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2025-03-02T15:59:28Z

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In der [[Mathematik]] ist der '''Limes''' oder '''Grenzwert''' einer [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] an einer bestimmten Stelle der Wert, dem sich die Funktion in der Umgebung der betrachteten Stelle annähert. Ein solcher Grenzwert existiert jedoch nicht in allen Fällen. Existiert der Grenzwert, so ''konvergiert'' die Funktion, andernfalls ''divergiert'' sie. Der Grenzwertbegriff wurde im 19. Jahrhundert formalisiert. Es ist eines der wichtigsten Konzepte der [[Analysis]].

== Formale Definition des Limes einer reellen Funktion ==
[[Datei:Limes Definition Vektorgrafik.svg|mini|330x330px|Der Grenzwert der Funktion ''f'' für ''x'' gegen ''p'' ist gleich ''L'' dann und nur dann, wenn zu jedem ''ε'' > 0 ein ''δ'' > 0 existiert, sodass für alle ''x'' mit {{nowrap|<nowiki>0 < |</nowiki>''x''−''p''<nowiki>|</nowiki> < ''δ''}} auch {{nowrap|<nowiki>|</nowiki>''f''(''x'')−''L''<nowiki>|</nowiki> < ''ε''}} gilt]]
Das Symbol <math>\lim_{x \to p} f(x)</math>, gelesen „Limes f von x für x gegen p“, bezeichnet den Limes der [[Reelle Funktion|reellen Funktion]] <math>f</math> für den Grenzübergang der [[Parameter (Mathematik)|Variablen]] <math>x</math> gegen <math>p</math>. Dabei muss <math>p</math> nicht unbedingt im [[Definitionsbereich]] <math>D</math> von <math>f</math> liegen, aber es muss ein [[Häufungspunkt]] von <math>D</math> sein. Außerdem kann <math>p</math> sowohl eine reelle Zahl sein als auch einer der symbolischen Werte <math>+\infty</math> und <math>-\infty</math>. Auch der Limes kann eine reelle Zahl oder <math>+\infty</math> oder <math>-\infty</math> sein (siehe auch [[Asymptote]]).

Alle diese Fälle lassen sich einheitlich mit der Definition über Folgengrenzwerte erfassen, siehe [[#Def mit Folgen|den Abschnitt unten]].

Üblicher ist die Definition mit Hilfe von Umgebungen. Dann muss man vier Fälle unterscheiden, da sowohl das Argument <math>p</math> als auch der Grenzwert endlich oder unendlich sein kann.

=== Argument endlich, Grenzwert endlich ===
* Definition: Sei <math>D</math> eine [[Teilmenge]] von <math>\R</math> und <math>p\in\R</math> ein [[Häufungspunkt]] von <math>D</math>. Die Funktion <math>f\colon D\to\R</math> hat für <math>x \to p</math> den Limes <math>L</math>, wenn es zu jedem (noch so kleinen) <math>\varepsilon > 0</math> ein (im Allgemeinen von <math>\varepsilon</math> abhängiges) <math>\delta > 0</math> gibt, sodass für alle <math>x</math>-Werte aus dem Definitionsbereich <math>D</math> von <math>f</math>, die der Bedingung <math>0<|x - p| < \delta</math> genügen, auch <math>|f(x) - L| < \varepsilon</math> gilt.<ref>Harro Heuser: ''Lehrbuch der Analysis. Teil 1.'' 8. Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1990, ISBN 3-519-12231-6. Definition 38.1.</ref>

Qualitativ ausgedrückt bedeutet die Definition: Der Unterschied zwischen dem Funktionswert <math>f(x)</math> und dem Limes <math>L</math> wird beliebig klein, wenn man <math>x</math> genügend nahe bei <math>p</math> (aber ungleich <math>p</math>) wählt.

Zu beachten ist, dass es keine Rolle spielt, welchen Wert die Funktion <math>f</math> an der Stelle <math>p</math> einnimmt; die Funktion braucht nicht einmal an der Stelle <math>p</math> definiert zu sein. Entscheidend ist lediglich das Verhalten von <math>f</math> in den [[Punktierte Umgebung|punktierten Umgebungen]] von <math>p</math>. Manche Autoren verwenden allerdings eine Definition mit Umgebungen, die nicht punktiert sind; siehe dazu den Abschnitt „[[#Neuerer Grenzwertbegriff|Neuerer Grenzwertbegriff]]“.

