imported>Mathze: /* Definitionsgleichungen */

2025-06-14T14:57:53Z

Definitionsgleichungen

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[[Datei:First Equation Ever.png|mini|Älteste gedruckte Gleichung (1557), in heutiger Schreibweise „14x + 15 = 71“<ref>[[Robert Recorde]]: ''The Whetstone of Witte.'' London 1557, S. 238.</ref>]]

Unter einer '''Gleichung''' versteht man in der [[Mathematik]] eine [[Aussage (Logik)|Aussage]] über die [[Gleichheit (Mathematik)|Gleichheit]] zweier [[Term]]e, die mit Hilfe des [[Gleichheitszeichen]]s („=“) symbolisiert wird. Formal hat eine Gleichung die Gestalt

:<math>T_1=T_2</math>,

wobei der Term <math>T_1</math> die '''linke Seite''' und der Term <math>T_2</math> die '''rechte Seite''' der Gleichung genannt wird. Gleichungen sind entweder wahr beziehungsweise erfüllt (beispielsweise <math>1 = 1</math>) oder falsch (beispielsweise <math>1 = 2</math>). Wenn zumindest einer der Terme <math>T_1, T_2</math> von [[Variable (Mathematik)|Variablen]] abhängig ist, liegt nur eine [[Aussageform]] vor; ob die Gleichung [[Wahrheitswert|wahr oder falsch]] ist, hängt dann von den konkreten eingesetzten Werten ab. Die Werte der Variablen, für die die Gleichung erfüllt ist, heißen [[Lösung (Mathematik)|Lösungen]] der Gleichung. Liegen zwei oder mehr Gleichungen vor, spricht man auch von einem '''Gleichungssystem'''. Eine Lösung eines Gleichungssystems muss alle Gleichungen gleichzeitig erfüllen.

== Typen von Gleichungen ==
Gleichungen werden in vielen Zusammenhängen verwendet; dementsprechend gibt es verschiedene Möglichkeiten, die Gleichungen nach unterschiedlichen Gesichtspunkten einzuteilen. Die jeweiligen Einteilungen sind zu einem großen Teil unabhängig voneinander, eine Gleichung kann in mehrere dieser Gruppen fallen. So ist es etwa sinnvoll, von einem System linearer partieller Differentialgleichungen zu sprechen.

=== Einteilung nach Gültigkeit ===
==== Identitätsgleichungen ====
{{Hauptartikel|Identitätsgleichung}}

Gleichungen können [[Allgemeingültigkeit|allgemeingültig]] sein, also durch Einsetzen aller Variablenwerte aus einer gegebenen [[Grundmenge]] oder zumindest aus einer vorher definierten [[Teilmenge]] davon wahr sein. Solche Gleichungen werden als '''Identitätsgleichungen''' oder '''Identitäten''' bezeichnet. Die Allgemeingültigkeit kann entweder aus anderen [[Axiom]]en gefolgert werden oder selber als Axiom vorausgesetzt werden.

Beispiele sind:

* Der [[Satz des Pythagoras]]: <math>a^2+b^2=c^2</math> ist wahr für [[Rechtwinkliges Dreieck|rechtwinklige Dreiecke]], falls <math>c</math> die dem [[Rechter Winkel|rechten Winkel]] gegenüberliegende Seite ([[Hypotenuse]]) und <math>a, b</math> die [[Kathete]]n bezeichnen.
* Das [[Assoziativgesetz]]: <math>(a+b)+c=a+(b+c)</math> ist wahr für alle [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] <math>a,b,c</math> und allgemein für beliebige Elemente <math>a, b, c</math> einer [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] (als Axiom).
* Die [[Binomische Formel|erste binomische Formel]]: <math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2</math> ist wahr für alle [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] <math>a,b</math>.
* Die [[eulersche Identität]]: <math>e^{i \varphi} = \cos\left(\varphi \right) + i \sin\left( \varphi\right)</math> ist wahr für alle reellen <math>\varphi</math>.

In diesem Zusammenhang spricht man auch von einem [[Satz (Mathematik)|mathematischen Satz]] oder Gesetz. Zur Unterscheidung von nicht allgemeingültigen Gleichungen wird bei Identitäten statt des Gleichheitszeichens auch das Kongruenzzeichen („≡“) verwendet.

