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[[Datei:Mandelbrot 20210411 007.png|mini|Berühmtes Fraktal:<br />die [[Mandelbrot-Menge]] (sogenanntes „Apfelmännchen“)]]

'''Fraktal''' ist ein vom Mathematiker [[Benoît Mandelbrot]] 1975 geprägter Begriff ({{laS|''fractus''}} ‚gebrochen‘, von {{laS|''frangere''}}‚ (in Stücke zer-)‚brechen‘), der bestimmte natürliche oder künstliche Gebilde oder geometrische [[Muster (Struktur)|Muster]] bezeichnet.

Diese Gebilde oder Muster besitzen im Allgemeinen keine ganzzahlige [[Hausdorff-Dimension]], sondern eine gebrochene – daher der Name – und weisen zudem einen hohen Grad von [[Skaleninvarianz]] bzw. [[Selbstähnlichkeit]] auf. Das ist beispielsweise der Fall, wenn ein Objekt aus mehreren verkleinerten Kopien seiner selbst besteht. Geometrische Objekte dieser Art unterscheiden sich in wesentlichen Aspekten von gewöhnlichen glatten Figuren.

== Begriff und Umfeld ==
Der Begriff Fraktal kann sowohl [[substantiv]]isch als auch [[adjektiv]]isch verwendet werden. Das Gebiet der [[Mathematik]], in dem Fraktale und ihre Gesetzmäßigkeiten untersucht werden, heißt ''fraktale Geometrie'' und ragt in mehrere andere Bereiche hinein, wie [[Funktionentheorie]], [[Berechenbarkeitstheorie]] und [[Dynamisches System|dynamische Systeme]]. Wie der Name schon andeutet, wird der klassische Begriff der [[Euklidische Geometrie|euklidischen Geometrie]] erweitert, was sich auch in den gebrochenen und nicht [[Natürliche Zahl|natürlichen]] [[Fraktale Dimension|Dimensionen]] vieler Fraktale widerspiegelt. Neben Mandelbrot gehören [[Wacław Sierpiński]] und [[Gaston Maurice Julia]] zu den namensgebenden Mathematikern.

== Beispiele ==
[[File:Julia-Menge -0.4+0.6i.png|mini|[[Julia-Menge]] für das [[Quadratisches Polynom|quadratische]] [[Polynom]] f(z) = z² −0,4 + 0,6''i'' in der [[Zweidimensional|zweidimensionalen]] [[Komplexe Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]]]]
[[Datei:Hilbert curve!.gif|mini|Hilbert-[[Polygon]]e in 7 [[Iteration]]en, dazu die [[Hilbert-Kurve]]]]
[[Datei:Bottrop (DE), Tetraeder -- 2022 -- 0402X.jpg|mini|Sierpinski-Pyramide als Lichtinstallation ''Fraktal'' am [[Tetraeder (Bottrop)|Tetraeder]] in Bottrop]]
Die bekanntesten Fraktale sind in der gewöhnlichen [[Zweidimensional|zweidimensionalen]] [[Euklidische Ebene|euklidischen Ebene]] oder im [[Dreidimensional|dreidimensionalen]] [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] definiert. Zu den bekanntesten Fraktalen gehören:
* Die [[Mandelbrot-Menge]] ist als Teilmenge der [[Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]] definiert.
* Die [[Julia-Menge]]n sind verschiedenartige Mengen, die ebenfalls als Teilmenge der [[Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]] definiert sind.
* Die Schneeflockenkurve ([[Koch-Kurve]]) ist ein einfaches [[Zweidimensional|zweidimensionales]] Fraktal mit einfacheren und sehr interessanten Eigenschaften, das meistens anhand seiner Begrenzungslinie und einfachen [[Iteration]]sschritten definiert wird. In seiner vollständigen Variante ist es [[spiegelsymmetrisch]], [[Punktsymmetrie|punktsymmetrisch]] und 6-zählig [[Symmetrie (Geometrie)|drehsymmetrisch]].
* Die [[Hilbert-Kurve]] ist eine [[Spiegelsymmetrisch|spiegelsymmetrische]] und [[raumfüllende Kurve]] in der zweidimensionalen [[Ebene (Mathematik)|Ebene]]. Sie lässt sich problemlos auf höhere [[Dimension (Mathematik)|Dimensionen]] verallgemeinern.
* Die [[Peano-Kurve]] ist eine [[Punktsymmetrie|punktsymmetrische]] und [[raumfüllende Kurve]] in der zweidimensionalen [[Ebene (Mathematik)|Ebene]]. Sie lässt sich problemlos auf höhere [[Dimension (Mathematik)|Dimensionen]] verallgemeinern.
* Das [[Sierpinski-Dreieck]] wird mithilfe von [[Selbstähnlichkeit|selbstähnlichen]] [[Dreieck]]en in der [[Zweidimensional|zweidimensionalen]] [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] definiert, die [[Gleichseitiges Dreieck|gleichseitige Dreiecke]] oder auch allgemeine Dreiecke sein können. Die [[Dreidimensional|dreidimensionale]] Variante ist das [[Sierpinski-Tetraeder]]. Wenig überraschend sind auch Verallgemeinerungen des Sierpinski-Dreiecks auf höhere [[Dimension (Mathematik)|Dimensionen]] möglich. Sie werden ''Sierpinski-[[Simplex (Mathematik)|Simplexe]]'' genannt.
* Ein weiteres Beispiel eines Dreiecksfraktals findet sich im Artikel [[Goldener Schnitt#Dreiecksfraktal|Goldener Schnitt]].

