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2024-09-24T19:31:51Z

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In der [[Algebra]], einem [[Mathematik#Inhalte und Teilgebiete|Teilgebiet der Mathematik]], wird ein [[Inverses Element|invertierbares]] Element eines [[Monoid]]s als '''Einheit''' bezeichnet. Einheiten werden vor allem in [[unitärer Ring|unitären Ringen]] betrachtet.

== Definition ==
Sei <math>(M,\cdot, 1)</math> ein [[Monoid]], wobei mit <math>1</math> das [[Neutrales Element|neutrale Element]] bezeichnet wird.
Dann heißt ein Element <math>a\in M</math> eine Einheit, wenn es invertierbar ist, also wenn es ein <math>b\in M</math> gibt mit
:<math>a\cdot b=b\cdot a=1</math>.
Das Element <math>b</math> mit dieser Eigenschaft ist eindeutig bestimmt und wird als das ''inverse Element'' von <math>a</math> bezeichnet und oft als <math>a^{-1}</math> notiert.<ref>Karpfinger, Meyberg: ''Algebra'' 2013, S. 9</ref>

Elemente, die keine Einheiten sind, werden oft als ''Nichteinheiten'' bezeichnet.

Die Menge <math>M^\ast</math> aller Einheiten eines Monoids, also
:<math>M^\ast:=\{x \in M \mid x \text{ ist Einheit}\},</math>
bildet eine [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]], die ''[[Einheitengruppe]]'' von <math>M</math>.<ref>Karpfinger, Meyberg: ''Algebra'' 2013, Lemma 2.4</ref> Eine weitere übliche Bezeichnung für die Einheitengruppe ist <math>M^\times</math>.

== Spezialfall: Einheiten in unitären Ringen ==
Sei <math>(R,+,\cdot,0,1)</math> ein [[unitärer Ring]], also ein Ring mit einem neutralen Element bezüglich der Multiplikation, das mit <math>1</math> bezeichnet wird. Dann ist <math>(R,\cdot, 1)</math> ein Monoid und damit ist der Begriff der ''Einheit'' für einen unitären Ring definiert und ist gerade die Menge der invertierbaren Elemente.<ref>Karpfinger, Meyberg: ''Algebra'' 2013, 13.3</ref>

== Beispiele ==
* <math>1</math> ist immer eine Einheit, denn <math>1 \cdot 1 = 1</math>.
* <math>0</math> ist in einem Ring genau dann eine Einheit, wenn der Ring der [[Nullring]] ist.
* In einem [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>K</math> ist <math>K^* = K\setminus \{0\} </math>. Das heißt, in einem Körper ist außer 0 jedes Element eine Einheit. Allgemein werden vom Nullring verschiedene Ringe, in denen außer <math>0</math> alle Elemente Einheiten sind, als [[Schiefkörper]] bezeichnet.
* Im [[Polynomring]] über einem Integritätsring <math>R</math> gilt <math>R[X]^* \cong R^*</math>. Insbesondere erhält man <math>K[X]^* \cong K \setminus \{0\}</math> für einen Körper <math>K</math>. Die Einheiten entsprechen hier genau den Polynomen mit [[Grad (Polynom)|Grad]] null.
* Die Einheiten im Ring der [[Formale Potenzreihe|formalen Potenzreihen]] <math>R[[X]]</math> über einem kommutativen Ring <math>R</math> sind genau die Potenzreihen, deren Absolutglied <math>a_0</math> eine Einheit in <math>R</math> ist.
* Für einen unitären Ring <math>R</math> ist die Einheitengruppe im Matrizenring <math>R^{n\times n}</math> die [[allgemeine lineare Gruppe]] <math>GL(n,R)</math> bestehend aus den regulären Matrizen.
* Im Ring <math>\mathbb Z</math> der [[ganze Zahlen|ganzen Zahlen]] gibt es nur die Einheiten <math>1</math> und <math>-1</math>.
* Im Ring <math>\mathbb Z[\mathrm{i}]</math> der [[gaußsche Zahl|ganzen gaußschen Zahlen]] gibt es die vier Einheiten <math>1, -1, i, -i</math>.
* Im Ring <math>\mathbb Z[\sqrt{3}]</math> gibt es unendlich viele Einheiten. Es ist <math>\left( 2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3} \right)=1 </math> und damit sind auch alle <math>\left( 2+ \sqrt{3} \right)^k</math> für <math> k \in \mathbb N</math> Einheiten.
* Die letzten beiden Ringe sind Beispiele für [[Quadratischer Zahlkörper|Ganzheitsringe quadratischer Zahlkörper]]. Bei diesen sind die Erzeuger der Einheitengruppe bekannt. Über allgemeineren [[Zahlkörper|Zahlkörpern]] trifft der [[Dirichletscher Einheitensatz|dirichletsche Einheitensatz]] eine schwächere Aussage über die Struktur der Einheiten.

== Eigenschaften ==
* Einheiten in unitären Ringen sind nie Nullteiler.
* Sind <math>a,b\in M</math> Einheiten, dann sind auch <math>ab</math> und <math>a^{-1}</math> Einheiten. Daraus folgt, dass die Einheitengruppe tatsächlich eine Gruppe ist.
* Endliche Untergruppen der Einheitengruppe eines [[Integritätsring]]s sind stets zyklisch.<ref>Karpfinger, Meyberg: ''Algebra'' 2013, 14.9</ref>
* Jede Nichteinheit eines kommutativen unitären Rings liegt in einem [[maximales Ideal|maximalen Ideal]]. Insbesondere ist die Einheitengruppe gerade das Komplement der Vereinigung aller maximaler Ideale und ein Ring hat genau dann nur ein maximales Ideal, ist also ein [[lokaler Ring]], wenn die Nichteinheiten ein Ideal bilden.

