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2025-02-24T20:06:50Z

Kapazität bestimmter Elektrodengeometrien: links

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{{Dieser Artikel|behandelt die physikalische Größe aus der Elektrostatik. Zur Kapazität einer Batterie siehe [[Kapazität (galvanische Zelle)]].}}
{{Infobox Physikalische Größe
|Name=Elektrische Kapazität
|Formelzeichen=<math>C</math>
|SI=[[Farad|F]]
|SI-Dimension=[[Masse (Physik)|M]]−1·[[Länge (Physik)|L]]−2·[[Zeit|T]]4·[[Stromstärke|I]]2
|Gauß=[[Zentimeter|cm]]
|Gauß-Dimension=[[Länge (Physik)|L]]
|esE= [[Zentimeter|cm]]
|esE-Dimension= [[Länge (Physik)|L]]
|emE= [[abFarad|abF]]
|emE-Dimension= [[Länge (Physik)|L]]·[[Zeit|T]]2
|Planck=
|Planck-Dimension=
|Astro=
|Astro-Dimension=
}}
Die '''elektrische Kapazität''' (Formelzeichen <math>C</math>, von {{laS|capacitas|de=Fassungsvermögen}}; Adjektiv '''kapazitiv''') ist eine [[physikalische Größe]] aus dem Bereich der [[Elektrostatik]] und damit aus dem Gebiet der Elektrotechnik.

Die elektrische Kapazität zwischen zwei [[Elektrischer Leiter|elektrisch leitenden]], aber voneinander isolierten Körpern ist gleich dem Verhältnis der [[Elektrische Ladung|Ladungsmenge]] <math>Q</math>, die auf diesen Leitern gespeichert ist (<math>+Q</math> auf dem einen und <math>-Q</math> auf dem anderen), und der zwischen ihnen herrschenden [[Elektrische Spannung|elektrischen Spannung]] <math>U</math>:<ref name="DIN">DIN 40110-1:1994: ''Wechselstromgrößen''</ref><ref>IEC 60050, deutschsprachige Ausgabe bei [https://www.dke.de/de/services/iev-woerterbuch/iev-schablonen-detailseite?id=41337&type=dke%7Ciev DKE Deutsche Kommission Elektrotechnik Elektronik Informationstechnik in DIN und VDE: ''Internationales Elektrotechnisches Wörterbuch''], IEV-Nummer 131-12-13</ref>

:<math>C = \frac Q U</math>

Gemessen wird sie in der SI-Einheit [[Farad]].

Die Kapazität resultiert aus der [[Permittivität|Dielektrizitätskonstante]] des isolierenden Mediums sowie der Gestalt der Körper, dazu zählt auch der Abstand.

Bei [[Akkumulator]]en sowie [[Batterie (Elektrotechnik)|Batterien]] benutzt man den Begriff „[[Kapazität (galvanische Zelle)|Kapazität]]“ für die maximale Ladungsmenge <math>Q</math>, die in ihnen gespeichert werden kann. Sie wird in der Einheit [[Amperestunde]]n (Einheitenzeichen Ah) angegeben. Diese „Kapazität“ der [[elektrische Ladung|elektrischen Ladung]] hat nichts mit der hier dargestellten elektrischen Kapazität zu tun.

== Kapazität eines Kondensators ==
Eine technische Anwendung findet die Kapazität in Form von [[Kondensator (Elektrotechnik)|elektrischen Kondensatoren]], die durch die Angabe einer bestimmten Kapazität charakterisiert werden. Der Begriff „Kapazität“ wird umgangssprachlich auch synonym für das elektrische Bauelement Kondensator selbst ({{enS|capacitor}}) verwendet.
Ein Kondensator ist eine Leiteranordnung mit zwei [[Elektrode]]n zur getrennten Speicherung von [[Elektrische Ladung|elektrischer Ladung]] <math>+Q</math> und <math>-Q</math>. In physikalischer Sicht rührt der [[Elektrischer Fluss|elektrische Fluss]] <math>\Psi</math> von den getrennten elektrischen Ladungen <math>+Q</math> und <math>-Q</math> her, die von der externen [[Spannungsquelle]] mit der Spannung <math>U</math> auf die Elektroden transportiert werden, womit sich:

: <math>Q = C \cdot U</math>

ergibt. Formal erfolgt dieser Zusammenhang über das [[Gaußsches Gesetz|Gaußsche Gesetz]]. Die elektrische Kapazität eines Kondensators kann dann als das Verhältnis der Ladungsmenge <math>Q</math> zur angelegten [[Elektrische Spannung|Spannung]] <math>U</math> ausgedrückt werden:

: <math>C = \frac{Q}{U}</math>.