* Wegen ihrer angeblich höchst seltsamen Eigenschaften wurden fraktale [[Kurve (Mathematik)|Kurven]] früher auch ''[[Monsterkurve]]n'' genannt.

[[Datei:SierpinskiTriangle.svg|mini|[[Sierpinski-Dreieck]] in der 7. [[Iteration]]sstufe]]
[[Datei:Pythagoras baum Filled.png|mini|[[Pythagoras-Baum]]]]
[[Datei:Menger-Schwamm-einfarbig.jpg|mini|[[Menger-Schwamm]] nach der 4. Iterationsstufe]]

Die einfachsten Beispiele für [[Selbstähnlichkeit|selbstähnliche]] Objekte sind Strecken, [[Parallelogramm]]e (zum Beispiel [[Quadrat]]e) und [[Würfel (Geometrie)|Würfel]], denn sie können durch zu ihren Seiten parallele Schnitte in verkleinerte Kopien ihrer selbst zerlegt werden. Diese sind jedoch keine Fraktale, weil ihre [[Fraktale Dimension#Ähnlichkeits-Dimension|Ähnlichkeits-Dimension]] und ihre [[Lebesguesche Überdeckungsdimension|Lebesgue’sche Überdeckungsdimension]] übereinstimmen.

Die [[Selbstähnlichkeit]] muss nicht perfekt sein, wie die erfolgreiche Anwendung der Methoden der fraktalen [[Geometrie]] auf natürliche Gebilde wie Bäume, Wolken, Küstenlinien usw. zeigt. Die genannten Objekte sind in mehr oder weniger starkem Maß selbstähnlich strukturiert, denn ein Baumzweig sieht ungefähr so aus wie ein verkleinerter Baum, die [[Ähnlichkeit (Geometrie)|Ähnlichkeit]] ist jedoch nicht streng, sondern [[Stochastik|stochastisch]]. Im Gegensatz zu Formen der [[Euklidische Geometrie|euklidischen Geometrie]], die bei einer Vergrößerung oft flacher und damit einfacher werden, z. B. ein Kreis, können bei Fraktalen immer komplexere und neue Details auftauchen.

Fraktale Muster werden oft durch [[Rekursion|rekursive]] Operationen erzeugt. Auch einfache Erzeugungsregeln ergeben nach wenigen Rekursionsschritten schon komplexe Muster.

Dies ist zum Beispiel am [[Pythagoras-Baum]] zu sehen. Ein solcher Baum ist ein Fraktal, welches aus [[Quadrat (Geometrie)|Quadraten]] aufgebaut ist, die so angeordnet sind wie im [[Satz des Pythagoras]] definiert.

