imported>Mathze: Die letzte Textänderung von ~2025-51886-0 wurde verworfen und die Version 258248674 von Aka wiederhergestellt.

2025-09-06T17:27:01Z

Die letzte Textänderung von ~2025-51886-0 wurde verworfen und die Version 258248674 von Aka wiederhergestellt.

Neue Seite

[[Datei:Euler's formula.svg|mini|Veranschaulichung am [[Einheitskreis]] in der [[Gaußsche Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]]]]
[[Datei:Euler's Formula c.png|mini|Dreidimensionale Darstellung der eulerschen Formel]]

Die '''eulersche Formel''' bzw. '''Eulerformel''', in manchen Quellen auch '''eulersche Relation''', ist eine [[Gleichung]], die eine grundsätzliche Verbindung zwischen den [[trigonometrische Funktion|trigonometrischen Funktionen]] und den komplexen [[Exponentialfunktion]]en mittels [[komplexe Zahlen|komplexer Zahlen]] herstellt. Sie wurde erstmals 1748 von [[Leonhard Euler]] veröffentlicht und hat zahlreiche Anwendungen in der Mathematik und den (angewandten) Naturwissenschaften.

== Eulersche Formel ==

Die eulersche Formel bezeichnet die für alle <math>y\in\mathbb R</math> gültige Gleichung

:<math>\mathrm{e}^{\mathrm{i}y} = \cos\left(y \right) + \mathrm{i}\,\sin\left( y\right)</math>,

wobei die Konstante <math>\mathrm{e}</math> die [[eulersche Zahl]] (Basis der [[Natürliche Exponentialfunktion|natürlichen Exponentialfunktion]] bzw. des [[Logarithmus|natürlichen Logarithmus]]) und die Einheit <math>\mathrm{i}</math> die [[imaginäre Einheit]] der komplexen Zahlen bezeichnen.

Als Folgerung aus der eulerschen Formel ergibt sich für alle <math>z = {x+\mathrm{i}y} \in\mathbb C</math> die Gleichung

:<math>\mathrm{e}^z = \mathrm{e}^{x+\mathrm{i}y} = \mathrm{e}^x \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}y} = \mathrm{e}^x \cdot \left(\cos\left( y \right) + \mathrm{i}\,\sin\left( y \right)\right)</math>.

== Herleitung mittels Reihenentwicklung ==
[[Datei:Euler's formula proof.gif|mini|hochkant=1.6|Animation der Herleitung der Eulerschen Formel]]
Die eulersche Formel lässt sich aus den [[Maclaurinsche Reihe|maclaurinschen Reihen]] (Taylorreihe mit Entwicklungsstelle <math>x_0 = 0</math>) der Funktionen <math>\mathrm{e}^y, \sin y</math> und <math>\cos y</math>, <math> y\in \mathbb R </math>, herleiten

:<math>\begin{align}
\mathrm{e}^{\mathrm{i} y} &= 1 + \mathrm{i} y + {(\mathrm{i} y)^2 \over 2!} + {(\mathrm{i} y)^3 \over 3!} + {(\mathrm{i} y)^4 \over 4!} + \dots\\
&= \left(1 - \frac{y^2}{2!} + \frac{y^4}{4!} - \dots \right) + \mathrm{i} \cdot \left(y - \frac{y^3}{3!} + \frac{y^5}{5!} - \dots \right)\\
&= \cos (y) + \mathrm{i}\cdot \sin (y)
\end{align}</math>

Die Umformungen basieren auf <math>\mathrm{i}^2=-1.</math>

== Eulersche Identität ==
[[Datei:ExpIPi.gif|mini|247px|Animation der Approximation von <math>\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}</math> durch den Ausdruck <math>\lim_{n \rightarrow \infty}(1 + \mathrm{i}\pi/n)^n</math>. Die Punkte stellen jeweils für ein <math>n</math> die Werte <math>(1 + \mathrm{i}\pi/n)^j</math> mit <math>j=0,\dots,n</math> dar.]]