==== Bestimmungsgleichungen ====
Häufig besteht eine Aufgabenstellung darin, alle Variablenbelegungen zu bestimmen, für die die Gleichung wahr wird. Diesen Vorgang bezeichnet man als [[Lösen von Gleichungen|Lösen der Gleichung]]. Zur Unterscheidung von Identitätsgleichungen werden solche Gleichungen als '''Bestimmungsgleichungen''' bezeichnet.<ref>{{Literatur |Autor=Wolfgang Brauch |Titel=Mathematik für Ingenieure / Wolfgang Brauch; Hans-Joachim Dreyer; Wolfhart Haacke. Unter Mitarb. von Wolfgang Gentzsch |Verlag=Teubner |Ort=Wiesbaden |Datum=2006 |ISBN=3-8351-0073-4 |Seiten=40}}</ref> Die Menge der Variablenbelegungen, für die die Gleichung wahr ist, bezeichnet man als ''[[Lösungsmenge]]'' der Gleichung. Wenn es sich bei der Lösungsmenge um die [[leere Menge]] handelt, so bezeichnet man die Gleichung als ''unlösbar'' oder ''unerfüllbar''.

Ob eine Gleichung lösbar ist oder nicht, kann von der betrachteten Grundmenge abhängen, zum Beispiel gilt:

* Die Gleichung <math>x^2=2</math> ist unlösbar als Gleichung über den natürlichen oder den [[Rationale Zahl|rationalen Zahlen]] und besitzt die Lösungsmenge <math>\lbrace \sqrt{2}, - \sqrt{2} \rbrace</math> als Gleichung über den reellen Zahlen.
* Die Gleichung <math>x^2=-2</math> ist unlösbar als Gleichung über den reellen Zahlen und besitzt die Lösungsmenge <math>\lbrace \sqrt{2}i, -\sqrt{2}i \rbrace</math> als Gleichung über den [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]].

Bei Bestimmungsgleichungen treten mitunter Variablen auf, die nicht gesucht sind, sondern als bekannt vorausgesetzt werden. Solche Variablen werden als [[Parameter (Mathematik)|''Parameter'']] bezeichnet. Beispielsweise lautet die Lösungsformel für die [[quadratische Gleichung]]

:<math>x^2+px+q \; = \; 0</math>

bei gesuchter Unbekannte <math>x</math> und gegebenen Parametern <math>p</math> und <math>q</math>

:<math>x_{1,2} \; = \; -\frac{p}{2}\pm \sqrt{\frac{p^2}{4}-q}</math>.

Setzt man eine der beiden Lösungen <math>x_1, x_2</math> in die Gleichung ein, so verwandelt sich die Gleichung in eine Identität, wird also für eine beliebige Wahl von <math>p</math> und <math>q</math> zur wahren Aussage. Für <math>4q \leq p^2</math> sind hier die Lösungen reell, ansonsten komplex.

==== Definitionsgleichungen ====
Gleichungen können auch verwendet werden, um ein neues Symbol zu definieren. In diesem Fall wird das zu definierende Symbol links geschrieben, und das Gleichheitszeichen oft durch das Definitionszeichen („<math>:=</math>“) ersetzt oder über das Gleichheitszeichen „def“ geschrieben.

Zum Beispiel wird die [[Differentialrechnung|Ableitung]] einer [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] <math>f</math> an einer Stelle <math>x_0</math> durch

:<math>f'(x_0) := \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}</math>

definiert. Im Gegensatz zu Identitäten sind Definitionen keine Aussagen; sie sind also weder wahr noch falsch, sondern nur mehr oder weniger zweckmäßig.

=== Einteilung nach rechter Seite ===
==== {{Anker|Homogene Gleichung}} Homogene Gleichungen ====
Eine Bestimmungsgleichung der Form

:<math>T(x) = 0</math>

heißt '''homogene Gleichung'''. Ist <math>T</math> eine [[Funktion (Mathematik)|Funktion]], nennt man die Lösung <math>x</math> auch [[Nullstelle]] der Funktion. Homogene Gleichungen spielen bei der Lösungsstruktur [[Lineares Gleichungssystem|linearer Gleichungssysteme]] und [[Lineare Differentialgleichung|linearer Differentialgleichungen]] eine wichtige Rolle. Ist die rechte Seite einer Gleichung ungleich Null, heißt die Gleichung inhomogen.

