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2025-04-09T23:26:05Z

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| '''Divisionsalgebra'''
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berührt die Spezialgebiete
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*[[Mathematik]]
**[[Abstrakte Algebra]]
**[[Lineare Algebra]]
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ist Spezialfall von
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*[[Algebra (Struktur)|Algebra]]
*[[Ternärkörper|Quasikörper]] (für Divisionsalgebra mit Eins)
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umfasst als Spezialfälle
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*[[Schiefkörper]]
*[[Oktave (Mathematik)|Oktaven]]
|}

'''Divisionsalgebra''' ist ein Begriff aus dem [[Mathematik|mathematischen]] Teilgebiet der [[Abstrakte Algebra|abstrakten Algebra]]. Grob gesprochen handelt es sich bei einer Divisionsalgebra um einen [[Vektorraum]], in dem man Elemente multiplizieren und dividieren kann.

== Definition und Beispiel ==
Eine Divisionsalgebra ist eine nicht notwendigerweise [[Assoziative Algebra|assoziative]] [[Algebra über einem Körper|Algebra]] <math>D \neq \{0\}</math>, in der zu je zwei Elementen <math>a, b \in D, a \neq 0,</math> die Gleichungen <math>a \times x = b</math> und <math>y \times a = b</math> stets eindeutige Lösungen <math>x, y \in D</math> besitzen. Dabei bezeichnet <math>\times </math> die Vektormultiplikation in der Algebra. Das ist im endlich-dimensionalen Fall gleichbedeutend damit, dass die Algebra frei von [[Nullteiler]]n ist.<ref>z. B. Shafarevich, Grundzüge der algebraischen Geometrie, Vieweg 1972, S. 201. Die lineare Abbildung <math>\phi (x)= a \times x</math> (analog für Rechtsmultiplikation) bildet D auf sich ab und ist injektiv, der [[Kern (Algebra)|Kern]] besteht danach nur aus der Null.</ref>

Enthält die Divisionsalgebra ein Einselement, so dass für alle <math>a \in D</math> gilt, dass <math>a \times 1 = 1 \times a = a</math>, so spricht man von einer Divisionsalgebra mit Eins.

Beispiel einer Divisionsalgebra ohne Einselement mit den beiden Einheiten <math>e_1</math> und <math>e_2</math>, die mit beliebigen reellen Zahlen multipliziert werden können:

<math>
\begin{matrix}
e_1 \times e_1 &=& +e_1\\
e_1 \times e_2 &=& -e_2\\
e_2 \times e_1 &=& -e_2\\
e_2 \times e_2 &=& -e_1
\end{matrix}
</math>

== Sätze über reelle Divisionsalgebren ==
Eine endlichdimensionale Divisionsalgebra über den [[reelle Zahlen|reellen Zahlen]] hat stets die [[Dimension (Mathematik)|Dimension]] 1, 2, 4 oder 8. Das wurde 1958 mit [[Algebraische Topologie|topologischen Methoden]] von [[John Milnor]] und [[Michel Kervaire]] bewiesen.

Die vier reellen, [[Normierte Algebra|normierten]], Divisionsalgebren mit Eins sind (bis auf [[Isomorphismus|Isomorphie]]):
* die reellen Zahlen selbst
* die [[komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]]
* die [[Quaternion]]en
* die [[Oktave (Mathematik)|Oktaven]] auch Oktonionen oder Cayley-Zahlen.
Dieses Resultat ist als Satz von [[Adolf Hurwitz|Hurwitz]] (1898) bekannt. Alle außer den Oktaven erfüllen das [[Assoziativgesetz]] der Multiplikation.

Jede reelle, endlichdimensionale und assoziative Divisionsalgebra ist isomorph zu den reellen Zahlen, den komplexen Zahlen oder zu den Quaternionen; dies ist der [[Satz von Frobenius (reelle Divisionsalgebren)|Satz von Frobenius]] (1877).

Jede reelle, endlichdimensionale kommutative Divisionsalgebra hat maximal die Dimension 2 als Vektorraum über den reellen Zahlen (Satz von Hopf, [[Heinz Hopf]] 1940). Dabei wird Assoziativität nicht vorausgesetzt.

