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2025-04-23T06:10:29Z

Von Betragsfunktionen für Körper: Form

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Die '''Dreiecksungleichung''' ist in der [[Geometrie]] ein [[Satz (Mathematik)|Satz]], der besagt, dass eine Dreiecksseite höchstens so lang wie die Summe der beiden anderen Seiten ist. Das „höchstens“ schließt dabei den Sonderfall der Gleichheit ein. Die Dreiecksungleichung spielt auch in anderen [[Teilgebiete der Mathematik|Teilgebieten der Mathematik]] wie der [[Lineare Algebra|Linearen Algebra]] oder der [[Funktionalanalysis]] eine wichtige Rolle.

== Formen der Dreiecksungleichung ==
=== Für allgemeine Dreiecke ===
[[Datei:Dreieck.svg|rechts|Dreieck]]

Nach der Dreiecksungleichung ist im [[Dreieck]] die Summe der Längen zweier Seiten <math>a</math> und <math>b</math> stets mindestens so groß wie die Länge der dritten Seite <math>c</math>:

:<math>c \leq a + b</math>.

Man kann auch sagen, der Abstand von <math>A</math> nach <math>B</math> ist stets höchstens so groß wie der Abstand von <math>A</math> nach <math>C</math> und von <math>C</math> nach <math>B</math> zusammen, oder um es alltagssprachlich auszudrücken: „Der direkte Weg ist immer der kürzeste.“

Das [[Gleichheitszeichen]] gilt dabei nur, wenn <math>a</math> und <math>b</math> Teilstrecken von <math>c</math> sind – man spricht dann auch davon, dass das Dreieck „entartet“ sei.

Da aus Symmetriegründen auch <math> a \leq c + b</math> gilt, folgt <math>a-b\leq c</math>, analog erhält man <math>b-a\leq c</math>, insgesamt also
:<math>\left| a-b \right|\le c\le a+b</math>.

Die linke Ungleichung <math>\left| a-b \right|\le c</math> wird gelegentlich auch als ''umgekehrte Dreiecksungleichung'' bezeichnet.

Die Dreiecksungleichung charakterisiert Abstands- und [[Betragsfunktion]]en. Sie wird daher als ein Axiom für [[Abstraktion|abstrakte]] Abstandsfunktionen in [[Metrischer Raum|metrischen Räumen]] gesetzt.

=== Für rechtwinklige Dreiecke ===
Ist <math>c</math> die [[Hypotenuse]]nlänge und sind <math>a</math> und <math>b</math> die [[Kathete]]nlängen eines [[Rechtwinkliges Dreieck|rechtwinkligen Dreiecks]], so gilt die spezielle Dreiecksungleichung <math>a+b \le c\sqrt{2}</math>.<ref>Roger B. Nelsen: ''Beweise ohne Worte'', Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, [[Springer Spektrum]], Springer-Verlag [[Berlin]] [[Heidelberg]] 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 18</ref><ref>[https://cms.math.ca/wp-content/uploads/2019/07/exam1969.pdf Canadian Mathematical Olympiad 1969 Problem 3], veröffentlicht von der [[Canadian Mathematical Society]]</ref>
<gallery mode="packed" heights="200">
Rechtwinklige Dreiecksungleichung 1.svg|Veranschaulichung für den Fall der Ungleichheit
Rechtwinklige Dreiecksungleichung 2.svg|Veranschaulichung für den Fall der Gleichheit
</gallery>

=== Für reelle Zahlen ===
Für [[reelle Zahl]]en <math>a</math> und <math>b</math> gilt <math>|a+b| \leq |a| + |b|.</math>

'''Beweis'''

Für reelle Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> gilt entweder <math>a+b\geq 0</math> oder <math>a+b< 0</math>. Für den Fall <math>a+b\geq 0</math> gilt <math>|a+b|=a+b</math>, und die Summe <math>a+b</math> lässt sich wegen <math>a\leq |a|</math> und <math>b\leq |b|</math> nach oben abschätzen durch <math>a+b\leq |a|+|b|</math>. Insgesamt folgt somit <math>|a+b| \leq |a| + |b|</math>. Für den Fall <math>a+b< 0</math> gilt <math>|a+b|=-(a+b)=-a-b</math>, und <math>-a-b</math> lässt sich wegen <math>-a\leq |a|</math> und <math>-b\leq |b|</math> ebenfalls durch <math>|a|+|b|</math> nach oben abschätzen, so dass auch in diesem Fall <math>|a+b| \leq |a| + |b|</math>.

