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2025-08-10T01:34:30Z

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{{Infobox Physikalische Größe
| Name= Drehimpuls, Drall
| Größenart= Wirkung
| Formelzeichen= <math>\vec L, \vec J</math>
| Dim=
| AbgeleitetVon=
| SI= [[Kilogramm|kg]]·[[Meter|m]]2·[[Sekunde|s]]−1 = [[Newton (Einheit)|N]]·[[Meter|m]]·[[Sekunde|s]]
| SI-Dimension= [[Masse (Physik)|M]]·[[Länge (Physik)|L]]2·[[Zeit|T]]−1
}}

Der '''Drehimpuls''' oder '''Drall''', veraltet: ''Impulsmoment'', ist eine grundlegende [[physikalische Größe]], die den rotatorischen Bewegungszustand eines physikalischen Objekts um einen Bezugspunkt herum beschreibt. Damit steht der Drehimpuls für das, was in der Umgangssprache unter „Drall“ oder „Schwung“ verstanden wird. Sein [[Formelzeichen]] ist <math>\vec L</math>. In der [[Technische Mechanik|Technischen Mechanik]] wird er bei Bezugspunkt <math>A</math> meist mit <math>\vec L^{(A)}</math> bezeichnet. Die Einheit im [[SI-Einheitensystem]] ist [[Kilogramm|kg]]·[[Meter|m]]2·[[Sekunde|s]]−1 = [[Newton (Einheit)|N]]·[[Meter|m]]·[[Sekunde|s]].

[[Datei:ArealVelocityAndAngularMomentumPng.png|mini|Die vom Fahrstrahl des Teilchens m auf seinem Weg von A nach B pro Zeiteinheit überstrichene Fläche (blaue Dreiecke) ist proportional zu seinem Drehimpuls um C.]]
Der Drehimpuls hat mit dem [[Drallsatz#Flächensatz|Flächensatz]] eine anschauliche Interpretation: Er ist das Produkt aus der Masse des (punktförmig gedachten) Teilchens und der vektoriellen [[Flächengeschwindigkeit]] seines [[Fahrstrahl]]s um den Bezugspunkt, multipliziert mit zwei<ref name="Gross"/> (siehe nebenstehende Abbildung). Die radiale Geschwindigkeitskomponente – in Richtung zum Bezugspunkt oder von ihm weg – trägt nicht zum Drehimpuls bei, siehe auch [[#Ebene Bahn, Flächensatz]].

Der Drehimpuls ist eine [[Superposition (Physik)|additive]] [[Physikalische Größe#Skalare, Vektoren und Tensoren|vektorielle Größe]], wobei zu beachten ist, dass physikalisch sinnvoll nur Drehimpulse bezüglich desselben Bezugspunkts addiert werden können. Der Gesamtdrehimpuls eines Objekts mit mehreren Bestandteilen ist die Vektorsumme der Drehimpulse seiner Teile. Sein Betrag ist das Produkt aus Masse, Abstand vom Bezugspunkt und zirkularer Geschwindigkeit um diesen herum, aufsummiert über alle Teilchen des Körpers. Die Richtung des Drehimpulsvektors ist die gemittelte spezifische vektorielle Flächengeschwindigkeit seiner Teilchen um den Bezugspunkt. Der Drehimpuls ist daher meist nicht parallel zur [[Winkelgeschwindigkeit]] des Körpers. Er lässt sich in zwei Komponenten zerlegen: den '''Bahndrehimpuls''' und den '''Eigendrehimpuls''', siehe [[#Bahn- und Eigendrehimpuls]].<ref name="LexikonPhysik" /><ref name="Feynman" />{{rp|265}} Anders als der Impuls ist der Drehimpuls ein [[Pseudovektor]], das heißt, er ändert seine Richtung bei einer [[Raumspiegelung]] nicht, kehrt sich jedoch bei bloßer Umkehrung der Bewegungsrichtung ebenfalls um, siehe [[#Verschiebung, Drehung, Spiegelung]].

Für jeden fest gewählten Bezugspunkt gilt die [[#Drehimpulserhaltung]], das heißt: Ein Objekt, auf das von außen keine [[Drehmoment]]e um den Bezugspunkt <math>A</math> wirken, behält seinen Gesamtdrehimpuls um <math>A</math> nach Betrag und Richtung bei, siehe [[#Drallsatz]]. Die Drehimpulserhaltung gilt auch für den Bahn- und Eigendrehimpuls.<ref name="Falk"/>{{rp|102}} Üben zwei ungebundene Objekte wechselseitige Momente aufeinander aus, z. B. bei einem exzentrischen [[Stoß (Physik)|Stoßvorgang]], ändern sich ihre beiden Drehimpulse in entgegengesetzter Weise so, dass ihre Summe erhalten bleibt und das bezüglich jeden Bezugspunkts.