Im Gegensatz zur von [[Augustin-Louis Cauchy]] verwendeten Formulierung, dass sich „die Funktion dem Grenzwert annähert“, ist <math>x</math> keine Variable, die „läuft“, sondern einfach nur ein Element einer vorgegebenen Menge. Diese heute verwendete statische <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math>-Definition geht im Wesentlichen auf [[Karl Weierstraß]] zurück und stellte den Grenzwertbegriff auf ein solides mathematisches Fundament, die sogenannte [[Epsilontik]].<ref>Harro Heuser: ''Lehrbuch der Analysis. Teil 2.'' 5. Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1990, ISBN 3-519-42222-0. Kapitel 245 ''Die neue Strenge.'' S. 697.</ref>

Beispiel: <math>\lim_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} x+1 = 2</math>

=== Argument endlich, Grenzwert unendlich ===
* Definition: Sei <math>D</math> eine Teilmenge von <math>\R</math> und <math>p\in\R</math> ein [[Häufungspunkt]] von <math>D</math>. Die Funktion <math>f</math> hat für <math>x \to p</math> den Limes <math>+\infty</math>, wenn es zu jeder (noch so großen) reellen Zahl <math>T</math> ein (im Allgemeinen von <math>T</math> abhängiges) <math>\delta > 0</math> gibt, sodass für beliebige <math>x</math>-Werte aus dem Definitionsbereich von <math>f</math>, die der Bedingung <math>0<|x - p| < \delta</math> genügen, auch <math>f(x) > T</math> erfüllt ist.
: In diesem Falle <math>\lim_{x \to p} f(x) = \infty</math> nennt man <math>f</math> für <math>x</math> gegen <math>p</math> ''bestimmt divergent''.
Entsprechend wird der Fall des Grenzwertes <math>-\infty</math> definiert.

Beispiel: <math>\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty</math>

=== Argument unendlich, Grenzwert endlich ===
{{Anker|Argumente_unendlich_Grenzwert_endlich}}
* Definition: Sei <math>D</math> eine Teilmenge von <math>\R</math> und <math>+\infty</math> ein [[Häufungspunkt]] von <math>D</math>, d. h. <math>D</math> ist nach oben unbeschränkt. Die Funktion <math>f:D\to\R</math> hat für <math>x \to +\infty</math> den Limes <math>L</math>, wenn es zu jedem (noch so kleinen) <math>\varepsilon > 0</math> eine (im Allgemeinen von <math>\varepsilon</math> abhängige) reelle Zahl <math>S</math> gibt, sodass für beliebige <math>x</math>-Werte aus dem Definitionsbereich von <math>f</math>, die der Bedingung <math>x > S</math> genügen, auch <math>|f(x) - L| < \varepsilon</math> erfüllt ist.
: In diesem Falle <math>\lim_{x \to \infty} f(x) = L</math> nennt man <math>f</math> für <math>x</math> gegen Unendlich ''konvergent''.

Entsprechend lassen sich Grenzwerte des Typs <math>x \to -\infty</math> definieren.

Beispiel: <math>\lim_{x \to \infty} \frac{x}{x+1} = 1</math>

=== Argument unendlich, Grenzwert unendlich ===
* Definition: Sei <math>D</math> eine Teilmenge von <math>\R</math> und <math>+\infty</math> ein [[Häufungspunkt]] von <math>D</math>, d. h. <math>D</math> ist nach oben unbeschränkt. Die Funktion <math>f:D\to\R</math> hat für <math>x \to +\infty</math> den Limes <math>+\infty</math>, wenn es zu jeder (noch so großen) reellen Zahl <math>T</math> eine (im Allgemeinen von <math>T</math> abhängige) reelle Zahl <math>S</math> gibt, sodass für beliebige <math>x</math>-Werte aus dem Definitionsbereich von <math>f</math>, die der Bedingung <math>x>S</math> genügen, auch <math>f(x) > T</math> erfüllt ist.
: In diesem Falle <math>\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty</math> nennt man <math>f</math> für <math>x</math> gegen <math>\infty</math> ''bestimmt divergent''.
Entsprechend wird der Fall des Grenzwertes <math>-\infty</math> und der Grenzwert für <math>x \to -\infty</math> definiert.

