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2025-02-06T15:58:02Z

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[[Datei:Exponentielles Wachstum kurzerklärt von Tagesschau.webm|mini|Video: Veranschaulichung von exponentiellem Wachstum]]

'''Exponentielles Wachstum''' (auch ''unbegrenztes'' oder ''freies Wachstum'' genannt) beschreibt ein [[mathematisches Modell]] für einen [[Wachstum (Mathematik)|Wachstumsprozess]], bei dem sich die [[Größe (Mathematik)|Bestandsgröße]] in jeweils gleichen Zeitschritten immer um denselben [[Multiplikation|Faktor]] vervielfacht. Der [[Funktion (Mathematik)|Wert]] der Bestandsgröße kann im zeitlichen Verlauf entweder steigen ''(exponentielle Zunahme)'' oder abnehmen ''(exponentieller Zerfall'' oder ''exponentielle Abnahme)''. Ein solcher Verlauf kann bei einer exponentiellen Zunahme durch die [[Verdopplungszeit]] und bei einer exponentiellen Abnahme durch die [[Halbwertszeit]] eindeutig angegeben werden. Anders als [[Lineares Wachstum|lineares]] oder [[Ganzrationale Funktion|polynomiales]] Wachstum verursacht exponentielles Wachstum auch bei anfangs nur kleinen Veränderungen im weiteren Verlauf deutlich größere, sodass ein exponentielles Wachstum ab einem bestimmten Zeitpunkt jedes lineare oder polynomiale Wachstum um [[Größenordnung]]en übersteigt. Aus diesem Grund kann die Auswirkung von exponentiellem Wachstum leicht unterschätzt werden.

== Funktion des exponentiellen Wachstums ==
[[Datei:Exponentielles wachstum.svg|mini|hochkant=1|Exponentielles Wachstum: <math>\begin{align} A&=3 \\ T_2&=5 \\ \lambda&=\ln(\sqrt[5]{2}) \approx 0{,}1386\\ b&=\sqrt[5]{2}\approx 1{,}1487 \end{align}</math>]]
[[Datei:Exponentieller zerfall.svg|mini|hochkant=1|Exponentieller Zerfall: <math>\begin{align} A&=24 \\ T_{0{,}5}&=5 \\ \lambda&=\ln(\sqrt[5]{0{,}5}) \approx -0{,}1386 \\ b&=\sqrt[5]{0{,}5}\approx 0{,}8706 \end{align}</math>]]

Bei einer Wachstumsfunktion ist die Bestandsgröße <math>B(t)</math> abhängig von der Zeit <math>t</math>. Sie ist von der Form
:<math>B(t) = A \cdot b^{t/T_b}</math> mit der in Bezug genommenen Vervielfältigungszeit <math>T_b</math> z. B. 1 Sekunde, <math>A>0</math> und <math>b>0</math>
oder gleichwertig <math>B(t) = A \cdot e^{\lambda t}</math> mit <math>\lambda = \ln(b)/T_b</math>. Hierbei bezeichnet <math>b</math> den ''[[Wachstumsfaktor (Mathematik)|Wachstumsfaktor]]'' und <math>\lambda</math> die ''[[Wachstumskonstante]]''.

Wegen <math>B(0) = A</math> ist <math>A</math> der ''Anfangsbestand'' zur Zeit <math>t = 0</math>.

Ist <math>b>1</math>, also <math>\lambda>0</math>, so handelt es sich um eine ''exponentielle Zunahme''. Die [[Verdopplungszeit]] (auch Doppelwertszeit und in der Biologie [[Generationszeit]] genannt) ist dann <math>T_{2} = \frac {\ln(2)}{\lambda} </math>.

Bei <math>b<1</math> und daher <math>\lambda<0</math> spricht man von einer ''exponentiellen Abnahme''. Die ''Halbwertszeit'' ist dann <math>T_{0{,}5} = \frac {\ln(0{,}5)}{\lambda} </math>.

Allgemein ist bei einem ''Vervielfältigungsfaktor'' <math>v</math> die ''Vervielfältigungszeit'' <math>T_v = \frac {\ln(v)}{\lambda} </math>. Umgekehrt berechnet sich der Vervielfältigungsfaktor zu <math>v = \frac{B(t+T_v)}{B(t)} = b^{T_v/T_b} = e^{\lambda T_v} >0</math>.