Dabei ist <math>C</math> üblicherweise eine konstante Kenngröße, die sich wie folgt ergibt.

Ein Körper, auf den eine positive elektrische Ladung gegeben wird, hat dadurch ein [[elektrisches Feld]], das der Bewegung einer weiteren positiven elektrischen Ladung auf den Körper entgegenwirkt. Befindet sich nun aber ein Körper in der Nähe, der negativ geladen ist, so wird das abstoßende elektrische Feld des positiven Körpers geschwächt (die auf den Körper zu bewegende positive Ladung spürt auch die Kraft der anziehenden negativen Ladung). Damit wird weniger Spannung benötigt, um die weitere positive Ladung auf den bereits positiv geladenen Körper zu bewegen, als ohne den zweiten, negativ geladenen Körper. Der erste Körper hat also eine höhere Kapazität. Das Gleiche gilt natürlich auch für den zweiten Körper. Die Abschwächung des elektrischen Feldes durch den einen geladenen Körper auf den anderen geladenen Körper wird beeinflusst durch deren Geometrie und die [[Permittivität]] des isolierenden Mediums zwischen den beiden Körpern.

In einer vereinfachten Analogie entspricht die Kapazität dem Volumen eines Druckluftbehälters mit konstanter Temperatur. Der [[Luftdruck]] ist dabei analog zur Spannung <math>U</math> und die Luftmenge analog zur Ladungsmenge <math>Q</math>. Daher ist die Ladungsmenge im Kondensator proportional zur Spannung.

Diese Gesetzmäßigkeit gilt auch für die sogenannte [[Pseudokapazität]], einer innerhalb enger Grenzen spannungsabhängigen [[Elektrochemie|elektrochemischen]] bzw. [[Faradaysche Gesetze|faradayschen]] Speicherung elektrischer Energie, die mit in einer [[Redoxreaktion]] und mit einem Ladungsaustausch an Elektroden von [[Superkondensator]]en verbunden ist, wobei allerdings im Gegensatz zu [[Akkumulator]]en an den Elektroden keine chemische Stoffänderung eintritt.

Unter anderem die [[Physikalisch-Technische Bundesanstalt]] (PTB) befasst sich mit [[Kapazitätsnormal]]en.

== Einheiten ==
=== SI-Einheit ===
Die elektrische Kapazität wird in der [[SI-Einheit]] [[Farad]] gemessen, die nach dem englischen Physiker und Chemiker [[Michael Faraday]] benannt wurde. Ein Farad (1 F) ist diejenige Kapazität, die beim Anlegen einer Spannung von 1 [[Volt]] eine Ladungsmenge von 1 [[Coulomb]] (1 C = 1 As) speichert:

:<math>[C]=\frac{[Q]}{[U]} = \frac{1\,\mathrm{C}}{1\,\mathrm{V}} = \frac{1\,\mathrm{As}}{1\,\mathrm{V}} = 1\,\mathrm{F}</math>

Ein Kondensator der Kapazität 1 Farad lädt sich bei einem konstanten Ladestrom von 1 [[Ampere]] in 1 [[Sekunde]] auf die [[Elektrische Spannung|Spannung]] 1 [[Volt]] auf.

=== CGS-Einheit ===
[[Datei:Kondensator cgs cm.jpg|mini|Papierkondensator mit der Kapazität ''5000 cm''.]]
Bis Mitte des 20. Jahrhunderts wurde die Kapazität von Kondensatoren häufig mit der Kapazitätseinheit ''cm'' beschriftet. Diese Angabe in Zentimetern rührt daher, dass die Kapazität im heute praktisch kaum noch gebrauchten [[Gaußsches Einheitensystem|Gaußschen Einheitensystem]] in der Längendimension ausgedrückt wird. So weist eine Metallkugel mit 5 cm Radius gegenüber einer sich im Unendlichen befindlichen Gegenelektrode eine Kapazität von 5 cm auf.

