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{{Weiterleitungshinweis|Ganzzahl|Für die Darstellung ganzzahliger Werte in Digitalrechnern siehe [[Integer (Datentyp)]].}}

{{Zeichen|ℤ|Der [[Buchstabe mit Doppelstrich|Buchstabe Z mit Doppelstrich]]<br /> steht für die Menge der ''ganzen Zahlen''}}
[[Datei:Number-systems.svg|mini|Die ganzen Zahlen (ℤ) sind Teil der [[Rationale Zahl|rationalen Zahlen]] (ℚ), die wiederum Teil der [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] (ℝ) sind. Sie selber beinhalten die [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] (ℕ).]]

Die '''ganzen Zahlen''' (auch ''Ganzzahlen'', {{laS|numeri integri}}) sind eine [[Zahlbereichserweiterung|Erweiterung]] der [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]].

Die ganzen Zahlen umfassen alle Zahlen

: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

und enthalten damit alle natürlichen Zahlen <math>\N_0</math> sowie deren [[Positive und negative Zahlen|additive Inverse]]. Die [[Menge (Mathematik)|Menge]] der ganzen Zahlen wird meist mit dem [[Buchstabe mit Doppelstrich|Buchstaben mit Doppelstrich]] <math>\Z</math> bezeichnet (das „Z“ steht für das deutsche Wort „Zahlen“<ref>{{Internetquelle |autor=Jeff Miller |url=https://jeff560.tripod.com/nth.html |titel=Earliest Uses of Symbols of Number Theory |datum=2010-08-29 |abruf=2010-09-20}}</ref>). Das alternative Symbol <math>\mathbf{Z}</math> ist mittlerweile weniger verbreitet; ein Nachteil dieses Fettdruck-Symbols ist die schwierige handschriftliche Darstellbarkeit. Der [[Unicode]] des Zeichens lautet U+2124 und hat die Gestalt ℤ.

Die obige Aufzählung der ganzen Zahlen gibt auch gleichzeitig in aufsteigender Folge deren natürliche Anordnung wieder. Die [[Zahlentheorie]] ist der Zweig der [[Mathematik]], der sich mit Eigenschaften der ganzen Zahlen beschäftigt.

Die Repräsentation ganzer Zahlen im Computer erfolgt üblicherweise durch den Datentyp [[Integer (Datentyp)|Integer]].

Die ganzen Zahlen werden im Mathematikunterricht üblicherweise in der fünften bis siebten Klasse eingeführt.

== Eigenschaften ==

=== Ring ===

Die ganzen Zahlen bilden einen [[Ring (Algebra)|Ring]] bezüglich der [[Addition]] und der [[Multiplikation]], d. h., sie können ohne Einschränkung addiert, [[Subtraktion|subtrahiert]] und multipliziert werden. Dabei gelten Rechenregeln wie das [[Kommutativgesetz]] und das [[Assoziativgesetz]] für Addition und Multiplikation, außerdem gelten die [[Distributivgesetz]]e.

Durch die Existenz der Subtraktion können [[lineare Gleichung]]en der Form
: <math>a + x = b</math>
mit natürlichen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> stets gelöst werden: <math>x = b - a</math>. Beschränkt man <math>x</math> auf die Menge der natürlichen Zahlen, dann ist nicht jede solche Gleichung lösbar.

[[Abstrakte Algebra|Abstrakt]] ausgedrückt heißt das, die ganzen Zahlen bilden einen ''kommutativen unitären Ring''. Das [[Neutrales Element|neutrale Element]] der Addition ist 0, das additiv [[Inverses Element|inverse Element]] von <math>n</math> ist <math>-n</math>, das neutrale Element der Multiplikation ist 1.

=== Anordnung ===

Die Menge der ganzen Zahlen ist [[Ordnungsrelation|total geordnet]], in der Reihenfolge
: <math>\cdots < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < \cdots</math> .
D. h., man kann je zwei ganze Zahlen vergleichen. Man spricht von
{|
|-
|''positiven'' <math>\{1, 2, 3, \ldots\} </math> || <math> [= \N] </math>, ||     || ''nichtnegativen'' <math>\{0, 1, 2, 3, \ldots\} </math> || <math> [= \N_0] </math>,
|-
|''negativen'' <math>\{\ldots, -2, -1\} </math> || <math> [= -\N] </math> und || || ''nichtpositiven'' <math>\{\ldots, -2, -1, 0\} </math> || <math> [= -\N_0] </math>
|}
ganzen Zahlen. Die Zahl 0 selbst ist weder positiv noch negativ. Diese Ordnung ist ''verträglich'' mit den Rechenoperationen, d. h.:
: Ist <math>a < b</math> und <math>c \leq d</math>, dann ist <math>a + c < b + d</math>.
: Ist <math>a < b</math> und <math>0 < c</math>, dann ist <math>ac < bc</math>.

Mithilfe der Anordnung lassen sich die [[Vorzeichenfunktion]]
: <math> \sgn(x) := \begin{cases}
-1 & \text{falls } \quad x < 0 \\
~~\, 0 & \text{falls } \quad x = 0 \\
~~\, 1 & \text{falls } \quad x > 0 \end{cases}</math>
und die [[Betragsfunktion]]
: <math> |x| = \operatorname{abs}(x) :=
\begin{cases}
~~\, x & \text{falls } \quad x \ge 0\\
-x & \text{falls } \quad x < 0
\end{cases}
</math>
definieren. Sie hängen wie folgt
: <math>x = \sgn(x)\,|x|</math>
zusammen.

=== Mächtigkeit ===
Wie die Menge der natürlichen Zahlen ist auch die Menge der ganzen Zahlen [[Abzählbare Menge|abzählbar]].