=== Beispiel 1: Zinseszins mit einem Zinssatz von 8 % p. a. ===
In diesem Beispiel beträgt der jährliche Zinsfaktor <math>b = 1{,}08</math> und die Vervielfältigungszeit <math>T_b = 1\ \text{Jahr}</math>. Bei einem Anfangskapital von <math>A = 100\ \euro</math> gilt:
:<math>K(t) = A \cdot b^{t/T_b} = 100\ \euro \cdot 1{,}08^{t/\text{Jahr}}</math>

Durch die [[Substitution (Mathematik)|Substitution]] <math>\tau = t / T_b</math> lässt sich die Größengleichung in eine [[Zahlenwertgleichung]] umwandeln:
:<math>K(\tau) = 100 \cdot 1{,}08^\tau</math>
Dabei bedeutet <math>K(\tau)</math> das nach <math>\tau = \tfrac{t}{\text{Jahr}}</math> Jahren angesammelte Kapital in €. Nach 9 Jahren ist das Kapital wegen
:<math>K(9) = 100 \cdot 1{,}08^9 = 199{,}90</math>
auf 199,90 € angewachsen, es hat sich also fast verdoppelt.

Bei einer vierteljährlichen Gutschrift der Zinsen wäre der jährliche Zinsfaktor bankmäßig auf das Quartal umzurechnen (<math>b'=1+\tfrac{b-1}{4}</math>) und für die Zeit die Anzahl der Quartale einzusetzen (<math>\tau'=\tfrac{t}{1/4\ \text{Jahr}}</math>). Dies ergäbe in diesem Beispiel:
:<math>K(36) = 100 \cdot 1{,}02^{36} = 203{,}99</math>.

=== Beispiel 2: Epidemie ===
In einem Land verdoppele sich die Zahl der Infizierten alle 3 Tage. Hat man z. B. zum Zeitpunkt 0 eine Anzahl von 1000 Infizierten, so sind es nach 3 Tagen 2000, nach 6 Tagen 4000 Infizierte usw. Die Anzahl der Infizierten wachse also (zunächst) exponentiell und kann dann durch folgende Funktion beschrieben werden:
:<math>I(\tau) = 1000 \cdot b^\tau</math> mit <math>b = \sqrt[3]{2}</math> und Anzahl der Tage <math>\tau=\tfrac{t}{\text{Tag}}</math>
Nach 27 Tagen sind es dann schon <math>I(27) = 1000 \cdot (\sqrt[3]{2})^{27} = 512.000</math> und nach 2 Monaten <math>I(61) = 1000 \cdot (\sqrt[3]{2})^{61} = 1{,}3</math> '' Milliarden'' Infizierte.

Bei ungebremstem Wachstum, aber begrenzter Population von zum Beispiel 80 Millionen, errechnen sich die Werte nach dem [[Logistische Funktion|logistischen Wachstum]] zu <math>I(27) = 509 \, 000</math> (nur eine kleine Abweichung vom exponentiellen Wachstum) und <math>I(61) = 75</math> ''Millionen'' (nahe der Gesamtpopulation).<ref>Diese Werte errechnen sich nach dem Modell des [[Logistische Funktion|logistischen Wachstums]] <math>f(t)=G \cdot \frac{1}{1+e^{-k \cdot G \cdot t}\left(\frac{G}{f(0)} - 1\right)}</math> mit <math>f(0) = 1000,</math> <math>G = 80 \text{ Mio.}</math> und <math>k \approx \ln(2)/240 \text{ Mio.}</math> (siehe auch [[SI-Modell]]).</ref>

=== Beispiel 3: Radioaktiver Zerfall ===
Cäsium-137, ein Produkt der Kernspaltung, hat eine Halbwertszeit von 30 Jahren. Seine Zerfallsfunktion lautet daher
:<math>C(\tau) = A \cdot b^\tau</math> mit <math>b = 2^{-\frac {1}{30}}</math> und Anzahl der Jahre <math>\tau=\tfrac{t}{\text{Jahr}}</math>
Nach 90 Jahren gibt es wegen
:<math>C(90) = A \cdot ({2^{-\frac {1}{30}}})^{90} = \frac {A}{8}</math>
immer noch <math>1/8 = 12{,}5 \ \%</math> der ursprünglich vorhandenen Cäsiummenge <math>A = C(0)</math>.

In den Beispielen 1 und 2 handelt es sich um eine ''exponentielle Zunahme'' und im Beispiel 3 um eine ''exponentielle Abnahme''.

