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2025-06-23T08:59:56Z

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[[Datei:Letter Goldbach-Euler.jpg|mini|Brief von Goldbach an Euler vom 7. Juni 1742 (lateinisch-deutsch)<ref>In Druckschrift in Paul Heinrich Fuss (Hrsg.): ''Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIème siècle.'' (Band 1), St.-Pétersbourg 1843, [http://books.google.com/books?id=OGMSAAAAIAAJ&pg=PA125 S. 125–129.]</ref>]]
Die '''Goldbachsche Vermutung,''' benannt nach dem Mathematiker [[Christian Goldbach]], ist eine unbewiesene Aussage aus dem Bereich der [[Zahlentheorie]]. Sie gehört als eines der [[Hilbertsche Probleme|Hilbertschen Probleme]] (Nr. 8b) zu den bekanntesten [[Ungelöste Probleme der Mathematik|ungelösten Problemen der Mathematik]].

Goldbach formulierte die Vermutung in einem Brief an [[Leonhard Euler]] am 7. Juni 1742. Für Lösungsversuche werden fortgeschrittene Methoden der [[Analytische Zahlentheorie|analytischen Zahlentheorie]] benutzt. Wie einige andere Probleme der [[Additive Zahlentheorie|additiven Zahlentheorie]], die sowohl die Primzahleigenschaften (multiplikative Zahlentheorie) als auch Addition [[Natürliche Zahl|natürlicher Zahlen]] in ihrer Formulierung umfassen, gilt sie zwar als einfach zu formulieren, aber als besonders schwierig zu beweisen.

== Starke (oder binäre) Goldbachsche Vermutung ==
Die starke (oder binäre) Goldbachsche Vermutung lautet wie folgt:

:''Jede [[gerade Zahl]], die größer als [[Zwei|2]] ist, ist Summe zweier [[Primzahl]]en.''

Mit dieser [[Vermutung (Mathematik)|Vermutung]] befassten sich bis in die heutige Zeit viele [[Zahlentheorie|Zahlentheoretiker]], ohne sie bisher bewiesen oder widerlegt zu haben.

Tomás Oliveira e Silva zeigte mittels eines [[Volunteer-Computing]]-Projekts mittlerweile die Gültigkeit der Vermutung für alle Zahlen bis 4·1018. Ein Beweis dafür, dass sie für ''jede'' beliebig große gerade Zahl gilt, ist dies nicht.

Nachdem der britische Verlag [[Faber & Faber (Vereinigtes Königreich)|Faber & Faber]] im Jahr 2000 ein Preisgeld von einer Million US-Dollar für einen Beweis der Vermutung innerhalb von zwei Jahren [[Auslobung|ausgelobt]] hatte, wuchs auch das öffentliche Interesse an dieser Frage. Das Preisgeld wurde nicht ausgezahlt, da bis April 2002 kein Beweis eingegangen war.

== Schwache (oder ternäre) Goldbachsche Vermutung ==
Die schwächere Vermutung

:''Jede '''un'''gerade Zahl, die größer als '''5''' ist, ist Summe '''dreier''' Primzahlen.''

ist als ''ternäre'' oder ''schwache'' Goldbachsche Vermutung bekannt. Sie ist teilweise gelöst: Denn einerseits gilt sie, wenn die verallgemeinerte [[Riemannsche Vermutung]] richtig ist,<ref>[[Jean-Marc Deshouillers]], Gove Effinger, [[Herman te Riele]], Dmitrii Zinoviev: ''[http://www.ams.org/journals/era/1997-03-15/S1079-6762-97-00031-0/home.html A complete Vinogradov 3-primes theorem under the Riemann hypothesis.]'' Electronic Research Announcements of the AMS 3, 1997, S. 99–104 (englisch).</ref> und andererseits ist gezeigt, dass sie für alle genügend großen Zahlen gilt ([[Satz von Winogradow]], siehe [[#Verwandte Resultate|Verwandte Resultate]]).