Ein weiteres Fraktal ist das [[Newton-Fraktal]], erzeugt über das zur [[Nullstelle]]nberechnung verwendete [[Newton-Verfahren]].

Beispiele für Fraktale im [[Dreidimensionaler Raum|dreidimensionalen Raum]] sind der [[Menger-Schwamm]] und die [[Sierpinski-Pyramide]] auf Basis des Tetraeders (so wie das [[Sierpinski-Dreieck]] auf dem gleichseitigen Dreieck basiert). Entsprechend lassen sich auch in höheren Dimensionen Fraktale nach Sierpinski bilden – bspw. basierend auf dem [[Pentachoron]] im vierdimensionalen Raum.

== Fraktale Dimension und Selbstähnlichkeit ==
[[Datei:Mandel zoom 14 satellite julia island.jpg|mini|Ein kleiner Ausschnitt vom Rand der [[Mandelbrotmenge]]. Hier zeigt sie Ähnlichkeit mit einer [[Julia-Menge]].]]

In der Mathematik ist die [[fraktale Dimension]] einer Menge eine Verallgemeinerung des [[Dimension (Mathematik)|Dimensionsbegriffs]] von geometrischen Objekten wie [[Kurve (Mathematik)|Kurven]] (eindimensional) und [[Fläche (Mathematik)|Flächen]] ([[zweidimensional]]), insbesondere bei Fraktalen. Das Besondere ist, dass die fraktale Dimension keine [[ganze Zahl]] sein muss. Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten, eine fraktale Dimension zu definieren.

In der traditionellen [[Geometrie]] ist eine Linie eindimensional, eine Fläche [[zweidimensional]] und ein räumliches Gebilde [[dreidimensional]]. Für die ''fraktalen Mengen'' lässt sich die [[Dimensionalität]] nicht unmittelbar angeben: Führt man beispielsweise eine Rechenoperation für ein fraktales Linienmuster tausende von Malen fort, so füllt sich mit der Zeit die gesamte Zeichenfläche (etwa der [[Bildschirm]] des [[Computer]]s) mit Linien, und das eindimensionale Gebilde nähert sich einem zweidimensionalen.

Mandelbrot benutzte den Begriff der verallgemeinerten [[Dimension (Mathematik)|Dimension]] nach [[Felix Hausdorff|Hausdorff]] und stellte fest, dass fraktale Gebilde meist eine nicht-ganzzahlige Dimension aufweisen. Sie wird auch als [[fraktale Dimension]] bezeichnet. Daher führte er folgende Definition ein:

* Ein Fraktal ist eine [[Menge (Mathematik)|Menge]], deren [[Hausdorff-Dimension]] größer ist als ihre [[Lebesgue’sche Überdeckungsdimension]].

Jede Menge mit nicht-ganzzahliger Dimension ist also ein Fraktal. Die Umkehrung gilt nicht, Fraktale können auch ganzzahlige [[Dimension (Mathematik)|Dimension]] besitzen, beispielsweise das [[Sierpinski-Tetraeder]].

Besteht ein Fraktal aus einer bestimmten Anzahl von verkleinerten Kopien seiner selbst und ist dieser Verkleinerungsfaktor für alle Kopien derselbe, so verwendet man die [[Fraktale Dimension#Ähnlichkeits-Dimension|Ähnlichkeits-Dimension]] <math>D</math>, die in solchen einfachen Fällen mit der [[Hausdorff-Dimension]] übereinstimmt.

:<math> D = \frac{\log(\text{Anzahl selbstähnlicher Teile})}
{\log(\text{Verkleinerungsfaktor})} </math>

Die [[Selbstähnlichkeit]] kann aber auch nur im statistischen Sinn bestehen. Man spricht dann von Zufallsfraktalen.

Selbstähnlichkeit, eventuell im statistischen Sinn, und zugehörige fraktale Dimensionen charakterisieren also ein fraktales System bzw. bei Wachstumsprozessen sogenanntes ''fraktales Wachstum'', z. B. [[diffusionsbegrenztes Wachstum]].