Beispiel: <math>\lim_{x \to \infty} x^2 = \infty</math>

== {{Anker|Def mit Folgen}} Definition mit Hilfe von Folgen ==
Die unterschiedlichen Fälle lassen sich mit Hilfe von Folgen einheitlich behandeln.<ref>Daniel Grieser: ''Analysis I.'' Springer 2015, ISBN 978-3-658-05946-0. Kapitel 11.1.</ref>

Dazu charakterisiert man zunächst den Begriff des Häufungspunktes einer Teilmenge <math>D\subset\R</math> mittels Folgen:

Ein Punkt <math>p\in\mathbb{R}\cup \{\pm\infty\}</math> ist ein Häufungspunkt von <math>D</math> genau dann, wenn es eine Folge <math>(x_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> mit <math>x_n\in D \setminus \{p\}</math> gibt, die <math>\lim_{n\to\infty}x_n=p</math> erfüllt. Siehe dazu [[Grenzwert (Folge)]].

Mit dieser Eigenschaft lässt sich eine alternative Grenzwertdefinition formulieren:
* Definition: Sei <math>f\colon D\to\mathbb{R}</math> eine Funktion, <math>p\in\mathbb{R}\cup \{\pm\infty\}</math> ein Häufungspunkt von <math>D</math> und <math>L\in\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}</math>. Dann definiert man: <math>\lim_{x\to p}f(x)=L</math> genau dann, wenn für jede Folge <math>(x_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> mit <math>x_n\in D\setminus\{p\}</math> und <math>\lim_{n\to\infty}x_n=p</math> gilt: <math>\lim_{n\to\infty}f(x_n)=L</math>.

Man kann zeigen, dass diese Definition äquivalent zu den oben gegebenen Definitionen ist.

== Einseitige Grenzwerte ==
=== Definition ===
Sei <math>X</math> eine Teilmenge von <math>\R</math> und <math>p\in\R</math> ein [[Häufungspunkt]] von <math>X \cap (p,\infty)</math>. Die Funktion <math>f \colon X\to\R</math> hat für <math>x \to p+</math> den Limes <math>L</math>, wenn es zu jedem (noch so kleinen) <math>\varepsilon > 0</math> ein (im Allgemeinen von <math>\varepsilon</math> abhängiges) <math>\delta > 0</math> gibt, sodass für alle <math>x</math>-Werte aus dem Definitionsbereich <math>X</math> von <math>f</math>, die der Bedingung <math>0<x - p < \delta</math> genügen, auch <math>|f(x) - L| < \varepsilon</math> gilt.
: In diesem Falle <math>\lim_{x \to p+} f(x) = L</math> nennt man <math>f</math> für <math>x</math> von rechts gegen <math>p</math> ''konvergent''.
Entsprechend werden Grenzwerte des Typs <math>x \to p-</math> beziehungsweise für <math>L \in \{-\infty, +\infty\}</math> definiert.

=== Beispiele ===
{| class="wikitable"
|-
!Funktion
!rechtsseitiger Grenzwert
!linksseitiger Grenzwert
!beidseitiger Grenzwert
|-
|align="left"|<math>\sgn(x)</math>
|align="left"|<math>\lim_{x \to 0+} \sgn(x) = +1</math>
|align="left"|<math>\lim_{x \to 0-} \sgn(x) = -1</math>
|align="left"|existiert nicht
|-
|align="left"|<math>\frac{1}{x}</math>
|align="left"|<math>\lim_{x \to 0+} \frac{1}{x} = +\infty</math>
|align="left"|<math>\lim_{x \to 0-} \frac{1}{x} = -\infty</math>
|align="left"|existiert nicht
|-
|align="left"|<math>\frac {1}{|x|}</math>
|align="left"|<math>\lim_{x \to 0+} \frac{1}{|x|} = +\infty</math>
|align="left"|<math>\lim_{x \to 0-} \frac{1}{|x|} = +\infty</math>
|align="left"|<math>\lim_{x \to 0} \frac{1}{|x|} = +\infty</math>
|-
|}