Am 13. Mai 2013 kündigte der peruanische Mathematiker [[Harald Helfgott]] einen mutmaßlichen Beweis der ternären Goldbachschen Vermutung für alle Zahlen an, die größer als 1030 sind.<ref>Harald Andrés Helfgott: ''[http://arxiv.org/pdf/1205.5252v2.pdf Minor Arcs for Goldbach’s Problem.]'' (PDF; 715 kB) und ''[http://arxiv.org/pdf/1305.2897v1.pdf Major Arcs for Goldbach’s Problem.]'' (Preprint auf [[arXiv]].org; PDF; 1,1 MB)</ref><ref>Helfgott, ''Major arcs for the Goldbach problem'', [https://arxiv.org/abs/1305.2897 Arxiv], 2013</ref><ref>Helfgott, ''The ternary Goldbach conjecture is true'', [https://arxiv.org/abs/1312.7748 Arxiv], 2013, letzte Revision 2014</ref><ref>Vgl. Holger Dambeck: ''[http://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/beweis-fuer-schwache-goldbachsche-vermutung-a-901111.html Schwache Goldbach-Vermutung: Lösung für legendäres Zahlenrätsel vorgelegt.]'' Auf: ''SPIEGEL Online Wissenschaft.'' 23. Mai 2013.</ref> Der Beweis wurde 2015 für die [[Annals of Mathematics]] Studies in Princeton akzeptiert – eine Buchreihe – und ist bisher noch nicht vollständig erschienen und einem vollständigen [[Peer Review|Peer-Review]] unterzogen (Stand 2021).<ref>Helfgott, ''The ternary Goldbach problem'', [https://arxiv.org/abs/1501.05438 Arxiv], Version von 2015</ref><ref>[https://webusers.imj-prg.fr/~harald.helfgott/anglais/book.html Webseite zu seinem Buch auf seiner Homepage] mit den fertigen Kapiteln, abgerufen am 23. Juli 2022</ref> Helfgott beschloss dafür die Kapitel stückweise zunächst auf seiner Homepage zu dem geplanten Buch zu veröffentlichen. Der Beweis benutzt Siebmethoden (Großes Sieb), die [[Kreismethode von Hardy-Littlewood]] und [[Trigonometrisches Polynom|Exponentialsummen]] nach Winogradow, alles Methoden der analytischen Zahlentheorie. Die Gültigkeit für sämtliche Zahlen unterhalb 8,875·1030 ist bereits mit Computerhilfe überprüft worden.<ref>Harald Andrés Helfgott, David J. Platt: ''[http://arxiv.org/pdf/1305.3062v1.pdf Numerical Verification of the Ternary Goldbach Conjecture up to 8.875·1030.]'' (Preprint auf [[arXiv]].org; PDF; 104 kB).</ref>

Aus der starken Goldbachschen Vermutung folgt die schwache Goldbachsche Vermutung, denn jede ungerade Zahl <math>u</math> kann als Summe <math>u = (u-3) + 3</math> geschrieben werden. Der erste Summand <math>(u-3)</math> ist nach der starken Goldbachschen Vermutung Summe zweier Primzahlen (<math>u - 3 = a + b</math>), womit eine Darstellung <math>u = a + b + 3</math> von <math>u</math> als Summe von drei Primzahlen gefunden ist.

== Goldbach-Zerlegungen ==
[[Datei:Goldbach200000.png|mini|400px|Anzahl der Möglichkeiten, die geraden Zahlen bis 200.000 als Summe zweier Primzahlen darzustellen]]
Als ''Goldbach-Zerlegung'' wird die Darstellung einer geraden Zahl als Summe zweier Primzahlen bezeichnet, beispielsweise ist <math>3 + 5</math> eine Goldbach-Zerlegung der 8. Die Zerlegungen sind nicht eindeutig, wie man an <math>18 = 7 + 11 = 5 + 13</math> ersehen kann. Für größere gerade Zahlen gibt es eine tendenziell wachsende Anzahl von Goldbach-Zerlegungen („mehrfache Goldbachzahlen“). Die Anzahl der Goldbach-Zerlegungen lässt sich mit Computerunterstützung leicht berechnen, siehe Abbildung.