Ein Beispiel für ein [[Selbstähnlichkeit|selbstähnliches]] Fraktal ist das [[Sierpinski-Dreieck]], welches aus drei auf die halbe Seitenlänge verkleinerten Kopien seiner selbst aufgebaut ist. Es hat somit die [[Fraktale Dimension#Ähnlichkeits-Dimension|Ähnlichkeits-Dimension]] <math> \tfrac{\log 3}{\log 2}\approx 1{,}585</math>, während die Lebesgue’sche Überdeckungsdimension gleich 1 ist. Die [[Fraktale Dimension#Ähnlichkeits-Dimension|Ähnlichkeits-Dimension]] ist ein Beispiel für die Definition einer [[Fraktale Dimension|fraktalen Dimension]].

== Anwendungen ==
Durch ihren Formenreichtum und den damit verbundenen ästhetischen Reiz spielen sie in der [[Digitale Kunst|digitalen Kunst]] eine Rolle und haben dort das Genre der [[Fraktalkunst]] hervorgebracht. Ferner werden sie bei der computergestützten Simulation formenreicher Strukturen, beispielsweise realitätsnaher Landschaften, eingesetzt. Um in der [[Funktechnik]] verschiedene [[Frequenz]]bereiche zu empfangen, werden [[Fraktalantenne]]n genutzt.

== Fraktale in der Natur ==
Fraktale Erscheinungsformen findet man auch in der Natur. Dabei ist jedoch die Anzahl der Stufen von selbstähnlichen Strukturen begrenzt und beträgt oft nur drei bis fünf. Typische Beispiele aus der Biologie sind die fraktalen Strukturen bei der grünen Blumenkohlzüchtung [[Blumenkohl#Formen und Typen|Romanesco]] und bei den [[Farne]]n. Auch der [[Blumenkohl]] hat einen fraktalen Aufbau, wobei man es diesem Kohl auf den ersten Blick häufig gar nicht ansieht. Es gibt aber immer wieder einige Blumenkohlköpfe, die dem Romanesco im fraktalen Aufbau sehr ähnlich sehen.

Weit verbreitet sind fraktale Strukturen ohne strenge, aber mit statistischer Selbstähnlichkeit. Dazu zählen beispielsweise [[Radiolarien]], Bäume, Blutgefäße, Flusssysteme und Küstenlinien. Im Fall der Küstenlinie ergibt sich als Konsequenz die Unmöglichkeit einer exakten Bestimmung der [[Küstenlänge]]: Je genauer man die Feinheiten des Küstenverlaufes misst, umso größer ist die Länge, die man erhält. Im Falle eines mathematischen Fraktals, wie beispielsweise der [[Kochkurve]], wäre sie unbegrenzt.

Fraktale finden sich auch als Erklärungsmodelle für chemische Reaktionen. Systeme wie die Oszillatoren (Standardbeispiel [[Belousov-Zhabotinsky-Reaktion]]) lassen sich einerseits als Prinzipbild verwenden, andererseits aber auch als Fraktale erklären. Ebenso findet man fraktale Strukturen auch im [[Kristallwachstum]] und bei der Entstehung von [[Gemisch|Mischungen]], z. B. wenn man einen Tropfen Farblösung in ein Glas Wasser gibt. Die [[Lichtenberg-Figur]] zeigt ebenfalls fraktale Struktur.

Das Auffasern von Bast lässt sich über die fraktale Geometrie von Naturfaserfibrillen erklären. Insbesondere ist die [[Gemeiner Lein|Flachsfaser]] eine fraktale Faser.