== Definition ==
Für einen [[Massenpunkt]], der sich am [[Ortsvektor|Ort]] <math>\vec r</math> mit dem [[Impuls]] <math>\vec p = m\vec v</math> bewegt, wird der Drehimpuls um den Punkt <math>\vec c</math> durch das [[Kreuzprodukt]]

:<math>\vec{L}_c = (\vec r-\vec c)\times\vec{p}</math>

definiert.<ref name="Gross" />{{rp|60}} Üblicherweise wählt man das Koordinatensystem so, dass der Bezugspunkt am Koordinatenursprung liegt: <math>\vec c = \vec 0</math>. Dann schreibt man vereinfacht:

:<math>\vec L = \vec L_0 = \vec r\times\vec p</math>

Den Gesamtdrehimpuls eines Systems aus mehreren Massenpunkten erhält man, indem man die Drehimpulse aller seiner Teilchen zu diesem Bezugspunkt bildet und addiert:

:<math>\vec L_{\mathrm{ges}} = \sum_i \vec L_{i} = \sum_i m_i \vec r_i \times \vec v_i</math>

Hier müssen die Einzelmassen so klein sein, dass die Summe ihrer Eigendrehimpulse gegenüber dem Gesamtdrehimpuls vernachlässigbar ist. Genauer ist jedenfalls das [[Volumenintegral]]

:<math>\vec L_{\mathrm{ges}}
= \int_V\rho(\vec r)\vec r \times \vec v(\vec r) \,\mathrm dV</math>

== Eigenschaften ==
=== Einflussgrößen ===
[[Datei:Right-hand grip rule.svg|mini|Mit der [[Korkenzieherregel|Rechte-Hand-Regel]] kann die Richtung des Drehimpulsvektors als Daumenrichtung bestimmt werden.]]
Zur Veranschaulichung geeignet ist der Fall, dass der Massenpunkt eine ebene [[Kreisbewegung]] um den Ursprung ausführt. Dann liegt der Drehimpulsvektor senkrecht zur Kreisebene, also in Richtung der Achse der Kreisbewegung, und hat den Betrag
:<math>L = m r v = m r^2\omega</math>.
Der Drehimpuls wächst mit

* höherer ''[[Winkelgeschwindigkeit]] <math>\omega</math> proportional,''
* größerer ''[[Masse (Physik)|Masse]]'' <math>m</math> ebenfalls proportional,
* größerem ''[[Abstand]]'' <math>r</math> dieser Masse zur Drehachse jedoch in quadratischem Verhältnis.

Die Reihenfolge der Faktoren in <math>\vec{r}\times\vec{p}</math> ist eine Konvention. Somit zeigt der Drehimpulsvektor in die Richtung, in der sich bei gleichem Drehsinn eine Rechtsschraube voranbewegen würde. Es gilt die [[Korkenzieherregel]] oder Rechte-Faust-Regel: Wenn die gekrümmten Finger der rechten Hand die Richtung der Drehbewegung angeben, so zeigt der [[Daumen]] in Richtung des Drehimpulses (siehe Bild).

=== Verschiebung, Drehung, Spiegelung ===
[[Datei:Angular momentum as pseudo-vector.png|mini|hochkant=1.7|Während Ortsvektor <math>\vec r</math> und Impuls <math>\vec p=m\vec{v}</math> bei einer Punktspiegelung um den Koordinatenursprung ihre Richtung umkehren, bleibt die des Drehimpulses bezüglich der Scheibenmitte <math>\vec {L}=m\vec{r}\times\vec{v}</math> unverändert.]]

Betrag und Richtung des Drehimpulses einer [[Punktmasse]] hängen davon ab, welchen Punkt man als Bezugspunkt wählt. Bei Verschiebung des Bezugspunkts um <math>\vec a</math> ändert sich der Vektor jedes Ortes in <math>\vec{x}^{\,\prime} = \vec{x} + \vec a</math> und der Drehimpuls in

:<math>\vec L^\prime = \vec L + \vec a\times\vec{p}.</math>

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren steht stets senkrecht auf der von ihnen aufgespannten Ebene, eine Drehung des betrachteten Systems aber dreht sowohl die Ortsvektoren als auch die Bahngeschwindigkeiten um denselben Betrag, wodurch auch der Drehimpuls in gleicher Weise mitgedreht wird.

Bei einer [[Spiegelung (Geometrie)#Punktspiegelung|Punktspiegelung]] am Bezugspunkt geht der Ort in den gegenüber liegenden Ort über. Auch das Vorzeichen der Geschwindigkeit in Bezug auf diesen Punkt kehrt sich um. Bei der Bildung des Kreuzprodukts kompensieren sich diese beiden Vorzeichenwechsel, sodass sich bei einer Punktspiegelung der Drehimpuls nicht ändert. Damit unterscheidet er sich vom Verhalten der Geschwindigkeit oder des Ortsvektors: Der Drehimpuls gehört zur Klasse der [[Pseudovektor]]en.

=== Bahn- und Eigendrehimpuls {{Anker|Der Eigendrehimpuls}} ===
{{Hauptartikel|Trägheitstensor}}

Der Satz, dass das Drehmoment gleich der zeitlichen Änderung des Drehimpulses ist, ist in zwei allgemeinen Fällen gültig:<ref name="Feynman" />{{rp|265}}
# bei einem festen Bezugspunkt im Inertialsystem, und
# beim sich beliebig bewegenden Massenmittelpunkt, selbst wenn das Objekt beschleunigt wird.