Das Foto zeigt einen Papierkondensator der Marke ''SATOR'' der ehemaligen Firma ''[[Johann Kremenezky|Kremenezky]], Mayer & Co'' aus dem Jahr 1950 mit einer Kapazität von 5000 cm. Das entspricht der Kapazität einer Metallkugel von 5000 cm Radius. Dargestellt im heute üblichen [[SI-Einheitensystem]] sind das ca. 5,6 nF.

Eine Kapazität von 1 cm im Gaußschen Einheitensystem entspricht ca. 1,11 pF im SI-Einheitensystem. Der Umrechnungsfaktor beträgt {c}2·10−9 ≈ {{ZahlExp|9|11}}, wobei {c} der Zahlenwert der [[Lichtgeschwindigkeit]] ausgedrückt in cm/s ist.

== Kapazität bestimmter Elektrodengeometrien ==
Für die Kapazität einer Reihe von einfachen Elektrodenformen (grau dargestellt) gibt es analytische Lösungen oder konvergente Reihenentwicklungen. Die folgende Tabelle zeigt einige Beispiele. Darin bezeichnet '''A''' die Fläche der Elektroden, '''d''' deren Abstand, '''l''' deren Länge, <math>R_1</math> sowie <math>R_2</math> deren [[Radius|Radien]].

Die Konstante <math>\varepsilon=\varepsilon_0 \varepsilon_\mathrm{r}</math> ist die [[Permittivität]] (dielektrische Leitfähigkeit) des blau dargestellten [[Dielektrikum]]s. Dabei ist <math>\varepsilon_0</math> die [[elektrische Feldkonstante]] und <math>\varepsilon_\mathrm{r}</math> die Permittivitätszahl, eine stoffabhängige Größe (<math>\varepsilon_\mathrm{r}=1</math> im Vakuum).