=== Beispiele für Fraktale in der Natur ===
<gallery widths="180px" heights="180px">
Datei:Romanesco broccoli (Brassica oleracea).jpg|[[Blumenkohl#Formen und Typen|Romanesco]]
Datei:Blumenkohl-1.jpg|[[Blumenkohl]] – Längsschnitt
Datei:Echter Wurmfarn 2011.JPG|[[Echter Wurmfarn]]
Datei:Cannabis plant leaf.jpg|[[Hanf]]blätter
Datei:Spiral Aloe from above.JPG|[[Aloe polyphylla|Spiral-Aloe]]
Datei:Kaiserstuhl - Herbst - Rebblatt im Gegenlicht.jpg|[[Weinrebe]]nblatt im Herbst mit noch grünen [[Blattader]]n
Datei:Radiolarian - Podocyrtis (Lampterium) mitra Ehrenberg - 160x.jpg|Skelett des [[Strahlentierchen]]s Podocyrtis mitra
Datei:Bee on his alvear.jpg|[[Bienenwabe]]
</gallery>

== Verfahren zur Erzeugung von Fraktalen ==
Fraktale können auf viele verschiedene Arten erzeugt werden, doch alle Verfahren enthalten ein [[Rekursion|rekursives]] Vorgehen:

* Die [[Iteration]] von Funktionen ist die einfachste und bekannteste Art, Fraktale zu erzeugen; die [[Mandelbrot-Menge]] entsteht so. Eine besondere Form dieses Verfahrens sind [[Iteriertes Funktionen-System|IFS]]-Fraktale ([[Iteriertes Funktionen-System|Iterierte Funktionensysteme]]), bei denen mehrere Funktionen kombiniert werden. So lassen sich natürliche Gebilde erstellen.
* [[Dynamisches System|Dynamische Systeme]] erzeugen fraktale Gebilde, sogenannte [[Seltsamer Attraktor|seltsame Attraktoren]].
* [[Lindenmayer-System|L-Systeme]], die auf wiederholter Textersetzung beruhen, eignen sich gut zur Modellierung natürlicher Gebilde wie Pflanzen und Zellstrukturen.

Es gibt fertige Programme, sogenannte [[Fraktalgenerator]]en, mit denen Computeranwender auch ohne Kenntnis der mathematischen Grundlagen und Verfahren Fraktale darstellen lassen können.