==== Umgekehrte Dreiecksungleichung ====
Wie beim Dreieck lässt sich auch eine ''umgekehrte Dreiecksungleichung'' herleiten:

Aufgrund der Dreiecksungleichung gilt <math>|a+b|-|b| \le |a|.</math> Einsetzen von <math>a := x +y,\ b:= -y</math> gibt
:<math>|x|-|y| \le |x+y|.</math>
Setzt man stattdessen <math>b:= -x</math> so ergibt sich
:<math>|y|-|x| \le |x+y|,</math>
zusammen also (denn für beliebige reelle Zahlen <math>u</math> und <math>c</math> mit <math>u \leq c</math> und <math>-u \leq c</math> gilt auch <math>|u| \le c</math>)
:<math>\Big||x|-|y|\Big| \le |x+y| \le |x|+|y|.</math>

Ersetzt man <math>y</math> durch <math>-y,</math> so erhält man auch

: <math>\Big||x|-|y|\Big| \le |x-y| \le |x|+|y|.</math>

Insgesamt also
: <math>\Big| |x|-|y|\Big| \le |x \pm y| \le |x|+|y|</math> für alle <math>x,\,y\in\R.</math>

=== Für komplexe Zahlen ===
Für [[komplexe Zahlen]] gilt:

: <math>|z_1{}+z_2| \le |z_1|{+}|z_2|.</math>

'''Beweis'''

: Da alle Seiten nichtnegativ sind, ist Quadrieren eine [[Äquivalenzumformung]] und man erhält
::<math>
z_1\overline{z_1}{+}z_1\overline{z_2}{+}{\underbrace{\overline{z_1}z_2}_{=\overline{z_1\overline{z_2}}}}{+}z_2\overline{z_2}\ \le\ z_1\overline{z_1}{+}2{\underbrace{|z_1 z_2|}_{=|z_1\overline{z_2}|}}{+}z_2\overline{z_2},
</math>
: wobei der Überstrich [[komplexe Konjugation]] bedeutet. Streicht man identische Terme und setzt <math>z\mathrel{:=\,} z_1\overline{z_2},</math> so bleibt
::<math>z{+}\bar z \le 2{|z|}</math>
: zu zeigen. Mit <math>z = u{+}iv</math> erhält man
::<math>(u{+}iv){+}(u{-}iv) = 2u \le 2\sqrt{u^2{+}v^2}</math>
: bzw.
::<math>|u| \le \sqrt{u^2{+}v^2},</math>
: was wegen <math>0 \le v^2\ </math> und der [[Reelle monotone Funktion|Monotonie]] der (reellen) Wurzelfunktion immer erfüllt ist.

Analog zum reellen Fall folgt aus dieser Ungleichung auch
:<math>\Big| |z_1|{-}|z_2|\Big| \le |z_1{\pm}z_2| \le |z_1|{+}|z_2|</math> für alle <math>z_1,\,z_2\in\mathbb{C}.</math>

=== Von Betragsfunktionen für Körper {{Anker|verschärfte Dreiecksungleichung}} ===
Zusammen mit anderen Forderungen wird eine ''Betragsfunktion'' für einen [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>K</math> auch durch die ''Dreiecksungleichung''
:<math>\varphi(x + y) \leq \varphi(x) + \varphi(y)</math>

etabliert. Sie hat zu gelten für alle <math>x,y\in K.</math> Sind alle Forderungen (s. Artikel [[Betragsfunktion#Betragsfunktion für Körper|Betragsfunktion]]) erfüllt, dann ist <math>\varphi</math> eine Betragsfunktion für den Körper <math>K.</math>

