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2025-09-03T18:24:45Z

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[[Datei:Illustration of distributive property with rectangles.svg|mini|Visualisierung des Distributivgesetzes für positive Zahlen]]
Die '''Distributivgesetze''' ({{laS|distribuere|de=verteilen}}), auf Deutsch ''Verteilungsgesetze,'' sind [[Mathematik|mathematische]] Regeln, die angeben, wie sich zwei [[zweistellige Verknüpfung]]en bei der Auflösung von Klammern zueinander verhalten, nämlich dass die eine Verknüpfung in einer bestimmten Weise mit der anderen Verknüpfung [[Verträglichkeit (Mathematik)|verträglich]] ist.

Insbesondere in der [[Schulmathematik]] bezeichnet man die Verwendung des Distributivgesetzes zur Umwandlung einer [[Summe]] in ein [[Produkt (Mathematik)|Produkt]] als ''Ausklammern'', ''Herausheben'' oder ''Faktorisieren''. Das Auflösen von Klammern durch Anwenden des Distributivgesetzes wird als ''Ausmultiplizieren'' bezeichnet.<ref>{{Literatur |Titel=Basiswissen Schule - Mathematik 5. bis 10. Klasse |Hrsg=Günther Rolles, Michael Unger |Sammelwerk= |Verlag=Duden |Datum=2010 |ISBN=978-3-411-71504-6 |Seiten=126}}</ref>

Das Distributivgesetz bildet mit dem [[Assoziativgesetz]] und dem [[Kommutativgesetz]] grundlegende Regeln der [[Algebra]].

== Formale Definition ==
Auf einer Menge <math>A</math> seien zwei [[zweistellige Verknüpfung]]en <math>{\diamond}\colon A \times A\to A</math> und <math>*\colon A \times A\to A</math> definiert. Die Verknüpfung <math>*</math> heißt
* ''linksdistributiv'' über <math>\diamond,</math> wenn für alle <math>a, b, c \in A</math> gilt <math>a * (b \diamond c) = (a * b) \diamond (a * c)</math>;
* ''rechtsdistributiv'' über <math>\diamond,</math> wenn für alle <math>a, b, c \in A</math> gilt <math>(a \diamond b) * c = (a * c) \diamond (b * c)</math>;
* ''distributiv'' über <math>\diamond,</math> wenn sie links- und rechtsdistributiv über <math>\diamond</math> ist.
Wenn die Verknüpfung <math>*</math> kommutativ ist, so sind diese drei Bedingungen [[Logische Äquivalenz|äquivalent]].

== Bedeutung ==
Als Beispiel können die zweistelligen Verknüpfungen der [[Addition]] <math>(+)</math> und der [[Multiplikation]] <math>(\cdot)</math> von [[Zahlen]] dienen.

Man unterscheidet zwischen ''linksdistributiven'' und ''rechtsdistributiven'' Verknüpfungen:

: <math>a \cdot \left( b \pm c \right) = a \cdot b \pm a \cdot c</math>  (linksdistributiv)
: <math>(a \pm b) \cdot c = a \cdot c \pm b \cdot c</math>  (rechtsdistributiv)

In Worten:

Eine Summe (bzw. Differenz) wird mit einem Faktor multipliziert, indem man jeden Summand (bzw. Minuend und Subtrahend) mit diesem Faktor multipliziert und die Produktwerte addiert (bzw. subtrahiert).

Ist die „übergeordnete“ Verknüpfung, in diesem Fall die Multiplikation, [[Kommutativgesetz|kommutativ]], so kann man aus der Linksdistributivität auch die Rechtsdistributivität folgern und umgekehrt.

Ein Beispiel für „nur“ Rechtsdistributivität ist die [[Division (Mathematik)|Division]], die nicht kommutativ ist:
: <math>(a \pm b) : c = a : c \pm b : c\quad (c \neq 0)</math>
Hier gilt in der Regel:
: <math>a : (b \pm c) \neq a : b \pm a : c</math>
In der Schulmathematik werden meistens nur die beidseitigen (kommutativen) Distributivgesetze als solche bezeichnet und das Divisionsgesetz umgangen. Es wird dann nur gerechnet:

Für <math> a = m \cdot c </math> und <math>b = n \cdot c</math> mit <math>c \neq 0</math> gilt
: <math>(a \pm b) : c = (m \cdot c \pm n \cdot c) : c = (m \pm n) \cdot c : c = m \pm n</math>.

Die Distributivgesetze gehören zu den [[Axiom]]en für [[Ring (Algebra)|Ringe]] und [[Körper (Algebra)|Körper]]. Beispiele für Strukturen, in denen zwei Funktionen sich gegenseitig zueinander distributiv verhalten, sind [[Boolesche Algebra|Boolesche Algebren]], wie die Algebra der [[Menge (Mathematik)|Mengen]] oder die [[Schaltalgebra]]. Es gibt aber auch Kombinationen von Verknüpfungen, die sich nicht distributiv zueinander verhalten; zum Beispiel ist die Addition nicht distributiv gegenüber der Multiplikation.

Das Multiplizieren von Summen kann man auch folgendermaßen in Worte fassen: Eine Summe wird mit einer Summe multipliziert, indem man jeden Summanden der einen Summe mit jedem Summanden der anderen Summe – unter Beachtung der [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] – multipliziert und die entstehenden Produkte addiert.