==== Fixpunktgleichungen ====
{{Hauptartikel|Fixpunkt (Mathematik)}}

Eine Bestimmungsgleichung der Form

:<math>T(x) = x</math>

heißt Fixpunktgleichung und deren Lösung <math>x</math> nennt man Fixpunkt der Gleichung. Genaueres über die Lösungen solcher Gleichungen sagen [[Fixpunktsatz|Fixpunktsätze]] aus.

==== Eigenwertprobleme ====
{{Hauptartikel|Eigenwertproblem}}

Eine Bestimmungsgleichung der Form

:<math>T(x) = \lambda x</math>

heißt Eigenwertproblem, wobei die Konstante <math>\lambda</math> (der Eigenwert) und die Unbekannte <math>x\neq 0</math> (der Eigenvektor) gemeinsam gesucht werden. Eigenwertprobleme besitzen vielfältige Einsatzbereiche in der linearen Algebra, beispielsweise bei der Analyse und Zerlegung von [[Matrix (Mathematik)|Matrizen]], und in Anwendungsgebieten, beispielsweise der [[Strukturmechanik]] und der [[Quantenmechanik]].

=== Einteilung nach Linearität ===
==== Lineare Gleichungen ====
{{Hauptartikel|Lineare Gleichung|Lineares Gleichungssystem}}

Eine Gleichung heißt [[Linearität (Mathematik)|linear]], wenn sie in die Form

:<math>T\left(x\right) = a</math>

gebracht werden kann, wobei der Term <math>a</math> unabhängig von <math>x</math> ist und der Term <math>T(x)</math> linear in <math>x</math> ist, also

:<math>T\left(\lambda x + \mu y\right) = \lambda T\left( x \right) + \mu T\left( y\right)</math>

für Koeffizienten <math>\lambda, \mu</math> gilt. Sinnvollerweise müssen die passenden Operationen definiert sein, es ist also notwendig, dass <math>T(x)</math> und <math>a</math> aus einem [[Vektorraum]] <math>V</math> sind, und die Lösung <math>x</math> aus dem gleichen oder einem anderen Vektorraum <math>W</math> gesucht wird.

Lineare Gleichungen sind normalerweise wesentlich einfacher zu lösen als nichtlineare. So gilt für lineare Gleichungen das [[Superposition (Mathematik)|Superpositionsprinzip]]: Die allgemeine Lösung einer inhomogenen Gleichung ist die Summe einer Partikulärlösung der inhomogenen Gleichung und der allgemeinen Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung.

Wegen der Linearität ist zumindest <math>x = 0</math> eine Lösung einer homogenen Gleichung. Hat eine homogene Gleichung also eine eindeutige Lösung, so hat auch eine entsprechende inhomogene Gleichung höchstens eine Lösung. Eine verwandte, aber wesentlich tiefer gehende Aussage in der [[Funktionalanalysis]] ist die [[Fredholmsche Alternative]].

==== Nichtlineare Gleichungen ====
Nichtlineare Gleichungen werden oft nach der Art der Nichtlinearität unterschieden. Insbesondere in der [[Mathematikdidaktik|Schulmathematik]] werden die nachfolgenden Grundtypen von nichtlinearen Gleichungen behandelt.<ref>{{Internetquelle |url=http://www.schule-bw.de/unterricht/faecher/mathematik/3material/sek1/algebra/gleich |titel=Hauptseite Gleichungen |werk= |hrsg=Landesbildungsserver Baden-Württemberg |offline=ja |archiv-url=https://web.archive.org/web/20150522220849/http://www.schule-bw.de/unterricht/faecher/mathematik/3material/sek1/algebra/gleich |archiv-datum=2015-05-22 |abruf=2011-03-08}}</ref>

===== Algebraische Gleichungen =====
{{Hauptartikel|Algebraische Gleichung}}

Handelt es sich bei dem Gleichungsterm um ein [[Polynom]], spricht man von einer algebraischen Gleichung. Ist dabei das Polynom mindestens vom [[Polynom|Grad]] zwei, so bezeichnet man die Gleichung als nichtlinear. Beispiele sind allgemeine [[quadratische Gleichung]]en der Form

:<math>ax^2 + bx + c = 0</math>

oder [[kubische Gleichung]]en der Form

:<math>ax^3 + bx^2 + cx + d = 0</math>.