== Topologische Beweise der Existenz von Divisionsalgebren über den reellen Zahlen ==
Heinz Hopf zeigte 1940, dass die Dimension einer Divisionsalgebra eine Potenz von 2 sein muss.<ref>Hopf, Ein topologischer Beitrag zur reellen Algebra, Comm. Math. Helvetici, Band 13, 1940/41, S. 223–226</ref> 1958 zeigten dann [[Michel Kervaire]] und [[John Milnor]]<ref>Milnor, Some consequences of a theorem of Bott, Annals of Mathematics, Band 68, 1958, S. 444–449</ref> unabhängig voneinander unter Benutzung des Periodizitätssatzes von [[Raoul Bott]] über Homotopiegruppen der [[Unitäre Gruppe|unitären]] und [[Orthogonale Gruppe|orthogonalen]] Gruppen, dass die Dimensionen <math>1</math>, <math>2</math>, <math>4</math> oder <math>8</math> sein müssen (entsprechend den reellen Zahlen, den komplexen Zahlen, den Quaternionen und Oktonionen). Letztere Aussage konnte bisher nicht rein algebraisch bewiesen werden. Der Beweis wurde von [[Michael Atiyah]] und [[Friedrich Hirzebruch]] auch mit Hilfe der [[Topologische K-Theorie|K-Theorie]] formuliert.<ref>Atiyah, Hirzebruch, Bott periodicity and the parallelisability of the spheres, Proc. Cambridge Phil. Soc., Band 57, 1961, S. 223–226</ref><ref>Die Darstellung zu den topologischen Beweisen folgt Friedrich Hirzebruch, Divisionsalgebren und Topologie (Kapitel 10), in Ebbinghaus u. a. Zahlen, Springer, 1983</ref>

Dazu betrachtet man nach Hopf die Multiplikation einer Divisionsalgebra der Dimension <math>n</math> über den reellen Zahlen als stetige Abbildung <math>\mathbb R^n \times \mathbb R^n \to \mathbb R^n</math> oder eingeschränkt auf Elemente der Länge <math>1</math> (man teile durch die Norm der Elemente, diese ist ungleich null für Elemente ungleich null da eine Divisionsalgebra nullteilerfrei ist) als Abbildung <math>S^{n-1} \times S^{n-1} \to S^{n-1}</math>. Hopf bewies, dass es eine solche ungerade Abbildung (das heißt <math>f (-x, y) =-f(x,y) =f (x, -y)</math>) nur gibt, wenn <math>n</math> eine Potenz von <math>2</math> ist. Dazu benutzte er die Homologiegruppen des projektiven Raums. Es gibt weitere äquivalente Formulierungen zur Existenz von Divisionsalgebren der Dimension <math>n</math>:

*Die Sphäre <math>S^{n-1}</math> (oder der projektive Raum <math>\mathbb P^{n-1}</math>) ist parallelisierbar (das heißt, es gibt zu jedem Punkt <math>x</math> von <math>S^{n-1}</math> (n-1) [[Lineare Unabhängigkeit|linear unabhängige]] Vektoren, die stetig von <math>x</math> abhängen und senkrecht auf <math>x</math> stehen).
*Es gibt Vektorraumbündel <math>E</math> über <math>S^{n-1}</math> mit [[Stiefel-Whitney-Klassen|Stiefel-Whitney Kohomologieklasse]] <math>w_n (E)</math> ungleich null.
*Es gibt eine Abbildung <math>f\colon S^{2n-1} \to S^n</math> mit ungerader [[Hopf-Invariante]] (siehe [[Hopf-Verschlingung]]). [[John Frank Adams|Frank Adams]] zeigte, dass solche Abbildungen nur für <math>n\in \{2,4, 8\}</math> existieren.<ref>Adams, On the non-existence of elements of Hopf invariant one, Annals of Mathematics, Band 72, 1960, S. 20–104</ref><ref>Ein Beweis mit K-Theorie ist in Atiyah, K-Theory, Benjamin 1967</ref>

== Anwendung ==
* Divisionsalgebren mit Einselement sind [[Ternärkörper|Quasikörper]] (nicht unbedingt umgekehrt). Daher liefert jedes Beispiel einer Divisionsalgebra <math>D</math> in der [[Synthetische Geometrie|synthetischen Geometrie]] ein Beispiel für eine [[Affine Translationsebene]] <math>D^2</math>.

== Siehe auch ==
* [[Hyperkomplexe Zahl]]

== Literatur ==
* Ebbinghaus et al.: ''Zahlen''. Berlin: Springer, 1992, ISBN 3-540-55654-0
* Stefaan Caenepeel, A. Verschoren ''Rings, Hopf Algebras, and Brauer Groups'', CRC Press, 1998, ISBN 0-82470-153-4

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Algebra]]

Divisionsalgebra - Versionsgeschichte

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