{| class="wikitable"
|- class="hintergrundfarbe6"
! Bezeichnung
! Kapazität
!width="200"| Schematische Darstellung
|-
|[[Plattenkondensator]] ||style="background:#FFFFFF"|<math>C = \varepsilon \cdot \frac{A}{d}</math>
|style="text-align:center"| [[Datei:Plate CapacitorII.svg|155px]]
|-
|[[Plattenkondensator]] unterschiedlich große Platten<ref name="basf-1913">
{{Internetquelle
|autor=
|url=https://physics.stackexchange.com/questions/302875/what-is-the-capacitance-of-a-parallel-plate-capacitor-with-different-areas
|titel=capacitance of a parallel plate capacitor with different areas
|werk=
|datum=2017
|sprache=en
|abruf=2021-09-21}}
</ref> ||style="background:#FFFFFF"|<math>C = \frac{2 \varepsilon}{d} \cdot \frac{A_1 A_2}{A_1 + A_2}</math>
|style="text-align:center"|
|-
|[[Koaxialkabel]] oder [[Zylinderkondensator]] ||style="background:#FFFFFF"| <math>C=2\pi \varepsilon \, \frac{l}{\ln\!\left(\frac{R_2}{R_1}\right)}</math>
|style="text-align:center"| [[Datei:Cylindrical CapacitorII.svg|160px]]
|-
|[[Kugelkondensator]] ||style="background:#FFFFFF"| <math>C= \frac{4 \pi \varepsilon}{\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}}</math>
|align="center" rowspan="2"| [[Datei:Spherical Capacitor.svg|100px]]
|-
|[[Kugel]], Gegenelektrode mit <math>R_2</math> gegen unendlich ||style="background:#FFFFFF"| <math>C = 4 \pi \varepsilon \cdot R_1</math>
|-
|Parallele Zylinder ([[Lecher-Leitung]]) ||style="background:#FFFFFF"| <math>C = \frac{\pi \varepsilon l}{\operatorname{arcosh}\left(\frac {d}{2R}\right)}</math>
|style="text-align:center"| [[Datei:Lecher-Leitung.svg|160px]]
|-
|Ein Leiter parallel über ebener Fläche. ||style="background:#FFFFFF"| <math>C = \frac{2\pi \varepsilon l}{\operatorname{arcosh}\left( \frac{d}{R}\right) }</math>
|style="text-align:center"| [[Datei:Cylindrical wire parallel to wall.svg|160px]] <math>d > R</math>
|-
| Zwei Kugeln mit identischem Radius <math>a</math><ref name="Maxwell 1873 266 ff">{{Literatur| Autor=James Clerk Maxwell |Titel=A Treatise on Electricity and Magnetism |Datum=1873 |Ort=Dover |Seiten=266 ff |ISBN=0-486-60637-6 |Sprache=en}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=A. D. Rawlins |Titel=Note on the Capacitance of Two Closely Separated Spheres |Sammelwerk=IMA Journal of Applied Mathematics |Band=34 |Nummer=1 |Seiten=119–120 |Datum=1985 |DOI=10.1093/imamat/34.1.119 |Sprache=en}}</ref> ||style="background:#FFFFFF"| <math>C = 2\pi \varepsilon a\sum_{n=1}^{\infty }\frac{\sinh \left( \ln \left( D+\sqrt{D^2-1}\right) \right) }{\sinh \left( n\ln \left( D+\sqrt{ D^2-1}\right) \right) } </math> <math>=2\pi \varepsilon a\left\{ 1+\frac{1}{2D}+\frac{1}{4D^2}+\frac{1}{8D^{3}}+\frac{1}{8D^{4}}+\frac{3}{32D^{5}} + \mathcal{O}\left( \frac{1}{D^{6}}\right) \right\}</math> <math>=2\pi \varepsilon a\left\{ \ln 2+\gamma -\frac{1}{2}\ln \left( 2D-2\right) + \mathcal{O}\left( 2D-2\right) \right\}</math>
|style="text-align:center"| [[Datei:Two Spherical Capacitance.svg|160px]] 
<math>d</math>: Abstand der Kugeln, <math>d > 2a</math> <math>D</math>: <math>d/2a > 1</math> <math>\gamma</math>: [[Euler-Mascheroni-Konstante]]
|-
| Kreisscheibe<ref name="Jackson 1975 128">{{Literatur |Autor=[[John David Jackson (Physiker)|J.D. Jackson]]|Titel=[[Classical Electrodynamics]] |Datum=1975 |Verlag=Wiley |Seiten=128, problem 3.3|Sprache=en}}</ref> gegen unendlich ||style="background:#FFFFFF"| <math> C = 8\varepsilon a </math>
|style="text-align:center"| [[Datei:Circular Disc Capacitance.svg|80px]] <math>a</math>: Radius
|-
| Gerades Drahtstück (langer Zylinder)<ref>{{Literatur |Autor=James Clerk Maxwell |Titel=On the electrical capacity of a long narrow cylinder and of a disk of sensible thickness |DOI=10.1112/plms/s1-9.1.94 |Sammelwerk=Proc. London Math. Soc. |Band=IX |Seiten=94–101 |Datum=1878 |Sprache=en}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=L. A. Vainshtein |Titel=Static boundary problems for a hollow cylinder of finite length. III Approximate formulas |Sammelwerk=Zh. Tekh. Fiz. |Band=32 |Seiten=1165–1173 |Datum=1962 |Sprache=en}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=J. D. Jackson |Titel=Charge density on thin straight wire, revisited |Sammelwerk=Am. J. Phys |Band=68 |Nummer=9 |Seiten=789–799 |Datum=2000|DOI=10.1119/1.1302908 |bibcode = 2000AmJPh..68..789J |Sprache=en}}</ref> gegen unendlich ||style="background:#FFFFFF"| <math> C = \frac{2\pi \varepsilon l}{\Lambda }\left\{ 1+\frac{1}{\Lambda }\left( 1-\ln 2\right) +\frac{1}{\Lambda ^{2}}\left[ 1+\left( 1-\ln 2\right) ^{2}-\frac{\pi ^{2}}{12}\right] + \mathcal{O}\left(\frac{1}{\Lambda ^{3}}\right) \right\} </math>
|style="text-align:center"| [[Datei:Cylindrical wire to infinity.svg|160px]] <math>l</math>: Länge <math>a</math>: Drahtradius <math>\Lambda</math>: <math>\ln (l/a)</math>
|}

Dabei bezeichnet das [[Landau-Symbole|Landau-Symbol]] <math>\mathcal{O}</math> den Fehlerterm der [[Approximation]].

