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2025-04-10T10:59:08Z

Formeln: Bezeichnungen, Begründung

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[[Datei:Drachenviereck mit Seiten.svg|miniatur|rechts|Konvexes Drachenviereck]]
[[Datei:Pfeilviereck mit Seiten.svg|miniatur|rechts|Konkaves Drachenviereck]]

Ein '''Drachenviereck''' (auch '''gerader Drachen''' oder '''Deltoid''',<ref>[https://www.ris.bka.gv.at/Dokument.wxe?Abfrage=Bundesnormen&Dokumentnummer=NOR12102303 Lehrpläne - Vorbereitungslehrgänge für Arbeitslehrerinnen]</ref> in Österreich wird ausschließlich Deltoid verwendet) ist ein ebenes [[Viereck]],
* bei dem eine [[Diagonale (Geometrie)|Diagonale]] [[Symmetrieachse]] ist,

oder
* dessen vier Seiten sich in zwei Paare benachbarter gleich langer Seiten gruppieren lassen.

Beide Definitionen sind äquivalent.

Oft wird nur die [[Konvexe Menge|konvexe]] Form des Deltoids als Drachenviereck bezeichnet und die konkave Form als '''Pfeilviereck''' oder '''Windvogelviereck'''. Die Bezeichnung ''Drachenviereck'' verweist auf die Form vieler [[Drachen|Flugdrachen]].

Ein spezielles Drachenviereck ist die [[Raute]] (Rhombus). Sie ist ein ''gleichseitiges Deltoid''.

== Eigenschaften ==
Für jedes Drachenviereck gilt (siehe Abbildung):

* Die [[Diagonale (Geometrie)|Diagonalen]] <math>e</math> und <math>f</math> stehen senkrecht aufeinander, d. h., das Drachenviereck ist ein [[orthodiagonales Viereck]].
* Die [[Diagonale (Geometrie)|Diagonale]] <math>AC = e</math>, die die [[Symmetrieachse]] ist, halbiert die andere [[Diagonale (Geometrie)|Diagonale]] <math>BD = f</math> und die [[Innenwinkel]] in den [[Eckpunkt]]en <math>A</math> und <math>C</math>. Sie teilt das Viereck <math>ABCD</math> in zwei [[Kongruenz (Geometrie)|kongruente]] [[spiegelsymmetrisch]]e [[Dreieck]]e.
* Die Diagonale <math>BD = f</math> teilt das Drachenviereck in zwei [[Gleichschenkliges Dreieck|gleichschenklige Dreiecke]].
* Die einander gegenüber liegenden [[Winkel]] in den [[Eckpunkt]]en <math>B</math> und <math>D</math> sind gleich groß.

Für jedes konvexe Drachenviereck gilt:

* Es hat einen [[Inkreis]] und ist daher ein [[Tangentenviereck]].
* Es ist ein [[Sehnenviereck]], wenn die beiden gleichen [[Winkel]] in den [[Eckpunkt]]en <math>B</math> und <math>D</math> [[Rechter Winkel|rechte Winkel]] sind. Das ergibt sich aus der Umkehrung des [[Satz des Thales|Satzes des Thales]]. Es besitzt dann einen [[Umkreis]].

Ein [[Tangentenviereck]] ist genau dann ein Drachenviereck, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:<ref>Martin Josefsson: [https://web.archive.org/web/20120415060502/http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201117.pdf When is a Tangential Quadrilateral a Kite?], Forum Geometricorum, Archivlink abgerufen am 4. März 2025</ref>

* Zwei benachbarte Seiten sind gleich lang.
* Die [[Diagonale (Geometrie)|Diagonalen]] sind [[Orthogonalität|orthogonal]].
* Die [[Verbindungsstrecke]]n der [[Tangentialpunkt]]e sind gleich lang.
* Zwei gegenüber liegende Tangentenabschnitte sind gleich lang.
* Der [[Inkreismittelpunkt]] liegt auf einer [[Diagonale (Geometrie)|Diagonalen]].

== Formeln ==
{{Überarbeiten|2=Dieser Abschnitt}}
[[Datei:Deltoid.svg|miniatur|rechts|Konvexes und konkaves Drachenviereck mit Inkreis und Pseudoinkreis. Für beide Drachenvierecke gilt die in der Tabelle angegebene Formel für den Inkreis.]]
{| class="wikitable"
|- class="hintergrundfarbe6"
! colspan="3" |Mathematische Formeln zum Drachenviereck
|-
| rowspan="2" |'''[[Flächeninhalt]]'''
|<math>A = a \cdot b \cdot \sin(\beta)</math>
| rowspan="11" style="background:#ffffff;" |[[Datei:Drachenviereck mit Seiten.svg|220px]]
<br /><br />
[[Datei:Pfeilviereck mit Seiten.svg|140px]]
|-
|<math>A = \frac{e \cdot f}{2}</math>
|-
|[[Umfang (Geometrie)|'''Umfang''']]
|<math>U = 2 \cdot a + 2 \cdot b = 2 \cdot (a + b)</math>
|-
|'''Seitenlängen'''
|<math>a = d, \quad b = c</math>
|-
| rowspan="3" |Länge der [[Diagonale (Geometrie)|'''Diagonalen''']]
(siehe [[Kosinussatz]],<br />[[Satz des Heron]])
| <math>e = \sqrt{a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos(\beta)}</math>
|-
| <math>f = \frac{4 \cdot \sqrt{s \cdot (s - a) \cdot (s - b) \cdot (s - e)}}{e}</math><br/>mit <math>s = \frac{a + b + e}{2}</math>
|-
|<math>f = 2 \cdot a \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = 2 \cdot b \cdot \sin\left(\frac{\gamma}{2}\right)</math>
|-
|[[Inkreis|'''Inkreisradius''']]
|<math>r = \frac{2 \cdot A}{U} = \frac{e \cdot f}{2 \cdot (a + b)}</math>
|-
| rowspan="3" |'''[[Innenwinkel]]'''
(siehe [[Kosinussatz]])
|<math>\alpha = \arccos\left(\frac{2 \cdot a^2 - f^2}{2 \cdot a^2}\right)</math>
|-
|<math>\gamma = \arccos\left(\frac{2 \cdot b^2 - f^2}{2 \cdot b^2}\right)</math>
|-
|<math>\beta = \delta = \arccos\left(\frac{a^2 + b^2 - e^2}{2 \cdot a \cdot b}\right)</math>
|}