Die ganzen Zahlen bilden keinen [[Körper (Algebra)|Körper]], denn z. B. ist die Gleichung <math>2x = 1</math> nicht in <math>\Z</math> lösbar. Der kleinste Körper, der <math>\Z</math> enthält, sind die [[Rationale Zahlen|rationalen Zahlen]] <math>\mathbb Q</math>.

=== Euklidischer Ring ===
Eine wichtige Eigenschaft der ganzen Zahlen ist die Existenz einer [[Division mit Rest]]. Aufgrund dieser Eigenschaft gibt es für zwei ganze Zahlen stets einen [[Größter gemeinsamer Teiler|größten gemeinsamen Teiler]], den man mit dem [[Euklidischer Algorithmus|Euklidischen Algorithmus]] bestimmen kann. In der Mathematik wird <math>\Z</math> als ''[[euklidischer Ring]]'' bezeichnet. Hieraus folgt auch der [[Fundamentalsatz der Arithmetik|Satz]] von der eindeutigen [[Primfaktorzerlegung]] in <math>\Z</math>.

== Konstruktion aus den natürlichen Zahlen ==
Ist die Menge der natürlichen Zahlen gegeben, dann lassen sich die ganzen Zahlen daraus als [[Zahlbereichserweiterung]] konstruieren:

Auf der Menge <math>\N_0 \times \N_0</math> aller [[Geordnetes Paar|Paare]] natürlicher Zahlen wird folgende [[Äquivalenzrelation]] definiert:
: <math>(a, b) \sim (c, d)</math>, falls <math>a + d = c + b</math>
Die Addition und Multiplikation auf <math>\N_0 \times \N_0 </math> wird definiert durch:
: <math>\begin{align}
(a, b) + (c, d) &= (a + c, b + d)\\
(a, b) \cdot (c, d) &= (ac + bd, ad + bc)
\end{align}</math>

<math>\Z = \N_0 \times \N_0 \,/\! \sim</math> ist nun die Menge aller [[Äquivalenzklasse]]n.

Die Addition und Multiplikation der Paare induzieren nun wohldefinierte [[Zweistellige Verknüpfung|Verknüpfungen]] auf <math>\Z</math>, mit denen <math>\Z</math> zu einem Ring wird.

Die übliche Ordnung der ganzen Zahlen ist definiert als
: <math>(a, b) < (c, d)</math> falls <math>a + d < c + b</math>.

Jede Äquivalenzklasse <math>(a, b)</math> hat im Fall <math>a\geq b</math> einen eindeutigen Repräsentanten der Form <math>(n,0)</math>, wobei <math>n=a-b</math>, und im Fall <math>a<b</math> einen eindeutigen Repräsentanten der Form <math>(0,n)</math>, wobei <math>n=b-a</math>.

Die natürlichen Zahlen lassen sich in den Ring der ganzen Zahlen [[Einbettung (Mathematik)|einbetten]], indem die natürliche Zahl <math>n</math> auf die durch <math>(n,0)</math> repräsentierte Äquivalenzklasse abgebildet wird. Üblicherweise werden die natürlichen Zahlen mit ihren Bildern <math>(n,0)</math> identifiziert und die durch <math>(0,n)</math> repräsentierte Äquivalenzklasse wird mit <math>-n</math> bezeichnet.

Ist <math>n</math> eine von <math>0</math> verschiedene natürliche Zahl, so wird die durch <math>(n,0)</math> repräsentierte Äquivalenzklasse als ''positive'' ganze Zahl und die durch <math>(0,n)</math> repräsentierte Äquivalenzklasse als ''negative'' ganze Zahl bezeichnet.

Diese Konstruktion der ganzen Zahlen aus den natürlichen Zahlen funktioniert auch dann, wenn statt <math>\N_0</math> die Menge <math>\N</math>, also ohne <math>0</math>, als Ausgangsmenge genommen wird. Dann ist die natürliche Zahl <math>n</math> in der Äquivalenzklasse von <math>(n+1,\ 1)</math> und die <math>0</math> in der von {{nowrap|<math>(1,\ 1)</math>.}}

== Verwandte Themen ==
* Eine ähnliche Konstruktion wie die Konstruktion der ganzen Zahlen aus den natürlichen Zahlen ist allgemein für [[Kommutativgesetz|kommutative]] Halbgruppen möglich. In diesem Sinn ist <math>\Z</math> die [[Grothendieck-Gruppe]] von <math>\N</math>.
* Die [[Gaußsche Zahl|gaußschen Zahlen]] und die [[Eisenstein-Zahl]]en sind zwei verschiedene Erweiterungen der ganzen Zahlen zu Mengen komplexer Zahlen.
* Die [[proendliche Vervollständigung]] der Gruppe <math>\Z</math> der ganzen Zahlen wird gebildet als (projektiver oder) [[inverser Limes]] aller endlichen [[Faktorgruppe]]n von <math>\Z</math> und stellt die Gesamtheit der ''[[Proendliche Zahl|proendlichen ganzen Zahlen]]'' dar. Sie ist unter dem Symbol <math>\widehat{\Z}</math> bekannt.

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Mathematrix: Kompass/ Zahlendarstellungen Mengentheorie und Aussagenlogik/ Zahlenmengen|<math>{\color{BlueViolet}\begin{smallmatrix}{\mathbf{MATHE} \mu \alpha T\mathbb R ix}\end{smallmatrix} }</math> Mathematik für die Schule |suffix=Zahlenmengen}}
{{Wiktionary|ganze Zahl}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4134668-3}}

[[Kategorie:Ganze Zahl| ]]

Ganze Zahl - Versionsgeschichte

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