Daher macht es Sinn, den Drehimpuls entsprechend zu zerlegen:
; Bahndrehimpuls
: Er ist der Anteil des Drehimpulses, der aus der zirkularen Bewegung des Massenmittelpunkts um den Bezugspunkt entsteht. Beispielsweise dominiert bei einem Satellit, der die Erde umkreist, oder einem Asteroid, der an der Erde vorbeifliegt, der Bahndrehimpuls bezüglich des Erdmittelpunkts.
; Eigendrehimpuls
: Er ist der Anteil des Drehimpulses, der aus der Rotation des Körpers um seinen Massenmittelpunkt entsteht. Er ist beachtlich bei [[Kreisel]]bewegungen wie bei der [[Pirouette]] eines Menschen.

Formal schreibt sich beim starren Körper der Drehimpuls um den Ursprung als:

:<math>
\vec{L} = M\vec s\times\dot\vec s + \mathbf{\Theta}_s\cdot\vec\omega
</math>

Darin ist
{|
| <math>M</math> || die Gesamtmasse,
|-
| <math>\vec s, \dot{\vec s}</math> || der [[Massenmittelpunkt]] und seine Geschwindigkeit,
|-
| <math>\mathbf{\Theta}_s</math> || der [[Trägheitstensor]] um den Massenmittelpunkt,
|-
| <math>\vec\omega</math> || die [[Winkelgeschwindigkeit]],
|-
| <math>M\vec s\times\dot\vec s</math> || der Bahndrehimpuls,
|-
| <math>\mathbf{\Theta}_s\cdot\vec\omega</math> || der Eigendrehimpuls,
|}

siehe ''[[#Der Drehimpuls eines starren Körpers|Der Drehimpuls eines starren Körpers]].''

Die Aufteilung in Bahn- und Eigendrehimpuls gestattet auch die [[Kinetische Energie]] des Körpers in die translatorische Energie des Massenmittelpunkts und seine [[Rotationsenergie]] um diesen herum aufzuteilen.

Im Allgemeinen zeigen Winkelgeschwindigkeit und Eigendrehimpuls nicht in die gleiche Richtung<ref name="Grammel"/> – ein rotierender Körper „eiert“, wenn er sich frei bewegen kann, oder zeigt [[Unwucht]], wenn die Richtung der Achse festgehalten wird. Der [[Dschanibekow-Effekt]] zeigt eine erstaunliche Konsequenz davon, und genauere Analysen sind unter [[Euler-Kreisel]] und [[Poinsotsche Konstruktion]] zu finden. Letztere benutzt das [[Energieellipsoid]], an dem gezeigt werden kann, dass Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit immer einen spitzen Winkel einschließen.

Nur bei Rotation um eine der [[Hauptträgheitsachse]]n des Körpers sind Winkelgeschwindigkeit und Eigendrehimpuls parallel, sodass die Erhaltung des Drehimpulses auch gleichbleibende Richtung der Drehachse und damit die Konstanz des Trägheitsmoments bewirkt.

Die Hauptträgheitsachsen sind die [[Eigenvektor]]en des [[Trägheitstensor]]s, der [[Symmetrische Matrix|symmetrisch]] ist. Deshalb sind die Hauptträgheitsachsen paarweise orthogonal. Mit dem Trägheitstensor kann
* der Drehimpuls und seine Änderung,
* die [[Rotationsenergie]] und
* das [[Trägheitsmoment]] zu jeder beliebigen Drehachse
berechnet werden.

Beim sich bewegenden Körper gilt:
* Sowohl Bahn- als auch Eigendrehimpuls sind Erhaltungsgrößen.<ref name="Falk" />{{rp|102}}
* Der Eigendrehimpuls ist gegen Verschiebungen wie auch translatorische Bewegungen invariant.<ref name="Falk" />{{rp|102}}
* Der Austausch von Impuls und Schwerpunktsdrehimpuls eines Systems sind nicht unabhängig voneinander.<ref name="Falk" />{{rp|103}}
* Bei der geradlinig gleichförmigen Bewegung ist der Drehimpuls konstant.<ref name="Nolting" />

== Bestimmende physikalische Gesetze ==
=== Drallsatz{{Anker|Eulerscher Drehimpulssatz}} ===
[[Datei:Torque animation.gif|mini|Zusammenhang von Kraft '''{{Farbe |HEX=#FFFFFF |Text=F |color=#0000BB}}''', Drehmoment '''{{Farbe |HEX=#FFFFFF |Text=τ |color=#8888CC}}''', Impuls '''{{Farbe |HEX=#FFFFFF |Text=p |color=#009944}}''' und Drehimpuls '''{{Farbe |HEX=#FFFFFF |Text=L |color=#88FF77}}''' bei der [[Drehschwingung]] eines Massenpunktes]]
{{Hauptartikel|Drallsatz}}
Die Dynamik eines Körpers lässt sich mit dem Drehimpuls ähnlich der Dynamik des Massenpunkts formulieren:<ref name="Klein" />

;Trägheitsprinzip
: Der kräftefreie Körper bewegt sich so, dass sein Drehimpuls nach Betrag und Richtung konstant bleibt (so wie sich ein kräftefreier Massenpunkt gleichförmig bewegt).
; Drallsatz (Aktionsprinzip)
: Unter dem Einfluss von Drehmomenten bewegt sich der Körper derart, dass die Änderungsgeschwindigkeit des Drehimpulsvektors nach Richtung und Betrag gleich dem angreifenden Moment ist (so wie die Beschleunigung des Massenpunkts in Richtung einer angreifenden Kraft erfolgt).