Für Polynomgleichungen bis zum [[Quartische Gleichung|Grad vier]] gibt es allgemeine Lösungsformeln.

===== Bruchgleichungen =====
{{Hauptartikel|Bruchgleichung}}

Enthält eine Gleichung einen [[Bruchrechnung|Bruchterm]], bei dem die Unbekannte zumindest im [[Nenner]] vorkommt, spricht man von einer Bruchgleichung, zum Beispiel

:<math>\frac{x+2}{x^2+3} = \frac{2}{x+1}</math>.

Durch Multiplikation mit dem [[Hauptnenner]], im Beispiel <math>(x^2+3)(x+1)</math>, lassen sich Bruchgleichungen auf algebraische Gleichungen zurückführen. Eine solche Multiplikation ist im Regelfall keine [[Äquivalenzumformung]] und es muss eine Fallunterscheidung vorgenommen werden, im Beispiel ist <math>x=-1</math> nicht im [[Definitionsbereich]] der Bruchgleichung enthalten.

===== Wurzelgleichungen =====
{{Hauptartikel|Wurzelgleichung}}

Bei Wurzelgleichungen steht die Unbekannte mindestens einmal unter einer [[Wurzel (Mathematik)|Wurzel]], beispielsweise

:<math>\sqrt{x} = 1-x</math>

Wurzelgleichungen sind spezielle [[Potenzgleichung]]en mit Exponent <math>\tfrac1n</math>. Wurzelgleichungen lassen sich lösen, indem eine Wurzel isoliert wird und dann die Gleichung mit dem Wurzelexponenten <math>n</math> (im Beispiel ist <math>n=2</math>) [[Potenz (Mathematik)|potenziert]] wird. Dieses Vorgehen wird wiederholt, bis alle Wurzeln eliminiert sind. Potenzieren mit geradzahligem Exponenten stellt keine Äquivalenzumformung dar und daher ist in diesen Fällen bei der Ermittlung der Lösung eine entsprechende Fallunterscheidung vorzunehmen. Im Beispiel führt Quadrieren zu der quadratischen Gleichung <math>x = (1-x)^2</math>, deren negative Lösung nicht im Definitionsbereich der Ausgangsgleichung liegt.

===== Exponentialgleichungen =====
Bei '''Exponentialgleichungen''' steht die Unbekannte mindestens einmal im [[Potenz (Mathematik)|Exponenten]], zum Beispiel:

:<math>2^{3x+2} = 4^{x+1}</math>

Exponentialgleichungen lassen sich durch [[Logarithmus|Logarithmieren]] lösen. Umgekehrt sind [[Logarithmusgleichung]]en - also Gleichungen, bei denen die Unbekannte als [[Logarithmus#Bezeichnungen|Numerus]] (Argument einer Logarithmusfunktion) auftritt - durch [[Antilogarithmus|Exponenzieren]] lösbar.

===== Trigonometrische Gleichungen =====
{{Hauptartikel|Trigonometrische Gleichung}}

Treten die Unbekannten als Argument mindestens einer [[Trigonometrische Funktion|Winkelfunktion]] auf, so spricht man von einer trigonometrischen Gleichung, beispielsweise

:<math>\sin(x) = \cos(x)</math>

Die Lösungen trigonometrischer Gleichungen wiederholen sich im Allgemeinen [[Periodische Funktion|periodisch]], sofern die Lösungsmenge nicht auf ein bestimmtes [[Intervall (Mathematik)|Intervall]], etwa <math>[0, 2\pi)</math>, beschränkt wird. Alternativ können die Lösungen durch eine ganzzahlige Variable <math>k</math> parametrisiert werden. Beispielsweise sind die Lösungen obiger Gleichung gegeben als

:<math>x = \frac{\pi}{4} + \pi k</math>   mit   <math>k \in \mathbb{Z}</math>.

=== Einteilung nach gesuchten Unbekannten ===
==== Algebraische Gleichungen ====
{{Hauptartikel|Algebraische Gleichung}}

Um Gleichungen, bei denen eine reelle Zahl oder ein reeller Vektor gesucht wird, von Gleichungen, bei denen beispielsweise eine Funktion gesucht ist, zu unterscheiden, wird manchmal auch die Bezeichnung algebraische Gleichung verwendet, wobei diese Bezeichnung dann aber nicht auf [[Polynom]]e eingeschränkt ist. Diese Sprechweise ist jedoch umstritten.