Ist <math>\varphi(n) \leq 1</math> für alle ganzen <math>n:=\underbrace {1+\dots+1}_{n \text{-mal}}</math>, dann nennt man den Betrag ''nichtarchimedisch'', andernfalls ''archimedisch''. Bei nichtarchimedischen Beträgen gilt die ''verschärfte Dreiecksungleichung''
:<math>
\varphi(x + y)\leq\max(\varphi(x),\varphi(y))</math>.

Sie macht den Betrag zu einem [[Ultrametrik|''ultrametrischen'']]. Umgekehrt ist jeder ultrametrische Betrag nichtarchimedisch.

=== Für Summen und Integrale ===
Mehrmalige Anwendung der Dreiecksungleichung bzw. [[vollständige Induktion]] ergibt
:<math>\left|\sum_{i=1}^n x_i\right| \leq \sum_{i=1}^n \left| x_i\right|</math>
für reelle oder komplexe Zahlen <math>x_i\;</math>. Diese Ungleichung gilt auch, wenn Integrale anstelle von Summen betrachtet werden:

Ist <math>f \colon [a,b]\to\mathbb{R}</math> eine [[Riemann-Integral|Riemann-integrierbare]] Funktion, dann gilt

: <math>\left|\int_a^b f(x)\, dx\right|\le \int_a^b |f(x)|\, dx</math>.<ref>Harro Heuser: ''Lehrbuch der Analysis, Teil 1.'' 8. Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1990, ISBN 3-519-12231-6. Satz '''85.1'''</ref>

Dies gilt auch für [[komplexwertige Funktion]]en <math>f \colon [a,b]\to\mathbb{C}</math>, vgl.<ref>Walter Rudin: ''Real and Complex Analysis''. MacGraw-Hill, 1986, ISBN 0-07-100276-6. Theorem '''1.33'''</ref> Dann existiert nämlich eine komplexe Zahl <math>\alpha</math>, so dass
: <math>\alpha\int_a^b f(x)\, dx=\left|\int_a^b f(x)\, dx\right|</math> und <math>|\alpha|=1\;</math>.

Da
:<math>\left|\int_a^b f(x)\, dx\right|=\alpha\int_a^b f(x)\, dx=\int_a^b \alpha\, f(x)\, dx=\int_a^b \operatorname{Re}(\alpha f(x))\, dx+i\,\int_a^b \operatorname{Im}(\alpha f(x))\,dx</math>

reell ist, muss <math>\int_a^b \operatorname{Im}(\alpha f(x))\,dx</math> gleich Null sein. Außerdem gilt
: <math>\operatorname{Re}(\alpha f(x)) \leq |\alpha f(x)| = |f(x)|</math>,
insgesamt also
:<math>\left|\int_a^b f(x)\, dx\right| =\int_a^b\operatorname{Re}(\alpha f(x))\, dx \le \int_a^b|f(x)|\, dx</math>.

=== Für Vektoren ===
Für [[Vektor]]en gilt:

: <math>\left| \vec{a} + \vec{b} \right| \le |\vec{a}| + |\vec{b}|</math>.

Aus der geometrischen Definition und der Distributivität des [[Skalarprodukt|Skalarprodukts]] folgt nämlich<ref>{{Literatur |Autor=Steffen Goebbels, Stefan Ritter |Titel=Mathematik verstehen und anwenden: Band 1: Differenzial- und Integralrechnung, Lineare Algebra |TitelErg= |Auflage=4. |Verlag=Springer |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=2023 |ISBN=978-3-662-68366-8 |Seiten=560 |Abruf=}}</ref>
: <math>\left| \vec{a} + \vec{b} \right|^2 = \left(\vec{a} + \vec{b}\right)\cdot \left(\vec{a} + \vec{b} \right) = \vec a \cdot \vec a + 2 \, \vec a \cdot \vec b + \vec b \cdot \vec b = \left| \vec{a} \right|^2 + 2 \, \vec a \cdot \vec b +|\vec{b}|^2 </math>.