Anders als Impuls und Geschwindigkeit müssen Drehimpuls und Drehgeschwindigkeit keineswegs parallel sein; vielmehr schließen sie meist einen Winkel ein, der jedoch immer ein [[Spitzer Winkel|spitzer]] ist, siehe [[Trägheitsellipsoid#Poinsotsche Konstruktion der Richtung des Drehimpulses|Poinsotsche Konstruktion der Richtung des Drehimpulses]].

Der Drallsatz oder Eulersche Drehimpulssatz drückt sich formal als

:<math>\frac{\mathrm{d}{\vec L}^{(A)}}{\mathrm{d} t} = \vec{M}^{(A)}</math>

aus. Um den Drehimpuls <math>{\vec L}^{(A)}</math> eines Körpers um den Punkt <math>A</math> zu ändern, muss ein äußeres Drehmoment <math>{\vec M}^{(A)}</math> an ihm angreifen.<ref name="Gross" /> Im wichtigen Spezialfall der momentenfreien Bewegung zeigt sich, dass der Drehimpuls erhalten bleibt.

=== Drehimpulserhaltung ===
[[Datei:BehoudImpulsmoment.ogv|mini|Experiment Drehimpulserhaltung (Video, 18 s): Auf das dreh- und schwenkbare Rad wird ein Drehmoment ausgeübt, wodurch das Teilsystem „Rad“ einen horizontalen Drehimpuls erhält. Dann ändert der drehbar sitzende Experimentator den Drehimpulsvektor dieses Teilsystems, indem er die Achse des Rades (und damit dessen Drehimpulsrichtung) aus der Horizontalen in die Senkrechte (roter Pfeil) dreht. Die Drehimpulserhaltung in vertikaler Richtung erzwingt, dass der Experimentator samt Drehstuhl einen gleich großen Drehimpuls in entgegengesetzter Richtung annimmt (gelber Pfeil). Der seit Anfang im Gesamtsystem vorhandene vertikale Drehimpuls mit dem Wert <math>\vec 0</math> bleibt somit erhalten.<ref name="Recknagel" /><ref name="Feynman" />{{rp|281}}]]

Die Drehimpulserhaltung bedeutet, dass der Drehimpuls eine [[Erhaltungsgröße]] ist. Das Video untermauert die Drehimpulserhaltung, die sich im Alltag auch bei [[Spielkreisel]]n, beim [[Diskuswurf]] und beim [[Pirouetteneffekt]] zeigt. Sie bedeutet insbesondere, dass die inneren Kräfte eines Körpers momentenfrei sind, was das [[Boltzmann-Axiom]] ausdrückt.

Genauer bleibt der Gesamt-Drehimpuls in einem [[Abgeschlossenes System|isolierten physikalischen System]] nach Betrag und Richtung unverändert, gleichgültig, welche inneren Kräfte und Wechselwirkungen zwischen den Bestandteilen des Systems bestehen. Nahezu perfekt isolierte Systeme sind z. B. die [[Atomkern]]e, die [[Molekül]]e in verdünnten Gasen und astronomische Objekte im Weltall. Das [[Keplersche Gesetze|zweite Keplersche Gesetz]], nach dem ein Planet sich auf seiner exzentrischen Umlaufbahn umso schneller bewegt, je näher er der Sonne ist, ist Ausdruck der Drehimpulserhaltung.

Die Drehimpulserhaltung gilt auch in Anwesenheit äußerer Kräfte, wenn diese Kräfte insgesamt kein [[Drehmoment]] auf das System ausüben. In einem homogenen [[Schwerefeld]] gilt das z. B. für den Drehimpuls jedes Körpers um seinen eigenen [[Massenmittelpunkt|Schwerpunkt]]. Sind die äußeren Kräfte auf verschiedene Teile eines Systems parallel zueinander, so bleibt jedenfalls die zu den Kräften parallele Komponente des Drehimpulses erhalten.

[[Leonhard Euler]] führte 1775 den [[Drallsatz]] als ein fundamentales von den [[Newtonsche Gesetze|Newton’schen Gesetzen]] unabhängiges Prinzip in der Mechanik ein.<ref name="Truesdell" /> Er besagt, dass ein [[Drehmoment]] auf das System einwirken muss, um den Drehimpuls zu ändern.

Die Drehimpulserhaltung gilt für beliebige physikalische Systeme (z. B. auch [[Poynting-Vektor#Poyntingvektor bei statischen Feldern|elektromagnetische]] Felder) und kann mithilfe des [[Noether-Theorem]]s daraus hergeleitet werden, dass die physikalischen Gesetze nicht von der Orientierung des betrachteten Systems im Raum abhängen.

