} {\cos \varphi_A \cdot \sin \zeta}</math>

Für östliche Kurse (λB > λA) liegt der Kurswinkel zwischen 0° und 180°, für westliche Kurse (λB < λA) liegt der Kurswinkel zwischen 180° und 360°. Im Gegensatz zur ebenen Geometrie unterscheiden sich die Kurswinkel von <math>A</math> nach <math>B</math> und von <math>B</math> nach <math>A</math> nicht um 180°. Im Extremfall, wenn der Großkreis über die Pole führt, können die beiden Kurswinkel sogar gleich sein.

== Literatur ==
* [[Manfred Leppig]]: ''Analytische Geometrie der Großkreise und Loxodromen.'' 1970.

== Weblinks ==
{{Wiktionary}}
* [https://astrosail.com/category/astronomische-navigation Astronomische Navigation] – mit Formeln zum sphärisch-astronomischen Grunddreieck
* [https://www.frassek.org/3d-mathe/orthodrome-gro%C3%9Fkreis-und-loxodrome/orthodrome/ Orthodrome (Großkreis)]
* [http://gc.kls2.com/ Great Circle Mapper] – Great Circle mapper including [[ETOPS]] ranges (englisch)
* [http://www.cactus2000.de/de/unit/massgrk.shtml Großkreisberechner]
* [https://terrestrialnavigation.com/TNavigation/MenueGreatCircle Ausführliche Großkreisberechnung für die Praxis (englisch)]

{{SORTIERUNG:Grosskreis}}
[[Kategorie:Kreis]]
[[Kategorie:Raumgeometrie]]
[[Kategorie:Sphärische Astronomie]]
[[Kategorie:Astronomisches Koordinatensystem]]
[[Kategorie:Mathematische Geographie]]
[[Kategorie:Flugnavigation]]

Großkreis - Versionsgeschichte

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