Um die starke Goldbachsche Vermutung zu verletzen, müsste ein Datenpunkt irgendwann auf die Nulllinie fallen.

Die Forderung an eine gerade Zahl <math>n</math>, dass für jede Primzahl <math>p</math> mit <math>n/2 \leq p < n</math> auch <math>n - p</math> eine Primzahl und somit <math>n = p + (n - p)</math> eine Goldbach-Zerlegung ist (die Zahl <math>n</math> also die maximale Anzahl an Goldbach-Zerlegungen besitzt), erfüllen genau die vier Zahlen 10, 16, 36 und 210. Auch die schwächere Forderung, dass für jede Primzahl <math>p</math> mit <math>n/2 \leq p < n-1</math> auch <math>n - p</math> eine Primzahl ist, erfüllt keine Zahl <math>n > 210</math>.<ref>[[Jean-Marc Deshouillers]], [[Andrew Granville]], [[Władysław Narkiewicz]], [[Carl Pomerance]]: ''[http://www.ams.org/journals/mcom/1993-61-203/S0025-5718-1993-1202609-9/home.html An upper bound in Goldbach’s problem.]'' Mathematics of Computation 61, Nr. 203, Juli 1993, S. 209–213 (englisch).</ref>

== Verwandte Resultate ==
* 1920 bewies [[Viggo Brun]], dass jede genügend große gerade Zahl als Summe zweier Zahlen mit maximal neun Primfaktoren darstellbar ist.
* 1930 bewies [[Lew Genrichowitsch Schnirelman]], dass jede natürliche Zahl die Summe von weniger als C Primzahlen ist, wobei C eine Konstante ist, die bei Schnirelman ursprünglich bei 800.000 lag und später auf 20 gedrückt werden konnte.<ref>Juri Linnik: ''Zum achten Hilbertschen Problem.'' In: Pavel S. Alexandrov (Hrsg.): ''Die Hilbertschen Probleme.'' Harri Deutsch, 1998.</ref>
* 1937 bewies [[Iwan Matwejewitsch Winogradow]], dass jede ungerade Zahl, die größer als eine bestimmte Konstante ist, Summe dreier Primzahlen ist (Satz von Winogradow; schwache Goldbachsche Vermutung für den Fall genügend großer Zahlen). Einen anderen Beweis dafür gab 1946 [[Juri Linnik]].
* 1937 bewies [[Nikolai Grigorjewitsch Tschudakow]], dass „fast alle“ geraden Zahlen Summe zweier Primzahlen sind, das heißt, dass die [[asymptotische Dichte]] der so darstellbaren Zahlen in den geraden Zahlen 1 ist.
* 1947 bewies [[Alfréd Rényi]], dass eine Konstante K derart existiert, dass jede gerade Zahl Summe einer Primzahl und einer Zahl mit maximal K Primfaktoren ist.
* 1966 bewies [[Chen Jingrun]], dass jede hinreichend große gerade Zahl Summe einer Primzahl und eines Produkts höchstens zweier Primzahlen ist ([[Satz von Chen]]).<ref>[[Chen Jingrun]]: ''On the representation of a larger even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes.'' Kexue Tongbao 17, 1966, S. 385–386 (chinesisch); Scientia Sinica 16, 1973, S. 157–176 (englisch; [http://www.zentralblatt-math.org/zbmath/search/?q=an%3A0319.10056 Zentralblatt-Rezension]); Scientia Sinica 21, 1978, S. 421–430 (englisch; [http://www.zentralblatt-math.org/zbmath/search/?q=an%3A0382.10033 Zentralblatt-Rezension]).</ref>
* 1995 bewies [[Olivier Ramaré]], dass jede gerade Zahl Summe von höchstens sechs Primzahlen ist.<ref>Olivier Ramaré: ''[http://www.numdam.org/item?id=ASNSP_1995_4_22_4_645_0 On Šnirel’man’s constant.]'' Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa 22, 1995, S. 645–706 (englisch).</ref>
* 2012 bewies [[Terence Tao]], dass jede ungerade Zahl größer als 1 Summe von höchstens fünf Primzahlen ist,<ref>[[Terence Tao]]: ''Every odd number greater than 1 is the sum of at most five primes.'' Mathematics of Computation (englisch; {{arXiv|1201.6656}}).</ref> und verbesserte damit das Resultat von Ramaré.
* 2022 bewiesen [[Will Sawin]] und [[Mark Shusterman]] die Goldbach-Vermutung für [[Funktionenkörper]].<ref>M.Shusterman, W. Sawin: ''On the Chowla and twin primes conjectures over <math>F_q [t]</math>'', Annals of Mathematics, Band 196, 2022, S. 457–506, [https://arxiv.org/abs/1808.04001 Arxiv]</ref>