== Spezialfälle ==
=== Ebene Bahn, Flächensatz ===
Behält der Drehimpuls einer Punktmasse (beispielsweise die Erde, die die Sonne umläuft) jederzeit den anfänglichen Wert, dann verläuft die Bahn der Punktmasse in einer Ebene.

Denn das Kreuzprodukt steht senkrecht auf seinen Faktoren und zu allen Zeiten <math>t</math> gilt für den Drehimpuls bezüglich des Koordinatenursprungs

:<math>\vec{x}(t)\cdot\vec L(t) = \vec{x}(t)\cdot\bigl(\vec{x}(t)\times m\vec{v}(t)\bigr) = 0,</math>

wenn <math>m</math> die Masse und <math>\vec{v}</math> die Bahngeschwindigkeit der Punktmasse sind. Wenn nun der Drehimpuls zeitunabhängig ist, <math>\vec L(t) = \vec L(0),</math> dann erfüllt jeder Bahnpunkt die [[Ebenengleichung]]

:<math>\vec{x}(t)\cdot\vec L(0) = 0.</math>

Es handelt sich also um eine Bewegung in der Ebene durch den Massenmittelpunkt des Systems senkrecht zum Drehimpuls.

Dann gilt das zweite [[Keplersche Gesetze|Keplersche Gesetz]] (auch Flächensatz genannt): Der Fahrstrahl zum Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleich große Flächen, d. h., seine [[Flächengeschwindigkeit]] ist konstant.

Denn in einer kurzen Zeit <math>\mathrm{d} t</math> ändert sich der Fahrstrahl <math>\vec{x}</math> um <math>\vec{v}\mathrm{d} t</math> und überstreicht dabei die Fläche des Dreiecks mit diesen beiden Seiten. Das Dreieck ist halb so groß wie das von beiden Vektoren aufgespannte Parallelogramm, dessen Inhalt durch den Betrag des Kreuzprodukts gegeben ist. In der Zeit <math>\mathrm{d} t</math> überstreicht der Fahrstrahl folglich die Fläche

:<math>\mathrm{d} F = \frac{1}{2}\left |\vec{x}(t)\times\vec{v}(t)\,\right |\,\mathrm{d} t
= \frac{1}{2\,m}\bigl |\vec L\bigr |\mathrm{d} t.</math>

Wenn der Drehimpuls sich nicht mit der Zeit ändert, ist folglich die [[Flächengeschwindigkeit]] konstant. Dieser Sachverhalt lässt sich auch auf Situationen verallgemeinern, in denen sich der Drehimpuls ändert, siehe [[Drallsatz#Flächensatz]].

Der Flächensatz gilt auch in relativistischer Physik, wenn zudem die Energie <math>E</math> erhalten ist. Denn in relativistischer Physik gilt

:<math>\frac{\mathrm{d}\vec{x}}{\mathrm{d} t} = \frac{\vec{p}}{E}\,c^2</math>

und

:<math>\mathrm{d} F = \frac{c^2}{2\,E}\bigl |\vec L\bigr |\mathrm{d}t.</math>

Für ebene Bahnen gibt es einen Zusammenhang zwischen Drehimpuls <math>\vec L</math> und [[Winkelgeschwindigkeit]] <math>\vec\omega</math>, der für den [[Runge-Lenz-Vektor]] relevant ist:

:<math>\vec L = m r^2\vec\omega</math>

Zum Beweis zerlegt man die Geschwindigkeit in eine radiale und eine azimutale Komponente (siehe [[Polarkoordinaten#Ortsvektor, Geschwindigkeit und Beschleunigung in Polarkoordinaten|Polarkoordinaten/Geschwindigkeit]]), <math>\dot{\vec r} = \dot r\vec{e}_r + r\dot\varphi\vec{e}_\varphi</math>. Im [[Kreuzprodukt]] mit <math>\vec r = r\vec{e}_r</math> fällt die Radialgeschwindigkeit weg, und man erhält:

:<math>
\vec L = \vec r\times m\dot{\vec r}
= m r^2\dot\varphi\,\vec{e}_r\times\vec{e}_\varphi
= m r^2\dot\varphi\vec{e}_z = m r^2\vec\omega
</math>

=== Der Drehimpuls eines starren Körpers ===
Der Drehimpuls eines Körpers ist die Summe der Drehimpulse seiner Komponenten:
:<math>\vec{L} = \sum_i m_i\,\vec{x}_i\times\dot{\vec{x}}_i</math>

Bei dieser Summe über die Bahndrehimpulse von Teilmassen müssen diese so klein gewählt werden, dass die Summe ihrer Eigendrehimpulse gegenüber dem Gesamtdrehimpuls vernachlässigbar ist. Genauer ist jedenfalls die Berechnung mit einem [[Volumenintegral]]:

:<math>\vec{L} = \int\rho(\vec x)\,\vec{x}\times {\vec v(\vec x)} \, \mathrm d^3x</math>

Darin sind
* <math>m_{1\ldots N}</math> die Massen der Massepunkte des Körpers mit diskreter Masseverteilung,
* <math>\rho(\vec x)</math> die Massendichte der kontinuierlichen Masseverteilung,
* <math>\vec x_{1\ldots N}</math> und <math>\dot{\vec x}_{1\ldots N}</math> die Orte und Geschwindigkeiten der Massepunkte des Körpers mit diskreter Masseverteilung uns
* <math>\vec v(\vec x)</math> das Geschwindigkeitsfeld, das angibt, mit welcher Geschwindigkeit sich die Masse am Ort <math>\vec x</math> bewegt.