=== Notation ===
{| class="wikitable"
|-
|align="left"|{{Anker|rechtsseitiger Grenzwert}}rechtsseitiger Grenzwert
|align="left"|<math>\lim_{x\to p+}f(x)</math>
|align="left"|<math>\lim_{x\to p+0}f(x)</math>
|align="left"|<math>\lim_{x\downarrow p}f(x)</math>
|align="left"|<math>\lim_{x\searrow p}f(x)</math>
|align="left"|<math>\lim_{x\to p\atop x > p}f(x)</math>
|align="left"|<math>f(p+)</math>
|-
|align="left"|linksseitiger Grenzwert
|align="left"|<math>\lim_{x\to p-}f(x)</math>
|align="left"|<math>\lim_{x\to p-0}f(x)</math>
|align="left"|<math>\lim_{x\uparrow p}f(x)</math>
|align="left"|<math>\lim_{x\nearrow p}f(x)</math>
|align="left"|<math>\lim_{x\to p\atop x < p}f(x)</math>
|align="left"|<math>f(p-)</math>
|-
|}

=== Einseitiger und beidseitiger Grenzwert ===
Um Verwechslungen zu vermeiden, spricht man im Falle von <math>\lim_{x\to p}f(x)</math> mitunter auch vom ''beidseitigen'' Grenzwert. Falls <math>p</math> ein Häufungspunkt von <math>X\cap(p,\infty)</math> und von <math>X \cap (-\infty,p)</math> ist, so gilt:<ref>Harro Heuser: ''Lehrbuch der Analysis. Teil 1.'' 8. Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1990, ISBN 3-519-12231-6. Satz 39.1.</ref>

<math>\lim_{x\rightarrow p}f(x)</math> existiert genau dann, wenn die beiden einseitigen Grenzwerte <math>\lim_{x\nearrow p}f(x)</math> und <math>\lim_{x\searrow p}f(x)</math> existieren und übereinstimmen. In diesem Falle gilt die Gleichheit <math>\lim_{x\rightarrow p}f(x) = \lim_{x\nearrow p}f(x) = \lim_{x\searrow p}f(x)</math>.

Und genau dann, wenn <math>f</math> im Punkt <math>p</math> definiert ist und <math>\lim_{x\rightarrow p}f(x) = f(p)</math> gilt, ist <math>f</math> an der Stelle <math>p</math> [[Stetige Funktion|stetig]].

== Grenzwertsätze ==
Sei <math>D\subseteq \R</math>, <math>f\colon D\to \R</math> und <math>g\colon D\to \R</math> zwei reellwertige Funktionen, deren Grenzwerte <math>\lim_{x \to p} f(x) = a</math> und <math>\lim_{x \to p} g(x) = b</math> existieren, wobei <math>a, b \in \mathbb{R}</math> und <math>p</math> ein Häufungspunkt von <math>D</math> aus den [[Reelle Zahlen#Topologie, Kompaktheit, erweiterte reelle Zahlen|erweiterten reellen Zahlen]] <math>\bar{\R}=\R\cup\{-\infty,+\infty\}</math> ist. Dann existieren auch die folgenden Grenzwerte und lassen sich wie angegeben berechnen:
* <math>\lim_{x \to p} (f(x) \pm g(x)) = \lim_{x \to p} f(x) \pm \lim_{x \to p} g(x) = a \pm b</math>
* <math>\lim_{x \to p} (f(x) \sdot g(x)) = \lim_{x \to p} f(x) \sdot \lim_{x \to p} g(x) = a \sdot b</math>
Ist zusätzlich <math>b \ne 0</math>, so existiert auch <math>\lim_{x \to p} \tfrac {f(x)} {g(x)}</math>, und es gilt
* <math>\lim_{x \to p} \frac {f(x)} {g(x)} = \frac {\lim_{x \to p} f(x)} {\lim_{x \to p} g(x)} = \frac {a} {b}</math>.

Gilt sowohl <math>\lim_{x \to p} f(x) = 0</math> als auch <math>\lim_{x \to p} g(x) = 0</math>, so lässt sich der Grenzwertsatz nicht anwenden. In vielen Fällen kann man den Grenzwert aber mit der [[Regel von de L’Hospital]] bestimmen.