== Einfache und regelmäßige Fraktale mit Abbildungen ==
{| border="2" cellspacing="0" cellpadding="4" rules="all" style="border-collapse:collapse; empty-cells:show; margin: 2ex 2em; border: solid 1px #aaaaaa; font-size: 95%;"
|- style="text-align: center" class="hintergrundfarbe6"
|Fraktal || [[Lindenmayer-System|L-System]] || [[Winkel]] || Strecken-Verhältnis || Visualisierung
|Anzahl der
Spiegelachsen
|Punktsymmetrie
|Drehsymmetrie
|Dimensionen
|[[Hausdorff-Dimension des Randes]]
|-
|[[Drachenkurve]]
|
F → R oder F → L
R → +R--L+
L → -R++L-
| <math>45^\circ</math> ||<math>1:1/\sqrt{2}</math>
|[[Datei:11 Order Dragon Curve.svg|ohne|150px|Drachenkurve]]
|0
|nein
|keine
|2
|
|-
|[[Gosper-Kurve]]
|
F → R oder F → L
R → R+L++L-R--RR-L+
L → -R+LL++L+R--R-L
| <math>60^\circ</math> ||<math>1:1/\sqrt{7}</math>
|[[Datei:gosper curve 3.svg|ohne|150px|Gosper-Kurve]]
|0
|ja
|6-zählig
|2
|
|-
|[[Hilbert-Kurve]]
|
X
X → -YF+XFX+FY-
Y → +XF-YFY-FX+
| <math>90^\circ</math> ||<math>1:1/2</math>
|[[Datei:Hilbert7.png|ohne|150px|Hilbert-Kurve]]
|1
|nein
|keine
|2
|
|-
|[[Koch-Kurve|Koch-Flocke]]
|
F--F--F
F → F+F--F+F
| <math>60^\circ</math> ||<math>1:1/3</math>
| [[Datei:Von Koch curve.gif|rahmenlos|156x156px]]
|12
|ja
|6-zählig
|2
|<math> \frac {\log(4)} {\log(3)} \approx 1{,}262 </math>
|-
|[[Peano-Kurve]]
|
X
X → XFYFX+F+YFXFY-F-XFYFX
Y → YFXFY-F-XFYFX+F+YFXFY
| <math>90^\circ</math> ||
| [[Datei:Peanokurve.png|ohne|150px|Peano-Kurve]]
|0
|ja
|2-zählig
|2
|
|-
|[[Peano-Kurve]]
|
F
F → F-F+F+F+F-F-F-F+F
| <math>90^\circ</math> ||<math>1:1/3</math>
| [[Datei:Peano 2.GIF|ohne|150px|Peano-Kurve]]
|0
|ja
|2-zählig
|2
|
|-
|[[Roger Penrose|Penta Plexity]]
|
F++F++F++F++F
F → F++F++F<nowiki>|</nowiki>F-F++F
| <math>36^\circ</math> ||<math>1:1/\left(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)^2</math>
||[[Datei:Penta plexity.png|ohne|150px|Penta Plexity]]
|10
|nein
|5-zählig
|2
|
|-
|[[Sierpinski-Dreieck|Pfeilspitze]]
|
F → R oder F → L
R → -L+R+L-
L → +R-L-R+
| <math>60^\circ</math> ||<math>1:1/2</math>
|[[Datei:Courbe de Sierpinsky.svg|ohne|150px|Pfeilspitzen-Fraktal]]
|1
|nein
|keine
|2
|
|-
|[[Sierpinski-Dreieck]]
|
FXF--FF--FF
X → --FXF++FXF++FXF--
F → FF
| <math>60^\circ</math> ||
|[[Datei:SierpinskiTriangle-ani-0-7.gif|rahmenlos|150x150px]]
|6
|nein
|3-zählig
|2
|<math>\frac{\log(3)}{\log(2)} \approx 1{,}585</math>
|-
|[[Sierpinski-Dreieck]],<br>2. Variante
|
F--F--F
F → F--F--F--ff
f → ff
| <math>60^\circ</math> ||<math>1:1/3</math>
|[[Datei:SierpinskiTriangle.svg|ohne|150px|Sierpinski-Dreieck]]
|6
|nein
|3-zählig
|2
|<math>\frac{\log(3)}{\log(2)} \approx 1{,}585</math>
|-
|[[Sierpinski-Teppich]]
|
F
F → F+F-F-FF-F-F-fF
f → fff
| <math>90^\circ</math> ||<math>1:1/3</math>
| [[Datei:Menger5.png|ohne|150px|Sierpinski-Teppich]]
|8
|ja
|4-zählig
|2
|
|-
|[[Lévy-C-Kurve]]
|
F
F → +F--F+
| <math>45^\circ</math> ||<math>1:1/\sqrt{2}</math>
| [[Datei:C kurve.png|ohne|150px|C-Kurve]]
|1
|nein
|keine
|2
|<math>\approx 1{,}9340</math>
|}

;Erklärung des L-Systems:
Das ''optionale'', also nicht notwendige ''F'' wird im Allgemeinen als Strecke benutzt, die durch eine Anweisungsfolge ersetzt wird. Wie das ''F'' stehen auch andere groß geschriebene Buchstaben wie ''R'' und ''L'' für einen Streckenabschnitt, der ersetzt wird. ''+'' und ''−'' stehen für einen bestimmten Winkel, der im Uhrzeigersinn oder gegen den Uhrzeigersinn läuft. Das Symbol ''|'' bezeichnet eine Kehrtwendung des Zeichenstiftes, also eine Drehung um 180°. Gegebenenfalls setzt man dafür ein entsprechendes Vielfaches des Drehwinkels ein.

;Beispiel Drachenkurve:
F → R
R → +R--L+
L → -R++L-

F ist eine einfache Strecke zwischen zwei Punkten. F → R heißt, dass die Strecke F durch R ersetzt wird. Dieser Schritt ist notwendig, da es zwei rekursive Ersetzungen R und L besitzt, die sich gegenseitig enthalten. Im Weiteren wird wie folgt ersetzt:

R
+R--L+
+(+R--L+)--(-R++L-)+
+(+(+R--L+)--(-R++L-)+)--(-(+R--L+)++(-R++L-)-)+
.
.
.