Mit Hilfe des [[Massenmittelpunkt]]s eines Körpers und dessen Ortskoordinate <math>\vec s</math> sowie seiner Geschwindigkeit <math>\dot\vec s</math> können darauf bezogene Ortskoordinaten <math>\vec\chi := \vec x -\vec s</math> und die [[Winkelgeschwindigkeit]]en der Massepunkte <math>\vec\omega_i</math> definiert werden. Dann lassen sich die Geschwindigkeiten ausdrücken als:
:<math>\begin{align}
\dot{\vec{x}}_i &= \dot\vec s + \vec\omega_i\times\vec\chi_i\\
{\vec{v}(\vec x})&= \dot\vec s + \vec\omega_i\times\vec\chi.
\end{align}</math>
Bei einem starren Körper sind zudem alle Winkelgeschwindigkeiten gleich groß <math>(\forall i\colon\vec\omega_i\equiv\vec\omega)</math>, siehe [[Winkelgeschwindigkeit#Eindeutigkeit]]. Damit ergibt sich der Drehimpuls um den Ursprung zu:

:<math>\begin{align}
\vec{L} &= \sum_i m_i\,\vec{x}_i\times\left(\dot\vec s + \vec\omega\times\vec\chi_i\right)\\
&= M\vec s\times\dot\vec s + \sum_i m_i\,\vec\chi_i\times\left(\vec\omega\times\vec\chi_i\right)\end{align}</math>

bzw.

:<math>\begin{align}
\vec{L} &= \int\rho(\vec x)\,\vec x\times
\left(\dot\vec s + \vec\omega\times\vec\chi\right) \, \mathrm d^3x\\
&= M\vec s\times\dot\vec s + \int\rho(\vec\chi)\,\vec\chi\times\left(\vec\omega\times\vec\chi\right)\,\mathrm d^3\chi\text{ oder verallgemeinert}\\
&= M\vec s\times\dot\vec s + \mathbf{\Theta}_s\cdot\vec\omega.
\end{align}</math>

Hier sind zusätzlich
* <math>M = \sum_i m_i</math> die Gesamtmasse des Körpers und
* <math>\mathbf{\Theta}_s = \int\rho(\vec x)\,[(\vec\chi\cdot\vec\chi)\,\mathbf{1}-\vec\chi\otimes\vec\chi]\,\mathrm d^3x</math> der [[Trägheitstensor]] des Körpers bezogen auf seinen Massenmittelpunkt.

=== Herleitung ===
{{Klappbox|'''Herleitung'''|
Bei der Herleitung werden die Definitionen der Masse, des Massenmittelpunkts und des Trägheitstensors benutzt:
:<math>
\int\rho\,\mathrm dv =: M
,\;
\int \rho\vec x\,\mathrm dv =: M\vec s
,\;
\int\rho\,[(\vec x-\vec s)\cdot(\vec x-\vec s)\mathbf1
-(\vec{x}-\vec s)\otimes(\vec x-\vec s)]\,\mathrm dv
=:\mathbf\Theta_s
</math>

Dann gilt nach der [[Graßmann-Identität]] (BAC-CAB-Formel):
:<math>\begin{align}
\mathbf\Theta_s\cdot\vec\omega
&=\int\rho\,\{(\vec x-\vec s)\cdot(\vec x-\vec s)\vec\omega
-[(\vec{x}-\vec s)\cdot\vec\omega](\vec x-\vec s)\}\,\mathrm dv
\\
&=\int\rho\,(\vec x-\vec s)\times[\vec\omega\times(\vec x-\vec s)]\,\mathrm dv
\end{align}</math>

und weiter

:<math>\begin{align}
\vec{L}
&=\int\rho\,\vec{x}\times\left[\dot{\vec s}
+\vec\omega\times(\vec x-\vec s)\right]\,\mathrm dv
\\
&=\int\rho\,\vec{x}\times\dot{\vec s}\,\mathrm dv
+\int\rho\,\vec{x}\times[\vec\omega\times(\vec x-\vec s)]\,\mathrm dv
\\
&=\int\rho\,\vec{x}\,\mathrm dv\times\dot{\vec s}
+\int\rho\,(\vec{x}-\vec s+\vec s)
\times[\vec\omega\times(\vec x-\vec s)]\,\mathrm dv
\\
&=M\vec s\times\dot{\vec s}
+\int\rho\,(\vec{x}-\vec s)
\times[\vec\omega\times(\vec x-\vec s)]\,\mathrm dv
+\int\rho\,\vec s
\times[\vec\omega\times(\vec x-\vec s)]\,\mathrm dv
\\
&=M\vec s\times\dot{\vec s}
+\mathbf\Theta_s\vec\omega
+\int\rho\,\vec s\times(\vec\omega\times\vec x)\,\mathrm dv
-\int\rho\,\vec s\times(\vec\omega\times\vec s)\,\mathrm dv
\\
&=M\vec s\times\dot{\vec s}
+\mathbf\Theta_s\vec\omega
+\vec s\times\left(\vec\omega\times\int\rho\,\vec x\,\mathrm dv\right)
-\int\rho\,\mathrm dv\,\vec s\times(\vec\omega\times\vec s)
\\
&=M\vec s\times\dot{\vec s}
+\mathbf\Theta_s\vec\omega
+\vec s\times(\vec\omega\times M\vec s)
-M\vec s\times(\vec\omega\times\vec s)
\\
&=M\vec s\times\dot{\vec s}+\mathbf\Theta_s\vec\omega
\end{align}</math>

