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2024-10-14T08:42:31Z

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{{Begriffsklärungshinweis|Für den Divisor als Teiler in der Arithmetik siehe [[Division (Mathematik)]].}}

Der Begriff des '''Divisors''' spielt in der [[Algebraische Geometrie|algebraischen Geometrie]] und der [[Funktionentheorie|komplexen Analysis]] eine wichtige Rolle bei der Untersuchung [[Algebraische Varietät|algebraischer Varietäten]] bzw. [[Komplexe Mannigfaltigkeit|komplexer Mannigfaltigkeiten]] und der darauf definierten Funktionen. Unterschieden werden müssen dabei der ''Weil-Divisor'' und der ''Cartier-Divisor'', welche in bestimmten Fällen übereinstimmen.

Ursprünglich kommt dem Divisor im eindimensionalen Fall die Bedeutung zu, die Null- und Polstellenmenge einer [[rationale Funktion|rationalen]] bzw. [[meromorphe Funktion|meromorphen]] Funktion vorzuschreiben, und es stellt sich die Frage, für welche Divisoren eine solche Realisierung möglich ist, was eng mit der Geometrie der Varietät bzw. Mannigfaltigkeit verknüpft ist.

== Eindimensionaler Fall ==

=== Funktionentheorie ===
==== Definition ====
Sei <math>\Omega \subseteq \mathbb{C}</math> ein [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] oder eine [[riemannsche Fläche]]. Eine Abbildung <math>D\colon \Omega \rightarrow \mathbb{Z}</math> heißt Divisor in <math>\Omega</math>, falls ihr [[Träger (Mathematik)|Träger]] <math>T := \{ z \in \Omega \,:\, D(z) \neq 0 \}</math> in <math>\Omega</math> [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossen]] und [[Diskrete Teilmenge|diskret]] ist. Die Menge aller Divisoren auf <math>\Omega</math> bildet bezüglich der Addition eine abelsche Gruppe, die mit <math>\operatorname{Div}(\Omega)</math> bezeichnet wird. Auf dieser Gruppe führt man eine [[partielle Ordnung]] ein. Seien <math>D, D' \in \operatorname{Div}(\Omega)</math>, dann setzt man <math>D \leq D'</math>, falls <math>D(x) \leq D'(x)</math> für alle <math>x \in \Omega</math> gilt.

==== Hauptdivisor ====
Zu jeder von Null verschiedenen [[Meromorphe Funktion|meromorphen]] Funktion <math>f \colon \Omega \to \Complex</math> kann ein Divisor <math>(f)</math> definiert werden, indem der Divisor jedem Punkt aus <math>\Omega</math> die Null- beziehungsweise die Polstellenordnung zuordnet:

<math>\left(f\right)(x) := \begin{cases} 0, & f \mbox{ holomorph und nicht Null in } x \\
k, & f \mbox{ hat eine Nullstelle von Ordnung } k \mbox{ in } x \\
-k, & f \mbox{ hat eine Polstelle von Ordnung } k \mbox{ in } x \end{cases} </math>

Ein Divisor, der gleich dem Divisor einer meromorphen Funktion ist, heißt ''Hauptdivisor''.

Der [[Weierstraßscher Produktsatz|weierstraßsche Produktsatz]] besagt, dass in <math>\mathbb{C}</math> jeder Divisor ein Hauptdivisor ist. In einer kompakten, riemannschen Fläche gilt dies jedoch nicht mehr und ist vom Geschlecht der Fläche abhängig. Dies wird im Artikel [[Satz von Riemann-Roch]] näher erläutert.

=== Algebraische Kurven ===

Sei <math>C</math> eine ebene [[algebraische Kurve]]. Eine formale Summe <math>\textstyle \sum_{P \in C} a_P \cdot P, \; a_P \in \mathbb{Z}</math> heißt Divisor in <math>C</math>, falls <math>a_P = 0</math> außer für endlich viele <math>P</math>. Durch punktweise Addition wird die Menge aller Divisoren in <math>C</math> zu einer [[Freie Gruppe|freien]] [[Abelsche Gruppe|abelschen Gruppe]].

Analog zur o. g. Definition definiert man für eine rationale Funktion den Divisor der Funktion. Ein Divisor, der gleich dem Divisor einer rationalen Funktion ist, heißt ''Hauptdivisor''.

Im Falle <math>C = \mathbb{C}</math> ist für einen Divisor die Abbildung <math>P \mapsto a_P</math> ein Divisor im Sinne der Funktionentheorie. Allerdings gibt es Divisoren im Sinne der Funktionentheorie, die nicht auf diese Weise entstehen, da dort <math>a_P \neq 0</math> für unendlich viele <math>P</math> (die allerdings keinen [[Häufungspunkt]] haben dürfen) zugelassen ist.

== Allgemeine Definition ==

=== Weil-Divisor ===

Sei <math>X</math> ein noethersches integres separiertes [[Schema (algebraische Geometrie)|Schema]], regulär in [[Kodimension]] 1. Ein ''Primdivisor'' <math>Y</math> in <math>X</math> ist ein abgeschlossenes ganzes Unter-Schema der Kodimension Eins. Ein ''Weil-Divisor'' (nach [[André Weil]]) ist dann ein Element der frei erzeugten abelschen Gruppe <math>\mathrm{Div}\, X</math> der Primdivisoren und wird meistens als formale Summe <math>\textstyle D = \sum_j a_j \cdot Y_j, \; a_j \in \mathbb{Z}, </math> geschrieben, wobei nur endlich viele <math>a_j</math> von Null verschieden sind.