Ab einem bestimmten Abschnitt muss dieser Ersetzungsprozess abgebrochen werden, um eine Grafik zu bekommen:

+(+(+r--l+)--(-r++l-)+)--(-(+r--l+)++(-r++l-)-)+

Dabei stellen r und l jeweils eine fest vorgegebene Strecke dar.

== Zufallsfraktale ==
Daneben spielen in der Natur auch „Zufallsfraktale“ eine große Rolle. Diese werden nach [[Wahrscheinlichkeitstheorie|probabilistischen]] Regeln erzeugt. Dies kann etwa durch Wachstumsprozesse geschehen, wobei man beispielsweise [[diffusionsbegrenztes Wachstum]] (Witten und Sander) und „Tumorwachstum“ unterscheidet. Im ersten Fall entstehen baumartige Strukturen, im letzten Fall Strukturen mit runder Form, je nachdem, in welcher Weise man die neu hinzukommenden Teilchen an die schon vorhandenen Aggregate anlagert. Wenn die fraktalen Exponenten nicht konstant sind, sondern z. B. von der Entfernung von einem zentralen Punkt des Aggregats abhängen, spricht man von sog. ''Multifraktalen''.<ref>Siehe z. B. {{Cite journal | author = Z. Eisler, J. Kertész | title = Multifractal model of asset returns with leverage effect | journal = Physica A: Statistical Mechanics and its Applications | date = 2004-11 | pages = 603–622 | volume = 343 | doi = 10.1016/j.physa.2004.05.061 | arxiv = cond-mat/0403767}}</ref>

=== Beispiele für Zufallsfraktale in der Natur ===
<gallery widths="180px" heights="180px">
Datei:Fractals Tree on Knudshoved Odde - panoramio.jpg|Bäume bilden Fraktal
Datei:Dendrit.jpg|[[Dendrit (Kristallographie)|Dendriten]] aus [[Mangan#Sauerstoffverbindungen|Manganoxid]] auf [[Solnhofener Plattenkalk]]
Datei:0348 Mn dendrite.jpg|[[Mangan]]-Dendriten auf [[Vulkanit|vulkanischem Gestein]]
Datei:Bacillus subtilis swarm.JPG|Bakterienschwarm des [[Bacillus subtilis]] in Schale mit 90 mm Durchmesser
Datei:Frost patterns 2.jpg|[[Eisblume]]n
Datei:Schnee1.jpg|[[Schnee#Schneeflocken|Schneeflocke]]
Datei:Crystallized honey.jpg|[[Kristallisation|Kristallisierter]] [[Honig]]
Datei:Cape Stolbchaty.jpg|[[Lava#Basalt|Basaltsäulen]] am Kap Stolbchaty auf der [[Kurilen]]-Insel [[Kunaschir]]
</gallery>

== Siehe auch ==
* [[Burning ship (Fraktal)]]
* [[Goldener Schnitt#Dreiecksfraktal|Goldener Schnitt, Dreiecksfraktal]]

== Literatur ==
[[Datei:Julia set (highres 01).jpg|mini|[[Julia-Menge]]]]