Der erste Term <math>M\vec s\times\dot{\vec s}</math> wird ''Bahndrehimpuls'' genannt, der zweite Term ist der ''Eigendrehimpuls.''}}

== Drehimpuls in der modernen Physik ==
=== Drehimpuls in der Relativitätstheorie ===
{{Überarbeiten|1=|2=Dieser Abschnitt|Grund=Belege fehlen, nicht alle Formelzeichen sind erklärt.}}
In der [[Relativitätstheorie]] kann der Drehimpuls nicht in einen Vierervektor eingebettet werden. Dies wird bereits dadurch offensichtlich, dass <math>L_i = \varepsilon_{ijk} x_j p_k</math> unter [[Lorentztransformation]]en wie <math>L'_i = \varepsilon_{ijk}\Lambda^{\mu j} x_\mu\Lambda^{\nu k} p_\nu </math> transformiert. Dieses Problem wird dadurch umgangen, dass der '''Drehimpulstensor''' <math>M^{\mu\nu}</math> eingeführt wird. Dieser ist definiert als
:<math>M_{\mu\nu} = x_\mu p_\nu - p_\mu x_\nu</math>
und seine Einträge sind
:<math>\left(M_{\mu\nu}\right) = \begin{pmatrix} 0 & -N_x & -N_y & -N_z\\ N_x & 0 & L_z & - L_y\\ N_y & -L_z & 0 & L_x\\ N_z & L_y & -L_x & 0\end{pmatrix}</math>
mit <math>N_i = \gamma mcx_i - cp_i t.</math>

=== Drehimpuls in der Quantenmechanik ===
{{Hauptartikel|Drehimpuls (Quantenmechanik)|Spin}}
In der Quantenmechanik ist der Drehimpuls eine [[Quantelung|quantisierte]] Größe, die durch den [[Drehimpulsoperator]] beschrieben wird. Er ist stets ein ganz- oder halbzahliges Vielfaches der [[Planck-Konstante|reduzierten Planck-Konstante]]. Die Ausrichtung des Drehimpulses ist ebenfalls gequantelt. Sie unterliegt der [[Richtungsquantelung]] in Bezug auf die [[Quantisierungsachse]]. Zusätzlich zur klassischen Mechanik existiert in der Quantenmechanik der [[Spin]], der sich (fast) wie ein klassischer Eigendrehimpuls verhält. Im Gegensatz zu diesem ist er nicht mit einer räumlichen Bewegung verbunden, sodass in der Quantenmechanik auch Punktteilchen einen Eigendrehimpuls haben können. In der physikalischen Praxis findet eine Begriffsverschiebung zur klassischen Mechanik statt, indem in der Quantenmechanik mit dem Begriff „Eigendrehimpuls“ nur der Spin gemeint ist und der „Bahndrehimpuls“ die klassischen Anteile des Drehimpulses umfasst.

Somit setzt sich der Drehimpulsoperator aus dem aus der klassischen Physik folgenden [[Bahndrehimpulsoperator]] <math>\hat{\vec{L}}=\hat{\vec{r}}\times\hat{\vec{p}}</math> und dem [[Spinoperator]] <math>\hat \vec S</math> zusammen.

== Siehe auch ==
* [[Spezifischer Drehimpuls]]
* [[Galilei-Transformation]] als Grundlage der klassischen Mechanik

== Literatur ==
* {{Literatur
| Autor=[[Dieter Meschede]]
| Titel=[[Gerthsen Physik]]
| Auflage=24., überarbeitete
| Verlag=Springer
| Ort=Heidelberg Dordrecht London New York
| Datum=2010
| ISBN=978-3-642-12893-6
| Seiten=32–33, 40, 81–98
| DOI=10.1007/978-3-642-12894-3}}
* {{Literatur
| Autor=[[Florian Scheck]]
| Titel=Theoretische Physik 1
| Auflage=8.
| Verlag=Springer
| Ort=Berlin Heidelberg New York
| Datum=2007
| ISBN=978-3-540-71377-7
| Seiten=13–18, 20, 184–185}}

== Weblinks ==
{{Commonscat|Angular momentum|Drehimpuls}}
{{Wiktionary}}
* {{TIBAV |12493 |Linktext=Drehstuhlexperimente zur Erhaltung des Drehimpulses |Herausgeber=IWF |Jahr=2003 |DOI=10.3203/IWF/C-14826}}
* {{TIBAV |12494 |Linktext=Zur Vektornatur des Drehimpulses |Herausgeber=IWF |Jahr=2003 |DOI=10.3203/IWF/C-14827}}

* Video: [https://www.youtube.com/watch?v=Edin09V7lyo ''Wie kann ein Satellit einen festen Punkt halten?''] Anwendung der Drehimpulserhaltung zur [[Stabilisierung (Raumfahrt)#Lageregelung durch Reaktionsräder|Lageregelung eines Satelliten mittels Reaktionsrad]], zur Verfügung gestellt von der [[Technische Hochschule Rosenheim|Technischen Hochschule Rosenheim]].