* Ein Weil-Divisor heißt ''effektiv'' (oder ''positiv''), wenn <math>a_j \geq 0</math> für alle <math>j</math> gilt.

* Ein Weil-Divisor heißt ''Hauptdivisor'', falls er gleich dem Divisor einer von Null verschiedenen rationalen Funktion ist: Sei <math>f</math> eine rationale Funktion auf <math>X</math>, von Null verschieden. Für jeden Primdivisor <math>Y</math> in <math>X</math> bezeichne <math>v(f, Y)</math> die Bewertung von <math>f</math> im [[Diskreter Bewertungsring|diskreten Bewertungsring]], der zu einem generischen Punkt von <math>Y</math> gehört. Die Bewertung ist von der Wahl des generischen Punktes unabhängig. Im eindimensionalen Fall entspricht die Bewertung dem Grad der Null- bzw. [[Polstelle]] von <math>f</math> in diesem Punkt. <math>\textstyle (f) := \sum_Y v(f, Y) \cdot Y</math> heißt dann ''Divisor von <math>f</math>'' und definiert tatsächlich einen Weil-Divisor, die Summanden sind nur für endlich viele Primdivisoren von Null verschieden.

* Zwei Weil-Divisoren heißen ''linear äquivalent'', falls ihre Differenz ein Hauptdivisor ist. Der Quotient von <math>\mathrm{Div}\, X</math> bezüglich dieser Äquivalenz ist die ''Divisorenklassengruppe'' und wird mit <math>\mathrm{Cl}\, X</math> bezeichnet.

=== Cartier-Divisor ===

Sei <math>X</math> eine [[komplexe Mannigfaltigkeit]] bzw. eine [[algebraische Varietät]] und <math>\mathcal{O}</math> bezeichne die [[Garbe (Mathematik)|Garbe]] der holomorphen bzw. algebraischen Funktionen auf <math>X</math> und <math>\mathcal{M}</math> bezeichne die Garbe der meromorphen bzw. rationalen Funktionen auf <math>X</math>. Die Quotienten-Garbe <math>\mathcal{D} := \mathcal{M}^* / \mathcal{O}^*</math> heißt ''Garbe der Divisoren'', und ein [[Faserbündel|Schnitt]] in <math>\mathcal{D}</math> heißt '''Cartier-Divisor''' (nach [[Pierre Cartier (Mathematiker)|Pierre Cartier]]), meist nur als ''Divisor'' bezeichnet. Die Menge aller Schnitte <math>\Gamma(X, \mathcal{M}^*/\mathcal{O}^*)</math> bildet eine abelsche Gruppe.

* Ein Cartier-Divisor heißt ''Hauptdivisor'', falls er im Bild der natürlichen Abbildung <math>\Gamma(X, \mathcal{M}^*) \to \Gamma(X, \mathcal{M}^*/\mathcal{O}^*)</math> liegt, also der Divisor einer nicht-verschwindenden meromorphen Funktion ist.

* Zwei Cartier-Divisoren heißen ''linear äquivalent'', falls ihr Quotient ein Hauptdivisor ist. Der Quotient bezüglich dieser Äquivalenz wird mit <math>\mathrm{CaCl}\, X</math> bezeichnet.

=== Beziehung zwischen Cartier- und Weil-Divisoren ===

Sei <math>X</math> ein noethersches integres separiertes Schema, dessen [[lokaler Ring|lokale Ringe]] alle [[Faktorieller Ring|faktoriell]] sind. Dann ist die Gruppe <math>\mathrm{Div}\, X</math> der Weil-Divisoren auf <math>X</math> isomorph zur Gruppe der Cartier-Divisoren <math>\Gamma(X, \mathcal{M}^*/\mathcal{O}^*)</math>. Dieser Isomorphismus erhält die Eigenschaft, Hauptdivisor zu sein und führt die Quotientengruppen <math>\mathrm{Cl}\, X</math> und <math>\mathrm{CaCl}\, X</math> ineinander über.

== Weblinks ==
{{Wiktionary|Divisor}}

== Literatur ==

* Joseph L. Taylor: ''Several Complex Variables with Connections to Algebraic Geometry and Lie Groups.'' American Mathematical Society 2002, ISBN 0-8218-3178-X
* William Fulton: ''Algebraic Curves. An Introduction to Algebraic Geometry.'' Mathematics lecture note series, 30. Benjamin/Cummings, New York 1969, ISBN 0-201-51010-3
* Robin Hartshorne: ''Algebraic Geometry''. Springer-Verlag 1977. ISBN 0-387-90244-9
* Reinhold Remmert, Georg Schumacher: ''Funktionentheorie 2.'' Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-57052-3

[[Kategorie:Funktionentheorie]]
[[Kategorie:Algebraische Geometrie]]

Divisor - Versionsgeschichte

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