== Literatur ==
* Wolfgang Blum: ''Goldbach und die Zwillinge.'' In: [[Spektrum der Wissenschaft]] Dossier 6/2009: ''Die größten Rätsel der Mathematik.'' ISBN 978-3-941205-34-5, S. 34–39.
* [[Apostolos Doxiadis]]: ''Onkel Petros und die Goldbachsche Vermutung.'' Lübbe, 2000, ISBN 3-7857-0951-X ([[Belletristik]]).
* [[Andrew Granville]]: ''[http://www.dms.umontreal.ca/~andrew/PDF/GoldbachFinal.pdf Refinements of Goldbach’s conjecture, and the generalized Riemann hypothesis.]'' In: ''Functiones et Approximatio 37.'' 2007, S. 7–21 (englisch; PDF; 180 kB).
* Melvyn B. Nathanson: ''Additive Number Theory. The Classical Bases.'' Springer-Verlag, New York 1996 (englisch).
* Jörg Richstein: ''[http://www.ams.org/journals/mcom/2001-70-236/S0025-5718-00-01290-4/home.html Verifying the Goldbach conjecture up to 4·1014.]'' In: ''Mathematics of Computation 70.'' 2001, S. 1745–1749 (englisch).
* Konstantin Fackeldey: ''[https://page.math.tu-berlin.de/~fackelde/publications/GoldbachFackeldey.pdf Die Goldbachsche Vermutung und ihre bisherigen Lösungsversuche.]'' Freie Universität Berlin, 2002 (PDF; 278 kB).
* Harald Helfgott: ''The ternary Goldbach problem'', [https://publications.mfo.de/handle/mfo/429 Oberwolfach Mathematical Snapshots], 2014
* Yuan Wang: ''The Goldbach conjecture'', 2. Auflage, World Scientific 2003

== Film ==
Der französisch-schweizerischen Film ''[[Die Gleichung ihres Lebens]] (Le théorême de Marguerite)'' aus dem Jahr 2023 handelt von einer Doktorandin der [[École normale supérieure]], die den Beweis der Goldbach-Vermutungen als [[Promotion (Doktor)|Promotion]]sthema hat.<ref>Filmstarts.de, [https://www.filmstarts.de/kritiken/302382.html ''Die Gleichung ihres Lebens''] (abgerufen am 16. April 2024).</ref>

== Weblinks ==
* ''[http://sweet.ua.pt/tos/goldbach.html Goldbach conjecture verification project.]'' Von Tomás Oliveira e Silva.
* ''[http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=GoldbachConjecture Goldbach’s Conjecture.]'' Beschreibung in ''The Prime Glossary.''
* ''[http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?module=tool/number/goldbach.en Goldbach.]'' Rechenprogramm, das eine beliebige gerade Zahl als Summe zweier Primzahlen darstellt.
* ''[https://www.numberphile.com/videos/goldbach-conjecture?rq=Goldbach Goldbach Conjecture - Numberphile.]'' Vorstellung durch [[David Eisenbud]] auf dem Youtube-Kanal ''Numberphile''.
* [https://www.youtube.com/watch?v=x32Zq-XvID4 ''Goldbach Conjecture - Veritasium''] Vorstellung der Vermutung und ihrer Geschichte.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Analytische Zahlentheorie]]
[[Kategorie:Vermutung (Mathematik)]]
[[Kategorie:Primzahl]]

Goldbachsche Vermutung - Versionsgeschichte

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