Für <math>y = \pi</math> ergibt sich aus der eulerschen Formel die sogenannte '''eulersche Identität'''
:<math>\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi} = {-1}</math>,
die einen einfachen Zusammenhang zwischen vier der bedeutendsten [[Mathematische Konstante|mathematischen Konstanten]] herstellt: der [[Eulersche Zahl|eulerschen Zahl]] <math>\mathrm{e}</math>, der [[Kreiszahl]] <math>\mathrm{\pi}</math>, der imaginären Einheit <math>\mathrm{i}</math> sowie der reellen Einheit <math>1</math>. Die folgende umgeformte Variante der Gleichung wird bisweilen – obwohl komplizierter – bevorzugt, da in ihr mit der [[Null]] noch eine weitere mathematisch bedeutende Konstante hinzukommt:
:<math>\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}+1=0</math>.
Sie wird auch als die „schönste Formel der Mathematik“ bezeichnet, da sie neben den erwähnten fünf bedeutendsten Konstanten auch noch die drei Grundrechenarten „plus“, „mal“ und „hoch“ enthält sowie das wichtigste Zeichen der Mathematik, das [[Gleichheitszeichen]].

Eine weitere Version der Formel lautet
:<math>\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\tau}{2}} = -1</math> bzw. <math>\mathrm{e}^{\mathrm{i}\tau} = 1</math>,
mit der [[Kreiszahl#Alternative Kreiszahl τ|alternativen Kreiszahl]] <math>\tau</math>.

Erweitert man die Definition des Zahlenwerts von <math>\mathrm{e}^z</math> als Grenzwert <math>\textstyle \lim_{n \rightarrow \infty}(1 + z/n)^n</math> auf die komplexe Zahlenebene mit <math>z\in\mathbb C</math>, so ergibt sich dementsprechend für <math>z = \mathrm{i}\pi</math> der Wert <math>{-1}</math>. Die nebenstehende Animation zeigt die zu einem [[Polygonzug (Mathematik)|Streckenzug]] in der komplexen Ebene verbundenen Zwischenergebnisse der Berechnung des Ausdrucks <math>(1+\mathrm{i}\pi/n)^n</math>: Sie veranschaulicht, dass dieser Streckenzug für wachsendes <math>n</math> die Form eines Kreisbogens annimmt, dessen linkes Ende sich tatsächlich der Zahl <math>{-1}</math> auf der reellen Achse nähert.

== Beziehung zwischen Exponentialfunktionen und trigonometrischen Funktionen ==
[[Datei:Sine Cosine Exponential qtl1.svg|mini|Beziehung zwischen Sinus, Kosinus und Exponentialfunktion]]

=== Formulierung ===
Die eulersche Formel ist ein zentrales Bindeglied zwischen [[Analysis]] und [[Trigonometrie]]:

: <math>\sin x = \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}}{2\mathrm{i}}, \quad \cos x = \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}}{2}</math>.

=== Herleitung ===
[[Sinus und Kosinus]] ergeben sich aus Realteil und Imaginärteil der komplexen Exponentialfunktion.

Den Realteil erhält man, indem man eine [[komplexe Zahl]] <math>z</math> mit der [[Komplex konjugiert|Konjugierten]] <math>\bar z</math> addiert und durch zwei dividiert:
:<math>\cos(x) = \mathrm{Re}(\mathrm{e}^{\mathrm ix}) = \frac{\mathrm{e}^{\mathrm ix} + \mathrm{e}^{-\mathrm ix}}{2}</math>.
Den Imaginärteil erhält man, indem man <math>\frac{z - \bar z}{2\mathrm i}</math> berechnet:
:<math>\sin(x) = \mathrm{Im}(\mathrm{e}^{\mathrm ix}) = \frac{\mathrm{e}^{\mathrm ix} - \mathrm{e}^{-\mathrm ix}}{2 \mathrm i}</math>.

=== Erläuterung ===
Die Eulerformel erlaubt eine völlig neue Sicht auf die trigonometrischen Funktionen, da die in der herkömmlichen Trigonometrie allein mit reellen Argumenten verwendeten Funktionen [[Sinus]] und [[Kosinus]] nun auch noch eine Bedeutung in der komplexen Analysis erhalten.

Die Formeln für Real- und Imaginärteil ergeben sich durch:
: <math>\begin{align}
\mathrm{Re}(a+b\,\mathrm i) = \frac{z + \bar z}{2} = \frac{(a+b\mathrm i) + (a-b \,\mathrm i)}{2} = \frac{2a}{2} = a,
\\
\mathrm{Im}(a+b\,\mathrm i) = \frac{z - \bar z}{2\mathrm i} = \frac{(a+b\, \mathrm i) - (a-b \,\mathrm i)}{2\mathrm i} = \frac{2b\mathrm i}{2\mathrm i} = b
\end{align}</math>
Eine Folge der Verbindung von trigonometrischen Funktionen und Exponentialfunktion aus der Eulerformel ist der [[Moivrescher Satz|Moivresche Satz]] (1730).