== Eigenschaften ==
=== Modellbeschreibung ===
[[Datei:Exponential.svg|200px|mini|Verschiedene Arten von Wachstum{{Farblegende|green|exponentielles Wachstum}} {{Farblegende|red|lineares Wachstum}} {{Farblegende|blue|kubisches Wachstum}}]]

Nebenstehendes Bild zeigt beispielhaft, dass immer auf lange Sicht der Bestand (wie auch die Wachstumsgeschwindigkeit) eines positiven exponentiellen Prozesses größer ist als beim [[Lineares Wachstum|linearen]], beim [[Wachstum (Mathematik)#Wachstum gemäß einem Potenzgesetz|kubischen Wachstum]] oder allgemein bei allen Wachstumsprozessen, die sich durch [[ganzrationale Funktion]]en beschreiben lassen.

Beim Modell des ''exponentiellen Wachstums'' ist die [[Änderungsrate|Änderung]] <math>B_{n+1} - B_n</math> ([[Diskretisierung|diskreter]] Fall) bzw. <math>B'(t)</math> ([[Stetige Funktion|kontinuierlicher]] Fall) der Bestandsgröße [[Proportionalität|proportional]] zum Bestand. Im diskreten Fall ergibt sich der neue Bestandswert bei positivem Wachstum, indem der alte Wert mit einer Konstanten größer als 1 [[Multiplikation|multipliziert]] wird, und bei negativem Wachstum mit einer positiven Konstanten kleiner als 1 multipliziert wird.

Bei der exponentiellen ''Abnahme'' bildet die [[Koordinatensystem|x-Achse]] die [[Asymptote]] des Graphen der Wachstumsfunktion. Die Bestandsgröße nähert sich der Null an, verschwindet aber nicht. In [[Mathematik#Anwendungsgebiete|Anwendungsbezügen]] wie z. B. der Biologie sind die Bestandsgrößen häufig [[Ganze Zahl|ganzzahlig]], sodass sehr kleine Werte schließlich keine Bedeutung mehr haben und der Bestand praktisch gesehen ausstirbt.

=== Differentialgleichung ===
[[Differentialgleichungen]] (DGL) dienen der Beschreibung kontinuierlicher ([[Stetige Funktion|stetiger]]) Wachstumsmodelle.

Die DGL für den [[Exponentieller Prozess|exponentiellen Prozess]] lautet:

:<math>{B}'(t)=\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}t}= \lambda \cdot B(t)</math>

Dies ist eine [[Lineare gewöhnliche Differentialgleichung|lineare homogene Differentialgleichung]] mit konstanten [[Koeffizient]]en und kann zum Beispiel mittels der Methode „[[Trennung der Veränderlichen|Variablentrennung]]“ gelöst werden.

Die '''Wachstumsgeschwindigkeit''' lässt sich aus der DGL herleiten: <math> B'(t) = \lambda \cdot B(t) = \lambda \cdot B(0) \cdot \mathrm{e}^{\lambda t} </math>.

=== Diskretes Wachstumsmodell ===
Zur Darstellung des [[Diskrete Mathematik|diskreten]] Wachstumsmodells in [[Folge (Mathematik)#Angabe einer Rekursion|rekursiver]] Form dienen aus Differenzen abgeleitete [[Folge (Mathematik)|Folgen]]. Dabei bezeichnet <math>\Delta t</math> die Zeitdifferenz in einer [[Arithmetische Folge|äquidistanten Folge]] von Zeitpunkten <math>t_n=n\Delta t</math> für <math>n=0,1,2,\dotsc</math>; und <math>B_n</math> bedeutet die entsprechenden Bestandsgrößen.

In rekursiver Form wird zeitdiskretes exponentielles Wachstum (Zu- ''und'' Abnahme) durch

:<math>B_{n+1}=B_n\cdot b</math>

beschrieben. Dabei ist der Wachstumsfaktor <math>b=1+p</math> mit jenem im zeitkontinuierlichen Fall identisch.

Die Bestandsgröße <math>B_n</math> folgt aus den Formeln für kontinuierliches Wachstum mit den Substitutionen <math>t=n\Delta t</math>, <math>T_b=\Delta t</math> und <math>\lambda=\frac{\ln b}{\Delta t}</math> zu

:<math>B_n=B_0 b^n=B_0 \mathrm{e}^{n\ln b}</math>.