* [[Schachtelungssatz]]:
Ist <math>|f(x)| \le |g(x)|</math> und ist <math>\lim_{x \to p} g(x) = 0</math>, so ist auch <math>\lim_{x \to p} f(x) = 0</math>.

* [[Kettenregel]]:
Aus <math>\lim_{x \to p} f(x) = a</math> und <math>\lim_{u \to a} g(u) = L</math> mit <math>a, L \in \mathbb{R}</math> folgt <math>\lim_{x \to p} g(f(x)) = L</math>, falls <math>g(a)=L</math> gilt (<math>g</math> also an der Stelle <math>a</math> [[Stetige Funktion|stetig]] ist) oder <math>f</math> in einer [[Umgebung (Mathematik)|Umgebung]] von <math>p</math> den Wert <math>a</math> nicht annimmt.<br />
Beispiel:<br />Gesucht ist <math>\lim_{x \to 0^+} \sin(x)^{\sin(x)}</math>. Für <math>0<x<\pi</math> gilt:
:<math>\sin(x)^{\sin(x)} = e^{\sin(x)\sdot \ln(\sin(x))}</math>
:<math>f(x) = \sin(x)\sdot \ln(\sin(x))</math>
:<math>\lim_{x \to 0^+} \sin(x)\sdot \ln(\sin(x))= 0</math> (Nach der Regel von de L’Hospital)
Anwenden der Kettenregel mit <math>g(u) = e^u</math> liefert
:<math>\lim_{u \to 0} e^u = 1 \Rightarrow \lim_{x \to 0^+} \sin(x)^{\sin(x)} = 1</math>.

== Anwendung auf den Differenzenquotienten ==
Die Anwendung des Grenzwertbegriffs auf [[Differenzenquotient]]en hat sich als besonders ergiebig erwiesen. Er bildet die eigentliche Grundlage der [[Analysis]].

'''Differentialquotient und Differenzierbarkeit'''
''Differentialquotienten'' (auch ''Ableitungen'' genannt) sind die Grenzwerte der Differenzenquotienten einer Funktion, also Ausdrücke der Form
: <math>\lim_{x_1 \to x_0}\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0} = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}</math>
mit <math>\Delta y := f(x_1)-f(x_0)</math> und <math>\Delta x := x_1-x_0</math>. Schreibweisen sind z. B. <math>f'(x_0)</math> oder <math>\frac{{\rm d}f}{{\rm d}x}(x_0)</math>, sofern dieser Grenzwert existiert. Mit den Eigenschaften und der Berechnung von Differentialquotienten befasst sich die [[Differentialrechnung]].

Existiert ein Differentialquotient einer Funktion an der Stelle <math>p</math>, dann heißt die Funktion [[Differenzierbarkeit|differenzierbar]] an der Stelle <math>p</math>.<ref>Harro Heuser: ''Lehrbuch der Analysis. Teil 1.'' 8. Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1990, ISBN 3-519-12231-6. Definition 46.1.</ref>

== Wichtige Grenzwerte ==
Der bei der Ableitung der [[Potenz (Mathematik)|Potenzfunktionen]] <math>f(x)=x^n</math> mit <math>n\in\N</math> auftretende Grenzwert lässt sich mit dem [[Binomischer Lehrsatz|binomischen Lehrsatz]] berechnen:
: <math>\frac{\mathrm{d}x^n}{\mathrm{d}x}=\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}=nx^{n-1}</math>

Der bei der Ableitung der [[Exponentialfunktion]]en <math>f(x)=a^x</math> mit <math>a\in\R^+</math> auftretende Grenzwert benötigt die Einführung der [[Eulersche Zahl|eulerschen Zahl]] <math>e</math> und den darauf beruhenden [[Natürlicher Logarithmus|natürlichen Logarithmus]]:
: <math>\frac{\mathrm{d}a^x}{\mathrm{d}x}=\lim_{h \to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}=a^x\lim_{h \to 0}\frac{a^h-1}{h}=a^x\ln a</math>

