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2022-07-03T09:57:32Z

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'''Endliche Gruppen''' treten im [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Gruppentheorie]] auf. Eine [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] <math>(G,*)</math> heißt endliche Gruppe, wenn <math>G</math> eine [[endliche Menge]] ist, also eine endliche Anzahl von Elementen hat.

== Axiome ==
Die Annahme der Endlichkeit ermöglicht ein vereinfachtes Axiomensystem:<ref>[[Van der Waerden]]: ''Algebra I.'' Springer, 1971, 8. Auflage, S. 15–17.</ref>

Ein Paar <math>(G,*)</math> mit einer endlichen [[Mengenlehre|Menge]] <math>G</math> und einer [[zweistellige Verknüpfung|inneren zweistelligen Verknüpfung]] <math>*\colon G\times G\to G</math> heißt ''Gruppe,'' wenn folgende [[Axiom]]e erfüllt sind:

* ''[[Assoziativgesetz|Assoziativität]]:'' Für alle Gruppenelemente <math>a, b, c</math> gilt <math>(a * b) * c = a * (b * c)</math>,

* ''[[Kürzbarkeit|Kürzungsregel]]:'' Aus <math>a * x = a * x'</math> oder <math>x * a = x' * a</math> folgt <math>x = x'</math>.

Aus der Kürzungsregel folgt, dass die Links- und Rechtsmultiplikationen <math>x\mapsto a * x</math> und <math>x\mapsto x * a</math> [[Injektivität|injektiv]] sind, woraus wegen der Endlichkeit auch die [[Surjektivität]] folgt. Daher gibt es ein <math>x</math> mit <math>a * x = a</math>, was zur Existenz des [[Neutrales Element|neutralen Elementes]] <math>e</math> führt, und dann ein <math>x</math> mit <math>a * x = e</math>, was die Existenz der [[Inverses Element|inversen Elemente]] zeigt.

== Endliche Untergruppe ==
Die allgemeine Bedingung, dass eine nichtleere Menge <math>S\subseteq G</math> eine [[Untergruppe]] der Gruppe <math>G</math> ist,

:S1: <math>\quad a, b \in S \Rightarrow a * b \in S</math>

:S2: <math>\quad a \in S \Rightarrow a^{-1} \in S</math>

vereinfacht sich ebenfalls, da S2 aus S1 folgt: Wenn <math>S</math> endlich ist, muss jedes Element <math>a</math> von <math>S</math> eine endliche Ordnung <math>n</math> besitzen, woraus <math>a^n = e</math> folgt. Das bedeutet aber, dass <math>a^{n-1} = a^{-1}</math> bereits in <math>S</math> ist. Eine nichtleere endliche Teilmenge <math>S</math> einer beliebigen Gruppe ist also genau dann eine Untergruppe, wenn für alle <math>a,b \in S</math> auch <math>a * b</math> in <math>S</math> liegt.

== Einfache Gruppen ==
{{Hauptartikel|Endliche einfache Gruppe}}
Jede endliche Gruppe ist [[Reihe (Gruppentheorie)#Kompositionsreihe|zusammengesetzt]] aus einer endlichen Anzahl von [[Endliche einfache Gruppe|endlichen einfachen Gruppen]]. Jedoch kann diese Zusammensetzung kompliziert sein. Trotz Kenntnis der Bausteine (der einfachen Gruppen) ist man noch weit davon entfernt, alle endlichen Gruppen zu kennen.

Obwohl die endlichen einfachen Gruppen seit 1982 als vollständig klassifiziert galten, schlossen Mathematiker um Aschbacher die Klassifikation erst im Jahre 2002 mit einem 1200 Seiten langen Beweis ab:<ref>Aschbacher, Smith: ''The classification of quasithin groups.'' AMS.</ref>
* Fast alle dieser Gruppen lassen sich einer von 18 [[Endliche einfache Gruppe|Familien endlicher einfacher Gruppen]] zuordnen.
* Es existieren 26 Ausnahmen. Diese Gruppen werden als [[sporadische Gruppe|sporadische Gruppen]] bezeichnet.

== Beispiele ==
* Endliche Gruppen sind etwa die [[Zyklische Gruppe|zyklischen Gruppen]] bis auf die unendliche zyklische Gruppe oder die [[Permutationsgruppe|Permutationsgruppen]] (''siehe:'' [[Symmetrische Gruppe]], [[Alternierende Gruppe]]) endlicher Mengen.
* [[Diedergruppe]]n und [[Quasi-Diedergruppe]]n
* Zu den sporadischen Gruppen zählen die [[Conway-Gruppe]], das [[Baby-Monstergruppe|Babymonster]] und die [[Monstergruppe]] (mit fast 10<sup>54</sup> Elementen die größte sporadische Gruppe).

== Anwendungen ==
Symmetrien von Körpern, namentlich in der Molekülphysik, werden durch [[Punktgruppe]]n beschrieben; Symmetrien von Kristallen durch 230 verschiedene [[Raumgruppe]]n.

== Siehe auch ==
* [[Liste kleiner Gruppen]]
* [[Endliche p-Gruppe]]

== Weblinks ==
* {{MathWorld|id = FiniteGroup|title = Finite Group}}

== Literatur ==
* [[Hans Kurzweil]], [[Bernd Stellmacher]]: ''Theorie der endlichen Gruppen. Eine Einführung.'' Springer-Verlag, ISBN 3-540-60331-X, {{doi|10.1007/978-3-642-58816-7}}.
* [[Bertram Huppert]]: ''Endliche Gruppen.'' Band 1, Springer Verlag 1967.
* B. Huppert, N. Blackburn: ''Finite Groups.'' Band 2, 3, Springer-Verlag, 1982.
* [[Daniel Gorenstein]]: ''Finite Groups.'' Harper and Row, 1968.
* [[Michael Aschbacher]]: ''Finite Group Theory.'' Cambridge University Press, 1986.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Endliche Gruppe| ]]

Endliche Gruppe - Versionsgeschichte

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