* [[Reinhart Behr]]: ''Fraktale, Formen aus Mathematik und Natur''. Klett-Schulbuchverlag, 1. Auflage, Stuttgart (1993), ISBN 3-12-722420-6.
* Reinhart Behr: ''Ein Weg zur fraktalen Geometrie''. Klett-Schulbuchverlag, 1. Auflage, Stuttgart (1989), ISBN 3-12-722410-9.
* Julius Dufner, Frank Unseld, Andreas Roser: ''Fraktale und Julia-Mengen''. Verlag Harri Deutsch (1998), Thun, ISBN 3-8171-1564-4
* Gerald Edgar: ''Measure, Topology, and Fractal Geometry''. Verlag Springer (2008), New York, ISBN 978-0-387-74748-4
* [[Kenneth Falconer]]: ''Fractal Geometry''. ''Mathematical Foundations and Applications'', 3. Auflage, John Wiley & Sons, Ltd., Chichester (2014), ISBN 978-1-119-94239-9
* [[Horst Halling]], Rolf Möller: ''Mathematik fürs Auge – Eine Einführung in die Welt der Fraktale'', Spektrum 1995, ISBN 3-86025-427-8.
* [[Gilbert Helmberg (Mathematiker)|Gilbert Helmberg]]: ''Getting Acquainted with Fractals'', Walter de Gruyter 2007, ISBN 978-3-11-019092-2.
* [[Jürgen Kriz]]: ''Chaos und Struktur.'' Systemtheorie Band 1. Quintessenz, München, Berlin 1992, ISBN 3-928036-69-6.
* [[Benoît Mandelbrot|Benoît B. Mandelbrot]]: ''Les Objects Fractals: Forme, Hasard et Dimension'', 1975 (französisch). In Englisch: ''Fractals: Form, Chance and Dimension'', W.H. Freeman & Co, 1977, ISBN 0-7167-0473-0.
* [[Benoît Mandelbrot|Benoît B. Mandelbrot]]: ''Die fraktale Geometrie der Natur'', Birkhäuser 1987, ISBN 3-7643-2646-8 (engl. 1982 publiziert).
* [[Heinz-Otto Peitgen]], [[Peter Richter (Physiker)|Peter H. Richter]]: ''The Beauty of Fractals. Images of Complex Dynamical Systems'', Springer 1986, ISBN 0-387-15851-0 bzw. ISBN 3-540-15851-0
* [[Heinz-Otto Peitgen]], [[Dietmar Saupe]]: ''The Science of Fractal Images'', Springer 1st ed. 1988, ISBN 0-387-96608-0
* [[Herbert Voß]]: ''Chaos und Fraktale selbst programmieren'', franzis 1994, ISBN 3-7723-7003-9
* [[Herbert Zeitler (Mathematiker)|Herbert Zeitler]], [[Dušan Pagon]]<ref group="A">Pagon ist ein [[Slowenien|slowenischer]] [[Mathematiker]] und [[Professor]] an der [[Universität Maribor]]. Vgl. Artikel über [[:sl:Du%C5%A1an Pagon|Dušan Pagon]] in der slowenischen Wikipedia!</ref> : ''Fraktale Geometrie – Eine Einführung. Für Studienanfänger, Studierende des Lehramtes, Lehrer und Schüler.'' Braunschweig / Wiesbaden, Vieweg 2000, ISBN 3-528-03152-2

== Anmerkungen ==
<references group="A" />

== Einzelnachweise ==
<references />

== Siehe auch ==
* [[Geometrische Figur]]
* [[Körper (Geometrie)]]

== Weblinks ==
{{Commons|Fractal|Fraktal}}
{{Wiktionary}}
* [https://quadsoft.org/fraktale/ Website über Fraktale für Einsteiger mit zahlreichen Illustrationen]
* [https://www.youtube.com/watch?v=ay8OMOsf6AQ Benoit Mandelbrot: Fractals and the Art of Roughness] – Videoaufnahme vom 6. Juli 2010 in englischer Sprache mit deutschen Untertiteln (21 Minuten)
* [http://polymer.bu.edu/museum/ Natürliche Fraktale in Wissenschaft und Medizin] (englisch)
* [https://xaos-project.github.io/ GNU Xaos, freier interaktiver Fraktal Explorer]
* [http://gis.ibbeck.de/apps/Mandelbrot/htdocs/wms_mandelbrot_frames.html Online CGI Mandelbrot Fractal Explorer] – Interaktive Erforschung der Mandelbrot-Menge mit MapClient (OpenLayers)
* [https://www.youtube.com/watch?v=7Pf6jZWguCc Video vergrößern Mandelbox] – Beispiel für 3D-Fraktal
* [https://www.youtube.com/watch?v=VB-XUoDqYfs Flug durch ein animiertes 3D Fraktal] (Video)

[[Kategorie:Computerkunst]]
[[Kategorie:Fraktale Geometrie| Fraktal]]
[[Kategorie:Ornamentik]]

Fraktal - Versionsgeschichte

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