Mit der [[Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarzschen Ungleichung]] <math>\vec a \cdot \vec b \le | \vec{a}|\cdot |\vec{b}|</math> erhält man hieraus

:<math> \left| \vec{a} + \vec{b} \right|^2 \le \left| \vec{a} \right|^2+ 2 |\vec{a}||\vec{b}|+|\vec{b}|^2 = \left(\left| \vec{a} \right| + |\vec{b}|\right)^2</math>.
Ziehen der Wurzel ergibt schließlich die Behauptung.

Auch hier folgt wie im reellen Fall

: <math>\left||\vec{a}| - |\vec{b}| \right| \le \left| \vec{a} \pm \vec{b} \right| \le |\vec{a}| + |\vec{b}|</math>
sowie
:<math>\left|\sum_{i=1}^{n} \vec a_i\right| \leq \sum_{i=1}^{n}\left|\vec a_i\right|. </math>

=== Für sphärische Dreiecke ===
[[Datei:Sws sphaerisch.PNG|mini|Zwei sphärische Dreiecke]]

In [[Kugeldreieck|sphärischen Dreiecken]] gilt die Dreiecksungleichung im Allgemeinen ''nicht''.

Sie gilt jedoch, wenn man sich auf eulersche Dreiecke beschränkt, also solche, in denen jede Seite kürzer als ein halber Großkreis ist.

In nebenstehender Abbildung gilt zwar
: <math>\left|a - b\right| \le c_1 \le a + b,</math>
jedoch ist <math>c_2 > a+b</math>.

=== Für normierte Räume ===
In einem [[Normierter Raum|normierten Raum]] <math>\left(X,\|{\cdot}\|\right)</math> wird die Dreiecksungleichung in der Form
:<math>\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|</math>
als eine der Eigenschaften gefordert, die die [[Norm (Mathematik)|Norm]] für alle <math>x,y\in X\;</math>erfüllen muss. Insbesondere folgt auch hier
:<math>\Big|\|x\|-\|y\|\Big| \le \|x\pm y\|\leq \|x\|+\|y\|</math>
sowie
:<math>\left\|\sum_{i=1}^n x_i\right\| \leq \sum_{i=1}^{n}\|x_i\|</math> für alle <math>x_i\in X\;</math>.

Im Spezialfall der [[Lp-Raum|L<sup>''p''</sup>-Räume]] wird die Dreiecksungleichung [[Minkowski-Ungleichung]] genannt und mittels der [[Höldersche Ungleichung|Hölderschen Ungleichung]] bewiesen.

=== Für metrische Räume ===
In einem [[Metrischer Raum|metrischen Raum]] <math>\left(X,d\right)</math> wird als [[Axiom]] für die abstrakte Abstandsfunktion verlangt, dass die Dreiecksungleichung in der Form
:<math>d(x,y)\leq d(x,z) + d (z,y)</math>
für alle <math>x,y,z \in X</math> erfüllt ist. In jedem metrischen Raum gilt also per Definition die Dreiecksungleichung. Daraus lässt sich ableiten, dass in einem metrischen Raum auch die umgekehrte Dreiecksungleichung
:<math>\left| d(x,z) - d (z,y)\right|\leq d(x,y)</math>
für alle <math>x,y,z \in X</math> gilt. Außerdem gilt für beliebige <math>x_i \in X\;</math> die Ungleichung
:<math>d(x_0,x_n)\leq \sum_{i=1}^n d(x_{i-1},x_i)</math>.

== Siehe auch ==
* [[Ungleichungen in Vierecken]]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Dreiecksgeometrie]]
[[Kategorie:Lineare Algebra]]
[[Kategorie:Ungleichung]]

Dreiecksungleichung - Versionsgeschichte

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