=== Auflösung nach der Zeit ===
Bestimmt werden soll die Zeitspanne <math>t_f</math>, in der sich ein exponentiell entwickelnder Bestand um den Faktor <math>f=B(t_f)/B(0)</math> ändert. Die Wachstumsgleichung ist mit dem Vervielfältigungsfaktor <math>b</math> und der Vervielfältigungszeit <math>T_b</math> gegeben. Aus <math>b^\frac{t_f}{T_b}=f</math> folgt

:<math>\frac{t_f}{T_b}=\log_{\,b}f=\frac{\ln f}{\ln b}</math>.

Beispiel: Für <math>b=1+p</math> ''nahe eins'' gilt näherungsweise <math>\ln b=p</math>. Eine Verdoppelung (<math>f=2</math>) benötigt demnach die Zeit <math>t_f \approx T_b\frac{0{,}7}{p}</math>.

== Beispiele, allgemein und näher erläutert ==

=== Naturwissenschaften ===
[[Datei:E.-coli-growth.gif|mini|[[Bakterielles Wachstum]] bei [[Escherichia coli|''E. coli'']]. Die Generationszeit liegt bei ca. 20 Minuten.]]

; Wachstum von [[Population (Biologie)|Populationen]]: Das Wachstum von [[Mikroorganismus|Mikroorganismen]] wie beispielsweise [[Bakterien]] und [[Viren]], [[Krebs (Medizin)|Krebszellen]] und auch der [[Weltbevölkerung]] kann ohne begrenzende Faktoren (z. B. [[Konkurrenz (Ökologie)|Konkurrenten]], (Fress-)Feinde oder Krankheitserreger, endliche Nahrungsquellen) theoretisch exponentiell steigen.<ref>M. Begon, M. Mortimer, D. J. Thompson: ''Populationsökologie.'' Spektrum, Heidelberg 1997.</ref> Das ist allerdings in der Regel nur ein theoretisches Beispiel. Das Wachstum z. B. von Bakterien wird normalerweise von einer [[Logistische Funktion|logistischen Funktion]] beschrieben, die allerdings am Anfang einer Exponentialfunktion stark ähnelt.

; [[Radioaktiver Zerfall]]: Die Anzahl der Kernzerfälle in einer radioaktiven Materialmenge nimmt zeitlich annähernd exponentiell ab (siehe auch [[Zerfallsgesetz]]). In gleich langen Zeitintervallen zerfällt stets derselbe Bruchteil der zu Beginn des Intervalls noch vorhandenen Menge.<ref name="keppeler-9">{{Internetquelle |autor=Stefan Keppeler |url=https://www.math.uni-tuebingen.de/user/stke/archiv/lehre/ws-2008-09/mathematik-i-fur-biologen-geowissenschaftler-und-geookologen/scripts/04_exp_und_log.pdf |titel=Mathematik 1 für Biologen, Geowissenschaftler und Geoökologen: Exponentialfunktion und Logarithmus |seiten=9 |datum=2008-11-05 |format=PDF; 444 kB |abruf=2024-04-06}}</ref>

; [[Kettenreaktion]]: Bei der Kernspaltung werden Neutronen freigesetzt, die ihrerseits weitere Atomkerne zum Zerfall anregen können. Die Kettenreaktion tritt ein, wenn die kritische Menge überschritten wird. Eine Kernwaffe wird auf möglichst schnellen und hohen Anstieg der Reaktionsrate hin konstruiert. Die Kettenreaktion wird im Normalbetrieb eines Kernreaktors mittels Absorbern so gesteuert, dass die Reaktionsrate konstant bleibt.

; [[Lambert-Beersches Gesetz]]: Legt ein [[Monochromatisches Licht|monochromatischer (einfarbiger) Lichtstrahl]] mit einer bestimmten einfallenden [[Intensität (Physik)|Intensität]] durch ein [[Absorption (Physik)|absorbierendes]], [[homogenität|homogenes]] [[Ausbreitungsmedium|Medium]] (z. B. Farbstoff) einer bestimmten Schichtdicke darin einen Weg zurück, so lässt sich die Intensität des austretenden Strahls durch einen exponentiellen Zerfallsprozess darstellen. Die [[Intensität (Physik)|Intensität]] des austretenden Strahls ist proportional zur Intensität des einfallenden Strahls.<ref name="keppeler-9" /> Dies steht in engem Zusammenhang mit dem sogenannten [[Absorptionsgesetz (Physik)|Absorptionsgesetz]] für beispielsweise [[Röntgenstrahlung]].<ref>{{Internetquelle |autor=Valeriano Ferreras Paz |url=http://www.pi1.physik.uni-stuttgart.de/teaching/HauptseminarWS0405/RAbs.pdf |titel=Röntgenabsorption |format=PDF; 2,0 MB |archiv-url=https://web.archive.org/web/20140202092512/http://www.pi1.physik.uni-stuttgart.de/teaching/HauptseminarWS0405/RAbs.pdf |archiv-datum=2014-02-02 |offline=1 |abruf=2024-04-06}}</ref>