==== Diophantische Gleichungen ====
{{Hauptartikel|Diophantische Gleichung}}

Sucht man ganzzahlige Lösungen einer skalaren Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten, so spricht man von einer Diophantischen Gleichung. Ein Beispiel einer kubischen Diophantischen Gleichung ist

:<math>2x^3 - x^2 - 8x = -4</math>,

von der ganzzahlige <math>x \in \mathbb{Z}</math> gesucht werden, die die Gleichung erfüllen, hier die Zahlen <math>x=\pm 2</math>.

==== Differenzengleichungen ====
{{Hauptartikel|Differenzengleichung}}

Ist die Unbekannte eine [[Folge (Mathematik)|Folge]], so spricht man von einer Differenzengleichung. Ein bekanntes Beispiel einer [[Lineare Differenzengleichung|linearen Differenzengleichung]] zweiter Ordnung ist

:<math>x_n - x_{n-1} - x_{n-2} = 0</math>,

deren Lösung für Startwerte <math>x_0 = 0</math> und <math>x_1 = 1</math> die [[Fibonacci-Folge]] <math>1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots</math> ist.

==== Funktionalgleichungen ====
{{Hauptartikel|Funktionalgleichung}}

Ist die Unbekannte der Gleichung eine Funktion, die ohne Ableitungen auftritt, so spricht man von einer [[Funktionalgleichung]]. Ein Beispiel für eine Funktionalgleichung ist

:<math>f(x+y) = f(x)f(y)</math>,

deren Lösungen gerade die [[Exponentialfunktion]]en <math>f(x) = a^x</math> sind.

==== Differentialgleichungen ====
{{Hauptartikel|Differentialgleichung}}

Wird in der Gleichung eine Funktion gesucht, die mit Ableitungen auftritt, so spricht man von einer Differentialgleichung. Differentialgleichungen treten bei der Modellierung von naturwissenschaftlichen Problemen sehr häufig auf. Die höchste auftretende Ableitung wird dabei Ordnung der Differentialgleichung genannt. Man unterscheidet:

* [[gewöhnliche Differentialgleichung]]en, bei denen nur Ableitungen nach einer einzigen Variablen auftreten, zum Beispiel die [[lineare gewöhnliche Differentialgleichung]] erster Ordnung

::<math>f'(x) + x f(x) = 0</math>

* [[partielle Differentialgleichung]]en, bei denen partielle Ableitungen nach mehreren Variablen auftreten, zum Beispiel die lineare Transportgleichung erster Ordnung

::<math> \frac{\partial f(x,t)}{\partial t} + \frac{\partial f(x,t)}{\partial x} = 0</math>

* [[differential-algebraische Gleichung]]en, bei denen sowohl algebraische Gleichungen als auch Differentialgleichungen gemeinsam auftreten, beispielsweise die [[Euler-Lagrange-Gleichung]]en für ein [[mathematisches Pendel]]
::<math>\begin{align} \ddot{x}_1 & = 2 x_1 \lambda \\ \ddot{x}_2 & = 2 x_2 \lambda - 1 \\ 0 & = x_1^2 + x_2^2 - 1 \end{align}</math>

* [[stochastische Differentialgleichung]]en, bei denen neben deterministischen auch stochastische Ableitungsterme vorkommen, beispielsweise die [[Black-Scholes-Modell|Black-Scholes-Gleichung]] der [[Finanzmathematik]] zur Modellierung von [[Wertpapier]]kursen

::<math> {\rm d}S_t = r S_t {\rm d}t + \sigma S_t {\rm d}W_t</math>

==== Integralgleichungen ====
{{Hauptartikel|Integralgleichung}}

Tritt die gesuchte Funktion in einem Integral auf, so spricht man von einer Integralgleichung. Ein Beispiel einer linearen [[Integralgleichung 1. Art]] ist

:<math>\int_0^x (x-t) f(t)~\mathrm{d}t = x^3</math>.