<math>\alpha, \beta, \gamma, \delta</math> sind die Größen der Innenwinkel. Die erste Formel für den Inkreisradius <math>r</math> erhält man dadurch, dass man die Ecken A, B, C und D mit dem Mittelpunkt des Inkreises verbindet. Dadurch wird das Drachenviereck in vier Teildreiecke zerlegt, die jeweils eine Vierecksseite als Grundseite und die zugehörige Höhe <math>r</math> haben. Es gilt daher wie bei jedem Tangentenviereck <math>A = \frac{1}{2} \cdot U \cdot r</math>.

== Verallgemeinerungen ==
Ein ''schräges Drachenviereck'' (kurz ''Drachen'') ist ein ebenes [[Viereck]], in dem eine der [[Diagonale (Geometrie)|Diagonalen]] durch die andere halbiert wird.<ref>{{Webarchiv|url=http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/drachen.html |wayback=20190121054351 |text=Drachenvierecke |archiv-bot=2024-11-29 09:00:18 InternetArchiveBot }}, Mathematik, TU Freiberg</ref> Ein solches Viereck wird manchmal auch ''schief'' genannt.<ref>Jürgen Köller: [http://www.mathematische-basteleien.de/viereck.htm Hierarchie der Vierecke], Mathematische Basteleien</ref> Bei einem schrägen Drachenviereck stehen die Diagonalen also nicht zwangsläufig [[Orthogonalität|orthogonal]] zueinander. Das Drachenviereck ist in diesem Sinne ein ''gerader Drachen''. Für das schräge Drachenviereck gilt eine über das [[Kreuzprodukt]] verallgemeinerte Formel für den [[Flächeninhalt]].

Ein [[Viereck]] ist genau dann ein ''schiefes Drachenviereck'', wenn es sich von einem inneren [[Punkt (Geometrie)|Punkt]] aus mit geraden Verbindungen zu den vier [[Ecke]]n in vier flächengleiche [[Dreieck]]e zerlegen lässt.<ref>Hans Walser: [https://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/V/Viereck-Viertelung2/Viereck-Viertelung2.htm Viereck-Viertelung]</ref>

== Parkettierungen mit Drachenvierecken ==
Einige besondere [[Parkettierung]]en enthalten Drachenvierecke. Bekannt ist vor allem die [[Penrose-Parkettierung]].<gallery>
Datei:Penrose sun 3.svg|Eine Penrose-Parkettierung
Datei:Tiling Dual Semiregular V3-4-6-4 Deltoidal Trihexagonal.svg|Drachenvierecke mit je zwei [[Rechter Winkel|rechten Winkeln]] und je einem von der [[Achsensymmetrie|Symmetrieachse]] geschnittenen 60°-Winkel
</gallery>

== Polyeder mit Drachenvierecken ==
Einige [[Polyeder]] haben Drachenvierecke als [[Fläche (Mathematik)|Seitenflächen]]. Die Oberfläche von [[Deltoidalikositetraeder]] und [[Deltoidalhexakontaeder]], zweier [[catalanischer Körper]], besteht aus [[Kongruenz (Geometrie)|kongruenten]] Drachenvierecken.

Die [[Rhomboeder]], das [[Rhombendodekaeder]] und das [[Rhombentriakontaeder]] haben sogar [[Raute]]n als [[Seitenfläche]]n. Die genannten Polyeder sind [[Drehsymmetrie|drehsymmetrisch]], d. h. sie können durch [[Drehung]] um bestimmte [[Rotationsachse]]n auf sich selbst abgebildet werden.<gallery>
Datei:Rhombohedron.svg|Rhomboeder
Datei:Rhombicdodecahedron.jpg|[[Rhombendodekaeder]]
Datei:Rhombictriacontahedron.svg|[[Rhombentriakontaeder]]
Datei:Deltoidalicositetrahedron.jpg|[[Deltoidalikositetraeder]]
Datei:Deltoidalhexecontahedron.jpg|[[Deltoidalhexakontaeder]]
</gallery>

== Weblinks ==
{{Commonscat|Deltoids|Drachenviereck}}
{{Wiktionary}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Viereck]]
[[Kategorie:Vierecksgeometrie]]

Drachenviereck - Versionsgeschichte

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