Die Ableitung der [[Trigonometrische Funktion|Winkelfunktionen]] führt letztlich auf den Grenzwert <math>\lim_{x \to 0} \frac {\sin x}{x}</math>. Für die Berechnung dieses Grenzwerts gibt es unterschiedliche Zugänge, je nachdem, wie die Winkelfunktionen und die [[Kreiszahl|Zahl Pi]] analytisch definiert werden.<ref>[[b:Beweisarchiv: Analysis: Differentialrechnung: Differentiation der Sinusfunktion|Wikibooks: Beweisarchiv: Analysis: Differentialrechnung: Differentiation der Sinusfunktion]]</ref> Misst man den Winkel im [[Bogenmaß]], so erhält man

:<math>\lim_{x \to 0} \frac {\sin x}{x}=1.</math>

== Neuerer Grenzwertbegriff ==
In jüngerer Zeit wird auch eine Variante des Grenzwertbegriffs verwendet, der mit Umgebungen arbeitet, die nicht punktiert sind. Unter Verwendung von Folgen definiert diese Variante den Grenzwert folgendermaßen:
Sei <math>f\colon D\to\mathbb{R}</math> eine Funktion, <math>p</math> ein Element der [[Abgeschlossene Hülle|abgeschlossenen Hülle]] <math>\bar{D}</math> und <math>L\in\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}</math>. Dann definiert man: <math>\lim_{x\to p}f(x)=L</math> genau dann, wenn für jede Folge <math>(x_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> mit <math>x_n\in D</math> und <math>\lim_{n\to\infty}x_n=p</math> gilt: <math>\lim_{n\to\infty}f(x_n)=L</math>.<ref>H. Amann, J. Escher: ''Analysis I.'' Birkhäuser, Basel 1998, ISBN 3-7643-5974-9. S. 255.</ref><ref>G. Wittstock: ''[https://www.math.uni-sb.de/ag/wittstock/lehre/WS00/analysis1/Vorlesung/node45.html Vorlesungsskript zu Analysis 1. Wintersemester 2000–2001.]'' Definition 2.3.27.</ref>

Der Unterschied zur oben gegebenen punktierten Variante besteht erstens darin, dass jetzt <math>x_n=p</math> nicht mehr verboten ist, falls <math>p\in D</math>. Zweitens ist dadurch eine Definition auf allen Punkten in der abgeschlossene Hülle <math>\bar{D}</math> möglich, insbesondere also auch auf [[Isolierter Punkt|isolierten Punkten]] von <math>D</math>.

Eine äquivalente nichtpunktierte <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math>-Definition des Grenzwerts lässt sich ebenfalls leicht angeben: In der oben gegebenen <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math>-Definition braucht nur <math>0<|x-p|<\delta</math> durch <math>|x-p|<\delta</math> ersetzt zu werden, also ebenfalls der Fall <math>x=p</math> ausdrücklich erlaubt zu werden.

Die nichtpunktierte Version ist nicht äquivalent zur punktierten Version. Sie unterscheidet sich insbesondere an Unstetigkeitsstellen:

In der punktierten Version ist <math>f</math> stetig in <math>p\in D</math> genau dann, wenn der Grenzwert von <math>f</math> für <math>x\to p</math> existiert und <math>\lim_{x\to p}f(x)=f(p)</math> gilt oder wenn <math>p</math> ein isolierter Punkt ist.<ref>Harro Heuser: ''Lehrbuch der Analysis. Teil 1.'' 8. Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1990, ISBN 3-519-12231-6. Satz 38.2.</ref> In der nichtpunktierten Version hingegen reicht es für Stetigkeit, die Existenz des Grenzwerts zu fordern, die Gleichung <math>\lim_{x\to p}f(x)=f(p)</math> ist damit automatisch erfüllt.<ref>G. Wittstock: ''[https://www.math.uni-sb.de/ag/wittstock/lehre/WS00/analysis1/Vorlesung/node45.html Vorlesungsskript zu Analysis 1. Wintersemester 2000–2001].'' Bemerkung 2.3.28, Punkt 1.</ref>

Beispiel:
:<math>f(x)=\begin{cases}0, & x\ne 0,\\ 1,& x=0.\end{cases}</math>
Diese Funktion ist nicht stetig. Der Grenzwert im nichtpunktierten Sinn existiert nicht. Der Grenzwert im punktierten Sinn existiert allerdings: <math>\lim_{x\to 0}f(x)=0</math>, da ausdrücklich <math>x\neq 0</math> verlangt wird und für diese Werte <math>f(x)=0</math> gilt. Offensichtlich ist allerdings <math>\lim_{x\to 0}f(x)\neq f(0)</math>.