== Beispiele ==
=== Reelle Zahlen ===
In den folgenden Beispielen wird die Verwendung des Distributivgesetzes auf der Menge der [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] <math>\R</math> illustriert. In der Schulmathematik spricht man bei diesen Beispielen meist von ''Ausmultiplizieren''. Aus der Sicht der [[Algebra]] bilden die reellen Zahlen einen [[Körper (Algebra)|Körper]], was die Gültigkeit des Distributivgesetzes sichert.

'''Erstes Beispiel'''

Beim Kopfrechnen wird das Distributivgesetz oftmals unbewusst verwendet:
: <math>6 \cdot 16 = 6 \cdot (10+6) = 6\cdot 10 + 6 \cdot 6 = 60+36 = 96</math>
Man will 6 · 16 im Kopf berechnen. Dazu multipliziert man 6 · 10 sowie 6 · 6 und addiert die Zwischenergebnisse. Auch das [[Schriftliches Multiplizieren|schriftliche Multiplizieren]] beruht auf dem Distributivgesetz.

'''Zweites Beispiel'''

: <math>3 \cdot a^2 \cdot b \cdot (4 \cdot a - 5 \cdot b) = 3 \cdot a^2 \cdot b \cdot 4 \cdot a - 3 \cdot a^2 \cdot b \cdot 5 \cdot b = 12 \cdot a^3 \cdot b - 15 \cdot a^2 \cdot b^2</math>

'''Drittes Beispiel'''

: <math>
\begin{align}
(a + b) \cdot (a - b) &= a \cdot (a - b) + b \cdot (a - b) = a^2 - a \cdot b + b \cdot a - b^2 = a^2 - b^2 \\
&= (a + b) \cdot a - (a + b) \cdot b = a^2 + b \cdot a - a \cdot b - b^2 = a^2 - b^2
\end{align}
</math>
Hier wurde das Distributivgesetz zweimal angewandt und das Ergebnis zusammengefasst. Dabei ist es egal, welche Klammer zuerst ausmultipliziert wird oder ob in einem Schritt jeder Summand der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert wird. Es ergibt sich also die dritte [[Binomische Formel]].

'''Viertes Beispiel'''

Hier wird das Distributivgesetz andersherum angewandt als in den Beispielen zuvor. Betrachte
: <math>12 \cdot a^3 \cdot b^2 - 30 \cdot a^4 \cdot b \cdot c + 18 \cdot a^2 \cdot b^3 \cdot c^2</math>
Da in allen [[Summand]]en der [[Faktor (Mathematik)|Faktor]] <math>6 a^2 b</math> vorkommt, kann dieser ausgeklammert werden. Das heißt, aufgrund des Distributivgesetzes gilt
: <math>12 \cdot a^3 \cdot b^2 - 30 \cdot a^4 \cdot b \cdot c + 18 \cdot a^2 \cdot b^3 \cdot c^2 = 6 \cdot a^2 \cdot b \cdot (2 \cdot a \cdot b - 5 \cdot a^2 \cdot c + 3 \cdot b^2 \cdot c^2)</math>

=== Matrizen ===
Auch für die [[Matrizenmultiplikation]] ist das Distributivgesetz gültig. Genauer gesagt gilt
: <math>(A + B) \cdot C = A \cdot C + B \cdot C</math>
für alle <math>l \times m</math>-Matrizen <math>A,B</math> und <math>m \times n</math>-Matrizen <math>C</math> sowie
: <math>A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C</math>
für alle <math>l \times m</math>-Matrizen <math>A</math> und <math>m \times n</math>-Matrizen <math>B, C</math>. Da für die Matrizenmultiplikation das [[Kommutativgesetz]] nicht gilt, folgt aus dem ersten Gesetz nicht das zweite. Es handelt sich in diesem Fall also um zwei verschiedene Gesetze.

=== Mengenlehre ===
In der [[Mengenlehre]] gelten für die [[Schnittmenge]], [[Vereinigungsmenge]] und [[Differenzmenge]] folgende [[Mengenlehre#Gesetzmäßigkeiten|Distributivgesetze]]:
: <math>A \cup \left( B \cap C \right) = \left( A \cup B \right) \cap \left( A \cup C \right)</math>
: <math>A \cap \left( B \cup C \right) = \left( A \cap B \right) \cup \left( A \cap C \right)</math>
: <math>(A \cap B) \setminus C = (A \setminus C) \cap (B \setminus C)</math>
: <math>(A \cup B) \setminus C = (A \setminus C) \cup (B \setminus C)</math>

=== Aussagenlogik ===
In der [[Aussagenlogik]] gelten für die [[Konjunktion (Logik)|Konjunktion]] und die [[Disjunktion]] folgende Distributivgesetze:
: <math>A \lor (B \land C) \Leftrightarrow (A \lor B) \land (A \lor C)</math>
: <math>A \land (B \lor C) \Leftrightarrow (A \land B) \lor (A \land C)</math>

== Siehe auch ==
* [[Distributiver Verband]]
* [[Boolesche Algebra]] (klassische Aussagenlogik)

== Literatur ==
* {{EoM
|Titel = Distributivity
|Autor = D. M. Smirnov
|Url = http://eom.springer.de/D/d033590.htm}}

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Mathematrix: Kompass/ Arbeiten mit Termen/ Distributivgesetz|<math>{\color{BlueViolet}\begin{matrix}{\mathbf{MATHE} \mu \alpha T\mathbb R ix}\end{matrix}}</math> Mathematik für die Schule |suffix=Distributivgesetz}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Arithmetik]]
[[Kategorie:Mathematischer Grundbegriff]]

Distributivgesetz - Versionsgeschichte

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