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="Truesdell">
{{Literatur
| Autor=[[Clifford Truesdell]]
| Hrsg=[[Gesellschaft für Angewandte Mathematik und Mechanik]]
| Titel=Die Entwicklung des Drallsatzes
| Sammelwerk=[[Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik]]
| Reihe=Heft 4/5
| Band=44
| Datum=1964-04
| Seiten=149–158
| Online=http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/zamm.19640440402/abstract
| DOI=10.1002/zamm.19640440402}}</ref>
<ref name="Recknagel">
{{Literatur
| Autor=[[Alfred Recknagel]]
| Titel=Physik – Mechanik
| Verlag=Verlag Technik
| Ort=Berlin
| Datum=1955
| Seiten=217 f.
| Kommentar=Hier werden mehrere ähnliche Experimente beschrieben.}}
</ref>
<ref name="Gross">
{{Literatur
| Autor=D. Gross, W. Hauger, [[Jörg Schröder (Bauingenieur)|J. Schröder]], W. A. Wall
| Titel=Technische Mechanik 3
| TitelErg=Kinetik
| Verlag=Springer Vieweg Verlag
| Ort=Heidelberg
| Auflage=15. Aufl.
| Datum=2021
| Seiten=59 ff.
| ISBN=978-3-662-63064-8
| Online=[https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-662-63065-5_1 Bewegung eines Massenpunktes]
| DOI=10.1007/978-3-662-63065-5}}
</ref>
<ref name="Klein">
{{Literatur
| Autor=[[Felix Klein (Mathematiker)|F. Klein]], [[Arnold Sommerfeld|A. Sommerfeld]]
| Titel=Über die Theorie des Kreisels
| TitelErg=Die technischen Anwendungen der Kreiseltheorie
| Band=Heft IV.
| Verlag=Teubner
| Ort=Leipzig
| Datum=1910
| Seiten=762
| Online=https://archive.org/details/fkleinundasommer019696mbp/page/n5/mode/1up}}
</ref>
<ref name="Feynman">
{{Literatur
| Autor=[[Richard Feynman|R. P. Feynman]], [[Robert B. Leighton|R. B. Leighton]], [[Matthew Sands|M. Sands]]
| Titel=[[Feynman-Vorlesungen über Physik]] 1
| TitelErg=Mechanik
| Verlag=[[De Gruyter]]
| Datum=2015
| Seiten=256–281
| ISBN=978-3-11-044460-5
| Online=[https://www.feynmanlectures.caltech.edu/I_18.html Online Edition], [[California Institute of Technology|Caltech]]}}
</ref>
<ref name="LexikonPhysik">
{{Literatur
| Sammelwerk=Lexikon der Physik
| Titel=Drehimpuls
| Verlag=Spektrum Akademischer Verlag
| Ort=Heidelberg
| Online=https://www.spektrum.de/lexikon/physik/drehimpuls/3334}}
</ref>
<ref name="Falk">
{{Literatur
| Autor=[[Gottfried Falk]]
| Titel=Theoretische Physik auf der Grundlage einer allgemeinen Dynamik
| TitelErg=Elementare Punktmechanik
| Band=1. Band
| Verlag=Springer-Verlag
| Ort=Berlin/Heidelberg
| Datum=1966
| DOI=10.1007/978-3-642-94958-6
| DNB=456597212}}
</ref>
<ref name="Nolting">
{{Literatur
| Autor=[[Wolfgang Nolting (Physiker)|Wolfgang Nolting]]
| Titel=Grundkurs Theoretische Physik
| TitelErg=Klassische Mechanik und mathematische Vorbereitungen
| Seiten=259
| Band=Band 1
| Auflage=11.
| Verlag=Springer Spektrum
| Ort=Berlin u. a.
| Datum=2018
| ISBN=978-3-662-57583-3
| DOI=10.1007/978-3-662-57584-0}}
</ref>
<ref name="Grammel">
{{Literatur
| Autor=[[Richard Grammel| R. Grammel]]
| Titel=Der Kreisel
| TitelErg=Seine Theorie und seine Anwendungen
| Seiten=17 f.
| Verlag=Vieweg Verlag
| Ort=Braunschweig
| Datum=1920
| Kommentar="Schwung" bedeutet Drehimpuls, "[[Drehstoß]]" etwa Drehmoment und "Drehwucht" Rotationsenergie
| Online={{archive.org|derkreiselseine00gramgoog}}
| DNB=451641280}}
</ref>
</references>

[[Kategorie:Klassische Mechanik]]
[[Kategorie:Physikalische Größenart]]
[[Kategorie:Wikipedia:Artikel mit Video]]

Drehimpuls - Versionsgeschichte

imported>Derkoenig: lf