Zur Vermeidung von Missverständnissen empfehlen die Vertreter der nichtpunktierten Variante daher, den punktierten Grenzwert von <math>f</math> für <math>x\to p</math> folgendermaßen zu bezeichnen:<ref>G. Wittstock: ''[https://www.math.uni-sb.de/ag/wittstock/lehre/WS00/analysis1/Vorlesung/node40.html Vorlesungsskript zu Analysis 1. Wintersemester 2000–2001]'' Definition 2.3.2, Bemerkung 3.</ref>
:<math>\lim_{x\to p\atop x\neq p}f(x)</math>

Die Vertreter der neueren Variante sehen den Vorteil ihrer Variante gegenüber der klassischen punktierten Variante von Weierstraß darin, dass sich Grenzwertsätze mit der neueren Variante leichter formulieren lassen, weil die Sonderfälle, die sich durch die Punktierung ergeben, nicht mehr berücksichtigt werden müssen.<ref>G. Wittstock: ''[https://www.math.uni-sb.de/ag/wittstock/lehre/WS00/analysis1/Vorlesung/node45.html Vorlesungsskript zu Analysis 1. Wintersemester 2000–2001.]'' Bemerkung 2.3.28 Punkt 5.</ref>

== Grenzwert einer Funktion bezüglich eines Filters ==
{{Hauptartikel|Filterkonvergenz}}
Sowohl der klassische Grenzwertbegriff von Weierstraß als auch der neuere Grenzwertbegriff lassen sich als Spezialfälle des allgemeinen Grenzwertbegriffs einer Funktion bezüglich eines [[Filter (Mathematik)|Filters]] auffassen:

Sei <math>f</math> eine Funktion von <math>X</math> nach <math>Y</math>, wobei <math>Y</math> mit einer [[Topologischer Raum|Topologie]] versehen ist, und <math>\mathcal{F}\subset\mathcal{P}(X)</math> ein Filter auf <math>X</math>. Ein Punkt <math>L\in Y</math> heißt Grenzwert der Funktion <math>f</math> bezüglich des Filters <math>\mathcal{F}</math>, wenn der von der Filterbasis <math>f\left(\mathcal{F}\right)</math> erzeugte Filter gegen <math>L</math> konvergiert, also wenn der von der Filterbasis <math>f\left(\mathcal{F}\right)</math> erzeugte Filter feiner ist als der Umgebungsfilter von <math>L</math>.<ref>N. Bourbaki: ''Éléments de mathématique. Topologie Générale.'' Springer, Berlin, ISBN 978-3-540-33936-6. Chapitre I, § 7, Définition 3.</ref>

Die neuere Definition für den Grenzwert einer Funktion im Punkt <math>x</math> entspricht nun dem Spezialfall, dass <math>\mathcal{F}</math> als der Umgebungsfilter von <math>x</math> gewählt wird;<ref>N. Bourbaki: ''Éléments de mathématique. Topologie Générale.'' Springer, Berlin, ISBN 978-3-540-33936-6. Chapitre I, § 7.4.</ref> die klassische Definition von Weierstraß entspricht dem Spezialfall, dass <math>\mathcal{F}</math> als der von den punktierten Umgebungen von <math>x</math> erzeugte Filter gewählt wird.<ref>N. Bourbaki: ''Éléments de mathématique. Topologie Générale.'' Springer, Berlin, ISBN 978-3-540-33936-6. Chapitre I, § 7.5.</ref>

== Siehe auch ==
* [[Definitionslücke#Stetig hebbare Definitionslücke|Stetig hebbare Definitionslücke]]

== Einzelnachweise ==
<references />

== Weblinks ==
{{Commonscat|Limit of a function|Grenzwert einer Funktion|audio=0|video=0}}
* {{MathWorld|id=Limit|title=Limit}}
* {{MathWorld|id=Epsilon-DeltaDefinition|title=Epsilon-Delta Definition}}

[[Kategorie:Analysis]]

[[nl:Limiet#Limiet van een functie]]

Grenzwert (Funktion) - Versionsgeschichte

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