=== Hyperbelfunktionen ===
Versieht man die Sinus und Kosinus mit imaginären Argumenten, wird dadurch eine Brücke zu den [[Hyperbelfunktion]]en geschlagen:

:<math> \sin(\mathrm{i}y) = {\mathrm{e}^{-y} - \mathrm{e}^{y} \over 2\mathrm{i}} = \mathrm{i} \, \frac{\mathrm{e}^y - \mathrm{e}^{-y}}{2} = \mathrm{i}\, \sinh(y)</math>

:<math> \cos(\mathrm{i}y) = \frac{\mathrm{e}^{-y} + \mathrm{e}^{y}}{2}= \frac{\mathrm{e}^y + \mathrm{e}^{-y}}{2} = \cosh(y) </math>

Wie zu sehen, entsprechen die beiden erhaltenen Funktionen genau den Definitionen des [[Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus]].

== Weitere Anwendungen ==
[[Datei:Spannung Zeiger.svg|mini|Zeigerdarstellung einer Wechselspannung in der komplexen Ebene]]
Ausgehend davon findet die eulersche Formel auch zur Lösung zahlreicher anderer Probleme Anwendung, etwa bei der Berechnung der [[Potenz (Mathematik)|Potenz]] <math>\mathrm{i}^{\mathrm i}</math> der imaginären Einheit mit sich selbst. Obwohl das erhaltene Resultat mehrdeutig ist, bleiben alle Einzellösungen im reellen Bereich mit einem [[Logarithmus#Komplexer Logarithmus|Hauptwert]] von <math>\mathrm{i}^{\mathrm i} = \mathrm{e}^{-\pi/2} = 0{,}207\,879\dots</math>

Eine praktisch wichtige Anwendung der eulerschen Formel findet sich im Bereich der [[Wechselstrom]]technik, namentlich bei der Untersuchung und [[Komplexe Wechselstromrechnung|Berechnung von Wechselstromkreisen]] mit Hilfe komplexer Zahlen.

== Geschichte ==
Die eulersche Formel erschien erstmals 1748 in [[Leonhard Euler]]s zweibändiger ''[[Introductio in analysin infinitorum]]'' unter der Voraussetzung, dass der Winkel eine [[reelle Zahl]] ist. Diese Einschränkung jedoch erwies sich bald als überflüssig, denn die eulersche Formel gilt gleichermaßen für alle reellen wie komplexen Argumente. Dies ergibt sich aus der eulerschen Formel mit reellem Argument in Verbindung mit dem [[Identitätssatz für holomorphe Funktionen]].

Zuvor hatte [[Roger Cotes]] 1714 einen fehlerhaften mathematischen Zusammenhang veröffentlicht, welcher der eulerschen Formel ähnelt.<ref>{{Literatur |Autor=Roger Cotes |Titel=Logometria |TitelErg=Philosophical Transactions of the Royal Society of London, |Hrsg= |Sammelwerk= |Band= |Nummer= |Auflage= |Verlag= |Datum=1714 |Sprache=la |ISBN= |Seiten=32 |Online=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=ucm.5324351035&view=2up&seq=38}}</ref>

In moderner Notation sieht er folgendermaßen aus:
: <math>\mathrm i \cdot r \cdot \ln(\cos(\varphi) + \mathrm i \sin(\varphi)) = r \cdot \varphi \quad \text{(sic!)}</math>,
wobei ein im Koordinatenursprung fixierter Kreis mit Radius <math>r</math> und ein Winkel <math>\varphi</math> zwischen <math>x</math>-Achse und einem Strahl, der den Ursprung schneidet, betrachtet werden. Die imaginäre Einheit <math>\mathrm i</math> müsste auf der anderen Seite der Gleichung stehen.

== Siehe auch ==
* [[Fourier-Analysis]]
* [[Kreisgruppe]]

== Literatur ==
* [[Konrad Königsberger]]: ''Analysis 1''. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Trigonometrie]]
[[Kategorie:Leonhard Euler als Namensgeber]]

Eulersche Formel - Versionsgeschichte

imported>Mathze: Die letzte Textänderung von ~2025-51886-0 wurde verworfen und die Version 258248674 von Aka wiederhergestellt.