== Berechnungen ==
[[Datei:Allgemeine Kapazitaet2.png|mini|Allgemeine Situation zur Kapazitätsbestimmung]]
Folgende allgemeine Gleichungen für die Bestimmung der Kapazität gelten für die jeweils zeitabhängigen Größen Strom <math>i(t)</math>, Spannung <math>u(t)</math> und Ladung <math>q(t)</math> an einer konstanten elektrischen Kapazität <math>C</math>:

:<math> i(t) = \frac{\mathrm dq(t)}{\mathrm dt} = C \cdot \frac{\mathrm du(t)}{\mathrm dt}</math>
:<math> u(t) = \frac{1}{C} \cdot \int i(t) \, \mathrm dt</math>

Ein Ausdruck für die Kapazität einer beliebigen Elektrodenanordnung oder Ladungsverteilung lässt sich mittels des [[Gaußscher Integralsatz|Gaußschen Satzes]] herleiten:

:<math>C = \frac{Q}{U} =\frac{ \oint_{A} \vec D \cdot \mathrm d \vec{A}} {\int_s \vec E \cdot \mathrm d \vec {s}} </math>
Dabei beträgt die [[Elektrische Flussdichte|dielektrische Verschiebung]] <math> \vec D = \varepsilon_0 \cdot \varepsilon_\mathrm r \cdot \vec E </math>, also:
:<math>C = \varepsilon_0 \cdot \varepsilon_\mathrm r \cdot \frac{ \oint_{A} \vec E \cdot \mathrm d \vec {A}} {\int_s \vec E \cdot \mathrm d \vec {s}} </math>

Für ein Vakuum vereinfacht sich diese Gleichung wegen <math> \varepsilon_r = 1 </math> zu:

:<math>C = \varepsilon_0 \cdot \frac{ \oint_{A} \vec E \cdot \mathrm d \vec A }{\int_s \vec E \cdot \mathrm d \vec s} </math>

Eine Berechnung der Kapazität erfordert die Kenntnis des elektrischen Feldes. Hierfür ist die [[Laplace-Gleichung]] <math>\nabla^2\varphi=0</math> mit einem konstanten Potential <math>\varphi</math> auf den Leiteroberflächen zu lösen. In komplizierteren Fällen existiert keine geschlossene Form der Lösung.

== Messung ==
Das Messen der Kapazität dient nicht nur der Kontrolle der Kapazität eines Kondensators (Bauteil), sondern wird beispielsweise in kapazitiven [[Abstandssensor]] zur Abstandsbestimmung herangezogen. Auch weitere Sensoren (Druck, Feuchte, Gase) beruhen oft auf einer Kapazitätsmessung.

Entsprechend den oben genannten Zusammenhängen kann die Kapazität folgendermaßen bestimmt werden:
* Laden mit konstantem Strom und Beobachten der [[Spannungsanstiegsgeschwindigkeit]]
* Messen der [[Resonanzfrequenz]] eines mit der Kapazität gebildeten LC-[[Schwingkreis]]es
* Anlegen einer Wechselspannung und Messen des Stromverlaufes
Insbesondere das letztgenannte Verfahren wird in [[Wechselspannungsbrücke|Kapazitätsmessgeräten]] angewendet, wobei nicht nur die Größe des Stromes, sondern auch seine Phasenlage zur Spannung erfasst wird. Auf diese Weise können auch die [[elektrische Impedanz]] und der [[Verlustwinkel]] bzw. der [[Gütefaktor]] des Kondensators bestimmt werden.

== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=Karl Küpfmüller, Wolfgang Mathis, Albrecht Reibiger |Titel=Theoretische Elektrotechnik : Eine Einführung |Auflage=18 |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2008 |ISBN=978-3-540-78589-7}}

== Einzelnachweise und Anmerkungen ==
<references />

{{SORTIERUNG:Elektrische Kapazitat}}
[[Kategorie:Elektrische Größe|Kapazitat]]
[[Kategorie:Elektrostatik]]
[[Kategorie:Physikalische Größenart]]

Elektrische Kapazität - Versionsgeschichte

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