[[Datei:Oszillator Anschwingen.png|mini|Exponentielles Anwachsen der Amplitude nach dem Einschalten eines [[Oszillator]]s, bis die Begrenzung einsetzt]]

; Anfachen eines [[Oszillator]]s: Die zeitlich lineare Amplitudenänderung beim Anschwingen eines Oszillators entspricht einem zeitlich exponentiellen Amplitudenzuwachs eines realen Schwingers bei [[Resonanz (Physik)|Parameterresonanz]].<ref>{{Literatur |Autor=[[Hans Dresig]], I. I. Vul’fson |Titel=Dynamik der Mechanismen |Verlag=VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften |Ort=Berlin |Datum=1989 |ISBN=3-326-00361-7 |Seiten=198 |Online=https://monarch.qucosa.de/landing-page/https%3A%2F%2Fmonarch.qucosa.de%2Fapi%2Fqucosa%253A19362%2Fmets%2F/ |Abruf=2024-04-06}}</ref>

=== Wirtschaft und Finanzen ===
; [[Zinseszins]]: Die Zinsen werden hier einem Kapital <math>K</math> über einen gewissen Zeitraum zugeschlagen und mit verzinst.<ref>{{Internetquelle |autor=H. Schreier |url=http://www.mathe.tu-freiberg.de/~schreier/FinMath/SkriptFinMath2012.pdf |titel=Finanzmathematik |seiten=9–11 |format=PDF; 211 kB |werk=tu-freiberg.de |archiv-url=https://web.archive.org/web/20130320005606/http://www.mathe.tu-freiberg.de/~schreier/FinMath/SkriptFinMath2012.pdf |archiv-datum=2013-03-20 |offline=ja |abruf=2024-04-06}}</ref> Dies führt zu einem [[Zinseszins#Exponentielles Wachstum|exponentiellen Wachstum]] des Kapitals.<ref>{{Internetquelle |url=https://www.finanzkrise.eu/zinseszins-und-exponentielles-wachstum/ |titel=Zinseszins und exponentielles Wachstum |werk=finanzkrise.eu |abruf=2024-04-06}}</ref><ref name="spinola_exponentielles-wachstum">{{Internetquelle |autor=Roland Spinola |url=https://www.humane-wirtschaft.de/pdf_z/spinola_exponentielles-wachstum.pdf |titel=Exponentielles Wachstum - was ist das? |format=PDF; 121 kB |werk=humane-wirtschaft.de |abruf=2024-04-06}}</ref> Die Zinseszinsformel lautet <math>K(t) = K(0) \cdot (1+i)^{t/T_i}</math>, wobei <math>i</math> der [[Zinssatz]] pro [[Zinsrechnung|Zinsperiode]] <math>T_i</math> und <math>K(0)</math> das Anfangskapital darstellen (siehe auch [[Zinsrechnung]], Zinseszins, [[Josephspfennig]] – hier wird ein Penny im Jahre Null angelegt).
: Bei einem Sparbuch mit 5 % Zinsen pro Jahr liegt die Verdopplungszeit nach obenstehender Faustformel bei <math>\tfrac{70}5 \approx \text{14 Jahren}</math>.

; [[Schneeballsystem]]: Dies sind [[Geschäftsmodell]]e, bei denen die Anzahl der Teilnehmer exponentiell wächst. Jeder Mitarbeiter hat hier eine bestimmte Anzahl weiterer Mitarbeiter zu rekrutieren, die dann wiederum diese Anzahl anwerben sollen, und so weiter. Nach dem gleichen Prinzip funktionieren auch [[Schenkkreis]]e und [[Kettenbrief]]e.