== Gleichungsketten ==
Befinden sich in einer Zeile mehrere Gleichheitszeichen, so spricht man von einer '''Gleichungskette'''. In einer Gleichungskette sollen alle durch Gleichheitszeichen getrennten Ausdrücke vom Wert her gleich sein. Dabei ist jeder dieser Ausdrücke separat zu betrachten. Beispielsweise ist die Gleichungskette

:<math>17+3 = 20/2 = 10+7 = 17</math>

falsch, weil sie in Einzelgleichungen zerlegt zu falschen Aussagen führt. Wahr ist dagegen zum Beispiel

:<math>17+3 = 40/2 = 10+10 = 20</math>.

Gleichungsketten sind insbesondere wegen der [[Transitive Relation|Transitivität]] der Gleichheitsrelation sinnvoll interpretierbar. Gleichungsketten treten oft auch gemeinsam mit [[Ungleichung]]en in [[Abschätzung]]en auf, so gilt beispielsweise für <math>n\ge 3</math>

:<math>2n^2 = n^2+n^2 \ge n^2+3n > n^2+2n+1 = (n+1)^2</math>.

== Gleichungssysteme ==
Oft werden mehrere Gleichungen, die gleichzeitig erfüllt sein müssen, betrachtet und dabei mehrere Unbekannte gleichzeitig gesucht.

=== Lineare Gleichungssysteme ===
{{Hauptartikel|Lineares Gleichungssystem}}

Ein Gleichungssystem – also eine Menge von Gleichungen – heißt ''lineares Gleichungssystem'', wenn alle Gleichungen [[Lineare Gleichung|linear]] sind. Beispielsweise ist

:<math>\begin{align} x+y+z &= 5 \\ 2x-z &= 13 \end{align}</math>

ein lineares Gleichungssystem, bestehend aus zwei Gleichungen und drei Unbekannten <math>x,y</math> und <math>z</math>. Fasst man die Koeffizienten zu einer Matrix <math>A</math> („Koeffizientenmatrix“)'','' die Unbekannten zu einem Vektor <math>\vec x</math> und die Zahlen der rechten Seiten zu einem Vektor <math>\vec b</math> („rechte Seite“) zusammen'','' so lässt sich ein Gleichungssystem auch als eine einzelne Vektorgleichung

:<math> A \cdot \vec{x} = \vec{b}</math>

auffassen, wobei <math>(\cdot)</math> das [[Matrix-Vektor-Produkt]] ist. In obigem Beispiel sind

:<math>A = \begin{pmatrix}1&1&1 \\ 2&0&-1\end{pmatrix}</math>,   <math>\vec{x} = \begin{pmatrix}x \\ y\\z\end{pmatrix}</math>   und   <math>\vec{b} = \begin{pmatrix}5\\ 13\end{pmatrix}</math>.
Die [[lineare Algebra]] stellt effiziente Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen bereit.

=== Nichtlineare Gleichungssysteme ===
Gleichungssysteme, deren Gleichungen nicht alle linear sind, werden ''nichtlineare Gleichungssysteme'' genannt. Beispielsweise ist
:<math>\left\{\begin{array}{rcl} 3x^2 + 2xy &=& 1 \\ \sin(x) \cdot \ln(y) &=& e^x \end{array}\right.</math>

ein nichtlineares Gleichungssystem mit den Unbekannten <math>x</math> und <math>y</math>. Für solche Gleichungssysteme gibt es keine allgemeingültigen Lösungsstrategien. Oftmals hat man nur die Möglichkeit, näherungsweise Lösungen mit Hilfe [[Numerik|numerischer]] Verfahren zu bestimmen. Ein mächtiges Näherungsverfahren ist beispielsweise das [[Newton-Verfahren]].

Eine Faustregel besagt, dass gleich viele Gleichungen wie Unbekannte benötigt werden, damit ein Gleichungssystem eindeutig lösbar ist. Das ist aber tatsächlich nur eine Faustregel, bis zu einem gewissen Grad gilt sie wegen des [[Satz von der impliziten Funktion|Hauptsatzes über implizite Funktionen]] für reelle Gleichungen mit reellen Unbekannten.