== Verallgemeinerung: Links- und Rechtseinheiten ==
Ist das Monoid <math>M</math> nicht kommutativ, so können auch einseitige Einheiten betrachtet werden
* Ein Element <math>a\in M</math>, das die Bedingung <math>ab = 1</math> für ein Element <math>b\in M</math> erfüllt, heißt '''Linkseinheit'''.
* Ein Element <math>a\in M</math>, das die Bedingung <math>ba = 1</math> für ein Element <math>b\in M</math> erfüllt, heißt '''Rechtseinheit'''.
Ein Element <math>a\in M</math> ist genau dann eine Einheit, wenn es gleichzeitig eine Linkseinheit und eine Rechtseinheit ist. In einem kommutativen Monoid stimmen die drei Begriffe überein. <math>1</math> bleibt auch im nicht-kommutativen Fall eine beidseitige Einheit.

=== Beispiel ===
Der folgende Ring <math>R</math> enthält eine Linkseinheit <math>A</math>, die ein Rechtsnullteiler ist, und eine Rechtseinheit <math>B</math>, die ein Linksnullteiler ist; damit ist <math>A</math> keine Rechtseinheit und <math>B</math> keine Linkseinheit.

Mit <math>\R^{\N \times \N}</math> bezeichnen wir die [[Matrix (Mathematik)|Matrizen]] der Größe „abzählbar mal abzählbar“ mit Komponenten in den [[reelle Zahlen|reellen Zahlen]]. Sei <math>R = \R^{(<\infty) \times (<\infty)} \subseteq \R^{\N \times \N}</math> genau jene [[Teilmenge]] von <math>\R^{\N \times \N}</math>, bei denen in jeder Zeile und in jeder Spalte nur endlich viele Nichtnulleinträge stehen (insgesamt dürfen dabei unendlich viele Nichtnulleinträge enthalten sein). <math>R</math> ist ein Ring mit der gewöhnlichen [[Matrizenaddition]] und [[Matrizenmultiplikation]]. (Die Multiplikation ist [[Wohldefiniertheit|wohldefiniert]], gerade weil durch die Bedingung an die Zeilen und Spalten die im Prinzip unendliche Summe für den <math>i</math>-<math>k</math>-Eintrag <math display="inline">\sum_{j=0}^\infty a_{ij} b_{jk}</math> des Produkts in tatsächlich endlich ist.) Die [[Einheitsmatrix]] <math>E</math> hat Einsen auf der [[Hauptdiagonale]]n und enthält sonst Nullen, sie ist das Einselement von <math>R</math> (das neutrale Element der Multiplikation).

Sei <math>A</math> die Matrix in <math>R</math>, die in der ersten oberen [[Nebendiagonale]]n nur Einsen hat und sonst nur Nullen und <math>B = A^{\mathrm{T}}</math>, die [[Transponierte]] von <math>A</math>, d. h. die Matrix, die in der ersten unteren Nebendiagonalen nur Einsen hat und sonst nur Nullen:
:<math>A = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 & 0 &\cdots\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 &\cdots\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 &\cdots\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 &\cdots\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \ddots\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots
\end{pmatrix}
\qquad
B = A^{\mathrm{T}} = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\cdots\\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 &\cdots\\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 &\cdots\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 &\cdots\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & \ddots\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots
\end{pmatrix}</math>

Es gilt <math>AB = E</math>, somit ist <math>A</math> eine Linkseinheit und <math>B</math> eine Rechtseinheit.
Für jedes Element <math>C \in R</math> hat aber das Produkt <math>CA</math> in der ersten Spalte ausschließlich Nullen und das Produkt <math>BC</math> in der ersten Zeile ausschließlich Nullen. Damit kann <math>A</math> keine Rechtseinheit und <math>B</math> keine Linkseinheit sein: Konkret, mit der Matrix <math>D</math>, die die Komponente <math>D_{1,1} = 1</math> und sonst nur Nullen enthält, gilt <math>AD = 0</math> und <math>DB = 0</math>, also ist <math>A</math> ein Linksnullteiler und <math>B</math> ein Rechtsnullteiler.

Eine [[Funktionalanalysis|funktionalanalytische]] Variante dieses Beispiels ist der unilaterale [[Shiftoperator]].

== Literatur ==
* [[Siegfried Bosch]]: ''Algebra.'' 8. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-39566-6.
* [[Gerd Fischer (Mathematiker)|Gerd Fischer]]: ''Lehrbuch der Algebra.'' 3. Auflage. Springer, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-02220-4, S. 147.
* [[Jens Carsten Jantzen]], [[Joachim Schwermer]]: ''Algebra.'' 2. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-40532-7, III, §2.
* [[Christian Karpfinger]], Kurt Meyberg: ''Algebra.'' 3. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2013, ISBN 978-3-8274-3011-3.

== Einzelnachweise ==
<references>
</references>

[[Kategorie:Algebra]]

Einheit (Mathematik) - Versionsgeschichte

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