=== Technik ===
[[Datei:Myla32rp.jpg|mini|Fünffach gefaltete [[Mylarfolie]]]]

; Falten: Bei jedem Falten verdoppelt sich die Dicke von Papier oder Folie.<ref name="spinola_exponentielles-wachstum" /> Auf diese Weise lassen sich dünne Folien mit einem einfachen [[Messschieber]] ausmessen. Die [[Mylar]]folie auf dem Bild besteht nach fünffachem Falten aus 25 = 32 Lagen Folie, die gemeinsam eine Dicke von 480 µm haben. Eine Folie ist also ca. 15 µm stark. Nach zehnfachem Falten wäre die Lage bereits 15 mm dick, nach weiteren 10 Faltungen mehr als 15,7 m. Da sich auch die Stapelfläche exponentiell verringert, lässt sich Papier in einem handelsüblichen [[Papierformat]] kaum mehr als sieben Mal zusammenschlagen.

=== Mathematik ===
; [[Sissa ibn Dahir|Schachbrett mit einem Weizenkorn]]: Der [[Anekdote]] zufolge soll der [[Brahmane]] [[Sissa ibn Dahir]] ein Spiel, das heute unter dem Namen [[Schach]] bekannt ist, für den indischen Herrscher Shihram erfunden haben, um ihm seine tyrannische Herrschaft, die das Volk in Elend und Not stürzte, zu verdeutlichen und ihn zu unterhalten. Ihm wurde dafür ein freier Wunsch gewährt. Sissa wünschte sich Folgendes: Auf das erste Feld eines [[Schachbrett]]s wollte er ein [[Weizen]]korn (je nach Literatur auch ein [[Reis]]korn),<ref>{{Internetquelle |url=http://www.schachecke.de/geschichte.html |titel=Geschichte |werk=schachecke.de |abruf=2024-04-06}}</ref><ref>{{Internetquelle |url=http://www-math.upb.de/~mathkit/Inhalte/Folgen/data/manifest25/schachbrett_reiskoerner.html |titel=Das Schachbrett und die Reiskörner |archiv-url=https://web.archive.org/web/20131004214030/http://www-math.upb.de/~mathkit/Inhalte/Folgen/data/manifest25/schachbrett_reiskoerner.html |archiv-datum=2013-10-04 |offline=1 |abruf=2024-04-06}}</ref> auf das zweite Feld das Doppelte, also zwei Körner, auf das dritte wiederum die doppelte Menge, also vier und so weiter. Der König lachte und gewährte ihm einen Sack des Getreides. Daraufhin bat er den Herrscher, die genaue Menge durch seine Mathematiker ermitteln zulassen, da ein Sack nicht ganz ausreiche. Die Berechnung ergab: Auf dem letzten (64.) Feld würden so am Ende 263 ≈ 9,22 × 1018 Körner, also mehr als 9 [[Trillion]]en Körner liegen.<ref>Hier ergibt sich für die [[Potenz (Mathematik)|Potenz]] die Basis = 2, also eine [[Zweierpotenz]], weil die Anzahl der Körner von Feld zu Feld jeweils verdoppelt wird. Die erste Verdopplung findet vom ersten auf das zweite Feld statt. Deshalb ergeben sich beim vierundsechszigten Feld 64 − 1 = 63 Verdopplungen. Daher ist der Exponent hier gleich 63. Auf dem 64. Feld würden also 2(64 − 1) = 263 = 9.223.372.036.854.775.808 ≈ 9,22 × 1018 Körner liegen.</ref> Mehr als alles Getreide der Welt. Das Anwachsen der Körnerzahl lässt sich als exponentielles Wachstum unter Nutzung einer [[Exponentialfunktion]] der Basis 2 auffassen.

=== Musik ===
Die Funktion von der additiven Gruppe der Intervalle <math>I</math> in die multiplikative Gruppe <math>Q</math> der Frequenzverhältnisse
:<math>f\colon\, I\to Q</math>
ist eine Exponentialfunktion. Dabei gilt
:<math>f</math>''(Oktave)'' = 2 und <math>f</math>(n ''Oktaven'') = <math>2^n</math> für <math>n \in N</math>

Das Frequenzverhältnis von [[Tonstruktur (mathematische Beschreibung)#Messung der Größe von Intervallen|Intervallen]] wächst also exponentiell.

Hinweis: ''Oktave'' ist eine Einheit für die Intervallgröße mit dem Frequenzverhältnis 2:1. [[Cent (Musik)|Cent]] ist eine Untereinheit der ''Oktave'', wobei ''Oktave'' = 1200 ''Cent''.
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|+ Beispiel
|-
! Intervall !! Größe !! Frequenzverhältnis
|-
| 0 [[Oktave]]n ([[Prime]]) || 0 || {{0}}1
|-
| 1 Oktave || 1200 [[Cent (Musik)|Cent]]|| {{0}}2
|-
| 2 Oktaven|| 2400 Cent|| {{0}}4
|-
| 3 Oktaven||3600 Cent|| {{0}}8
|-
| 4 Oktaven||4800 Cent|| 16
|-
|colspan="3"| • • •
|}

Bei den Intervallen handelt es sich um eine additiv geordnete Gruppe. Das Frequenzverhältnis einer Summe ist das Produkt der Frequenzverhältnisse.