== Lösen von Gleichungen ==
{{Hauptartikel|Lösen von Gleichungen}}

=== Analytische Lösung ===
Unter einer analytischen Lösung versteht man eine allgemeine Umformung einer Gleichung, sodass die gesuchte Variable alleine auf einer Gleichungsseite steht und die [[Lösung (Mathematik)|Lösung]] exakt ermittelt werden kann.<ref name=":0">{{Internetquelle |autor=Michaela Gruber |url=https://moodle.haw-landshut.de/pluginfile.php/99257/mod_resource/content/0/Skript_Lektion1.pdf |titel=Ingenieurmathematik I |hrsg=Hochschule Landshut |datum=2017-01-10 |archiv-url=https://web.archive.org/web/20240613142004/https://moodle.haw-landshut.de/pluginfile.php/99257/mod_resource/content/0/Skript_Lektion1.pdf |archiv-datum=2024-06-13 |abruf=2023-02-01 |offline=ja}}</ref> Wichtigstes Hilfsmittel dabei sind [[Äquivalenzumformung]]en, durch die eine Gleichung schrittweise in andere äquivalente Gleichungen (die also dieselbe Lösungsmenge haben) umgeformt wird.<ref>{{Internetquelle |url=http://www.mathematik.net/gleichungen/gl1s15.htm |titel=Gleichungen |werk=Mathematik.net |abruf=2023-02-01}}</ref> Eine analytische Lösung ist nur bei speziellen Gleichungen möglich.<ref name=":0" />

=== Numerische Lösung ===
Viele Gleichungen, insbesondere aus naturwissenschaftlichen Anwendungen, können nicht analytisch gelöst werden. In diesem Fall versucht man, am Computer eine näherungsweise numerische Lösung zu berechnen. Solche Verfahren werden in der [[Numerische Mathematik|numerischen Mathematik]] behandelt. Viele nichtlineare Gleichungen lassen sich approximativ lösen, indem die in der Gleichung auftretenden Nichtlinearitäten linear angenähert werden, und dann die entstehenden linearen Probleme gelöst werden (beispielsweise im [[Newton-Verfahren]]). Für andere Problemklassen, etwa bei der Lösung von Gleichungen in unendlich-dimensionalen Räumen, wird die Lösung in geeignet gewählten endlich-dimensionalen Unterräumen gesucht (beispielsweise in der [[Galerkin-Methode]]).

=== Qualitative Analyse ===
Auch wenn eine Gleichung nicht analytisch gelöst werden kann, ist es dennoch oft möglich, mathematische Aussagen über die Lösung zu treffen. Insbesondere interessieren Fragestellungen, ob eine Lösung überhaupt existiert, ob sie eindeutig ist, und ob sie stetig von den Parametern der Gleichung abhängt. Ist dies der Fall spricht man von einem [[Korrekt gestelltes Problem|korrekt gestellten Problem]]. Eine qualitative Analyse ist auch bzw. gerade bei der numerischen Lösung einer Gleichung wichtig, damit sichergestellt ist, dass die numerische Lösung tatsächlich eine Näherungslösung der Gleichung liefert.

== Siehe auch ==
* [[Reaktionsgleichung]]
* [[Gleichungsarten ökonomischer Modelle]]
* [[Zahlenwertgleichung#Zugeschnittene Größengleichung|Zugeschnittene Größengleichung]]

== Weblinks ==
{{Wiktionary}}
{{Commonscat|Equations}}
* {{Internetquelle |url=https://eqworld.ipmnet.ru/ |titel=The World of mathematical equations |werk=eqworld.ipmnet.ru |sprache=en |abruf=2005-10-10 |abruf-verborgen=ja}}
* {{EoM|Titel=Equation|Autor=|Url=https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Equation}}
* {{PlanetMath|title=Equation|id=Equation|author=J. Pahikkala}}
* {{MathWorld|title=Equation|id=Equation}}
* {{Internetquelle |autor=Melissa Hogenboom |url=http://www.bbc.com/earth/story/20160120-you-decide-what-is-the-most-beautiful-equation-ever-written |titel=The 12 most beautiful equations |werk=bbc.com |sprache=en |offline=ja |archiv-url=https://web.archive.org/web/20210723053023/http://www.bbc.com/earth/story/20160120-you-decide-what-is-the-most-beautiful-equation-ever-written |archiv-datum=2021-07-23 |abruf=2022-02-28 |abruf-verborgen=ja}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Mathematischer Grundbegriff]]

Gleichung - Versionsgeschichte

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