'''Beispiel'''

: Quinte = 702 Cent (Frequenzverhältnis {{Bruch|3|2}})
: Quarte = 498 Cent (Frequenzverhältnis {{Bruch|4|3}})
: Quinte + Quarte = 702 Cent + 498 Cent = 1200 Cent = Oktave (Frequenzverhältnis {{Bruch|3|2}} × {{Bruch|4|3}} = 2)

=== Grenzen des Modells ===
Der [[Mathematisches Modell|Modellansatz]] zu exponentiellem Wachstum stößt in der Realität auf seine Grenzen –, insbesondere im wirtschaftlichen Bereich.

„Exponentielles Wachstum ist nicht realistisch“ als langfristiger [[Trend (Statistik)|Trend]], so der Wirtschaftswissenschaftler [[Norbert Reuter]]. Er führt an, dass die Wachstumsraten in höher entwickelten Gesellschaften aufgrund von [[Konjunktur|konjunkturellen]] Einflüssen zurückgehen.<ref name="steiger-Exponentielles-Wachstum-realistisch">{{Internetquelle |autor=Hartmut Steiger |url=http://www.ingenieur.de/Politik-Wirtschaft/Konjunktur/Exponentielles-Wachstum-realistisch |titel=„Exponentielles Wachstum ist nicht realistisch“ |titelerg=Interview mit [[Norbert Reuter]] |werk=ingenieur.de |datum=2007-04-27 |archiv-url=http://archive.today/20130429074025/www.ingenieur.de/Politik-Wirtschaft/Konjunktur/Exponentielles-Wachstum-realistisch |archiv-datum=2013-04-29 |abruf=2024-04-06}}</ref> [[Indikator (Wirtschaft)|Indikator]] dafür ist das [[Bruttoinlandsprodukt]] (BIP). Mit Blick auf statistische Daten lässt sich ableiten, dass ein exponentielles [[Wirtschaftswachstum]] eher typisch für Anfangsjahre einer industriellen [[Volkswirtschaft]] ist, aber ab einem bestimmten Niveau, wenn wesentliche Entwicklungsprozesse abgeschlossen sind, in ein [[Wachstum (Mathematik)#Lineares Wachstum|lineares Wachstum]] übergeht.<ref>{{Internetquelle |autor=Kai Bourcarde, Karsten Heinzmann |url=http://wachstumsstudien.de/Inhalt/Zeitschrift/Heft2/Normalfall_exponentielles_Wachstum.pdf |titel=Normalfall exponentielles Wachstum – ein internationaler Vergleich |seiten=6 |format=PDF; 738 kB |abruf=2024-04-06}}</ref> Wird also ein weiteres exponentielles Wachstum [[Extrapolation|extrapoliert]], tritt eine Diskrepanz zwischen der Wachstumserwartung und dem tatsächlichen Verlauf auf.

Dies betrifft unter anderem die [[Staatsverschuldung]]. Durch die rechentechnisch falsche Erwartung, dass die Staatsverschuldung durch ein Wirtschaftswachstum begrenzt werden könnte, sinkt jedoch nur die Schwelle für neue Schulden. Bleibt jedoch das erwartete Wachstum aus, entsteht ein Defizit, das die künftige Handlungsfähigkeit eines Staates einschränkt. Aufgrund der Zinsen und Zinseszinsen besteht die Gefahr, dass die Staatsverschuldung exponentiell wächst.<ref>{{Internetquelle |autor=Kai Bourcarde |url=http://www.wachstumsstudien.de/Inhalt/Zeitschrift/Heft3/Wirtschaftswachstum_Staatsverschuldung.pdf |titel=Lineares Wirtschaftswachstum – exponentielle Staatsverschuldung |seiten=4 |format=PDF; 345 kB |abruf=2024-04-06}}</ref>

Ein weiterer Aspekt ist, dass der [[Bedarf]] nicht ins Unermessliche steigt, sondern einen [[Sättigung (Wachstum)|Sättigungseffekt]] erfährt, der auch nicht durch entsprechende [[Wirtschaftspolitik]] kompensiert werden kann.<ref name="steiger-Exponentielles-Wachstum-realistisch" /> In die gleiche Richtung gehen Überlegungen in Bezug auf biologische Zusammenhänge beispielsweise durch Konkurrenz um Nahrung oder Platz. Bezogen auf die Weltbevölkerung thematisiert dies die Debatte um den [[ökologischer Fußabdruck|ökologischen Fußabdruck]] – sprich um die Tragfähigkeit der Erde mit dem relativ kleinen Verbrauch an [[Erneuerbare Energien|erneuerbare Ressourcen]] bezogen auf den Gesamtverbrauch an [[Ressource]]n.<ref>{{Internetquelle |autor=Donella Meadows, Jorgen Randers, Dennis Meadows |url=http://www.umweltethik.at/wp/wp-content/uploads/MeadowsExponentiellesWachstum.pdf |titel=Exponentielles Wachstum als treibende Kraft von Überschreitungen ökologischer Grenzen |format=PDF; 415 kB |abruf=2024-04-06}}</ref> Hier vernachlässigt das exponentielle Wachstumsmodell auch demographische Entwicklungen wie das Verhältnis zwischen Geburten- und Sterberate sowie das Verhältnis zwischen weiblicher und männlicher Bevölkerung.<ref>{{Internetquelle |autor=Thomas Kämpe |url=http://www.uni-ulm.de/fileadmin/website_uni_ulm/iui.inst.040/Informationsgesellschaft_und_Globalisierung_I/2008-10-20_-__TK__-_Weltbev%C3%B6lkerung.pdf |titel=Weltbevölkerung |format=PDF; 2,4 MB |offline=1 |abruf=2024-04-06}}</ref>

Wachstumsmodelle, die den Sättigungseffekt berücksichtigen, sind das [[Beschränktes Wachstum|beschränkte Wachstum]] und das [[Wachstum (Mathematik)#Logistisches Wachstum|logistische Wachstum]], während das Modell des [[Vergiftetes Wachstum|vergifteten Wachstums]] auch wachstumshemmende Faktoren in den Prozess mit einberechnet.

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Joachim Engel (Mathematiker)|Joachim Engel]]
|Titel=Anwendungsorientierte Mathematik: Von Daten zur Funktion. Eine Einführung in die mathematische Modellbildung für Lehramtsstudierende
|Verlag=Springer Verlag
|Ort=Heidelberg
|Datum=2010
|ISBN=978-3-540-89086-7
|Seiten=150–153}}
* {{Literatur
|Autor=Hermann Haarmann, Hans Wolpers
|Titel=Mathematik zur Erlangung der allgemeinen Hochschulreife. Nichttechnische Fachrichtungen
|Auflage=2.
|Verlag=Merkur Verlag
|Ort=Rinteln
|Datum=2012
|ISBN=978-3-8120-0062-8
|Seiten=272–274}}
* {{Literatur
|Autor=Klaus Schilling
|Titel=Analysis: Qualifikationsphase: Kerncurriculum Berufliches Gymnasium
|Verlag=Eins Verlag
|Ort=Köln
|Datum=2012
|ISBN=978-3-427-07770-1
|Seiten=249–257}}
* {{Literatur
|Autor=Walter Seifritz
|Titel=Wachstum, Rückkopplung und Chaos: Eine Einführung in die Welt der Nichtlinearität und des Chaos
|Verlag=Hansen Verlag
|Ort=München
|Datum=1987
|ISBN=3-446-15105-2
|Seiten=9–18}}

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Mathematrix: Kompass/ Exponential und Logarithmus Funktion/ Wachstum|<math>{\color{BlueViolet}\begin{smallmatrix}{\mathbf{MATHE} \mu \alpha T\mathbb R ix}\end{smallmatrix} }</math> Mathematik für die Schule|suffix=Exponentielles Wachstum}}
* {{MathWorld |id=ExponentialGrowth |title=Exponential Growth}}
* [https://www.zdf.de/3sat/3sat-wissenschaftdoku/211216-sendung-wido-102.html ''Exponentielles Wachstum verstehen: Das Prinzip Seerose '']. ZDF/3Sat, 2021 (Video, 43 Min.)

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Folgen und Reihen]]
[[Kategorie:Theorie der Differentialgleichungen]]
[[Kategorie:Wikipedia:Artikel mit Video]]

Exponentielles Wachstum - Versionsgeschichte

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