imported>Leif Czerny am 6. November 2024 um 15:24 Uhr

2024-11-06T15:24:32Z

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{{Begriffsklärungshinweis}}
{{Weiterleitungshinweis|ODER|Weitere Bedeutungen sind unter [[Oder (Begriffsklärung)]] aufgeführt.}}

[[Datei:Venn0111.svg|mini|200px|[[Venn-Diagramm]] der Disjunktion<br />Die [[Menge (Mathematik)#Vereinigung (Vereinigungsmenge)|Vereinigung]] von Mengen wird über die (nicht-ausschließende) Disjunktion definiert.]]
[[Datei:OR-Gatter.png|mini|200px|Technische Realisierung der nicht-ausschließenden Disjunktion im [[Oder-Gatter|OR-Gatter]]:<br /> Wenn Taster E1 '''oder''' E2 betätigt wird, leuchtet die Lampe.<br /> Dieses logische Oder umfasst auch den Fall, dass beide zugleich gedrückt werden.]]

'''Disjunktion''' („Oder-Verknüpfung“, von lat. ''disiungere'' „trennen, unterscheiden, nicht vermengen“) und '''Adjunktion''' (von lat. ''adiungere'', „anfügen, verbinden“) sind in der [[Logik]] die Bezeichnungen für zwei Typen von [[Logische Aussage|Aussagen]], bei denen je zwei Aussagesätze durch ein ausschließendes ''oder'' oder durch ein nichtausschließendes ''oder'' verbunden sind:

# Die '''nicht-ausschließende Disjunktion''' ('''Alternative''', '''Adjunktion''', '''inklusives Oder''', '''OR''') „A oder B (oder beides)“ sagt aus, dass mindestens eine der beiden beteiligten Aussagen [[Wahrheit|wahr]] ist. Sie ist also nur dann falsch, wenn sowohl A als auch B falsch sind.
# Die '''ausschließende Disjunktion''' ('''Kontravalenz''', '''exklusives Oder''', '''XOR''') „(entweder) A oder B (aber nicht beides)“ sagt aus, dass genau eine der beiden beteiligten Aussagen wahr ist (wenn die Disjunktion wahr ist). Die ausschließende Disjunktion ist daher falsch, wenn entweder beide beteiligten Aussagen falsch oder wenn beide beteiligten Aussagen wahr sind. Die ausschließende Disjunktion wird auch [[Kontravalenz]] genannt und unter diesem Stichwort näher behandelt.
# Nur gelegentlich wird auch die nicht-ausschließende Disjunktion der ''Verneinungen'' der beteiligten Aussagen als Disjunktion von A und von B bezeichnet, das heißt die Aussage „nicht A oder nicht B (oder beides)“ beziehungsweise äquivalent „nicht (A und B)“. Diese Verbindung wird u. a. [[Shefferscher Strich]], [[Shefferscher Strich|NAND]] oder ''Exklusion'' (im Sinne der Logik) genannt. Sie entspricht dem mengentheoretischen Begriff [[disjunkt]].<ref>[[Kuno Lorenz]]: „Disjunktion“, in: Jürgen Mittelstraß (Hrsg.): ''Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie.'' Band 1. Stuttgart: Metzler 1995, ISBN 3-476-02012-6, S. 491</ref>

Seltener gebrauchte Bezeichnungen für die Disjunktion lauten '''Alternative''', '''Kontrajunktion''', '''Bisubtraktion''', '''Alternation''' und '''logische Summe'''.
Die mehrdeutige Verwendung von „Disjunktion“ etc. ist auf die verschiedenen Rollen des natürlich-sprachlichen [[Konjunktion (Wortart)#oder|oder]] rückführbar. Die Teilaussagen einer Disjunktion (Adjunktion) werden Disjunkte (Adjunkte) genannt, das die Teilaussagen verknüpfende Wort („oder“) wird als '''Disjunktor''' ('''Adjunktor''') bezeichnet.

== Nicht-ausschließende Disjunktion ==
Die nicht-ausschließende Disjunktion (auch Alternative, Adjunktion) ist eine zusammengesetzte Aussage vom Typ „A oder B (oder beides)“. Sie ist wahr, wenn mindestens eine der beiden beteiligten Aussagen wahr ist. Die [[Wahrheitstabelle]] der entsprechenden [[Wahrheitswertefunktion]], der '''vel-Funktion''' ('''OR'''-Funktion eines ''[[Logikgatter|Gatters]]'') ist:

{| class="wikitable centered" style="text-align:center;"
! <math>A</math> || <math>B</math> || <math>A</math> oder <math>B</math>
|-
| width="33%"|wahr || width="33%"|wahr || width="33%"|wahr
|-
|class="hintergrundfarbe2"|wahr || falsch ||class="hintergrundfarbe2"|wahr
|-
| falsch ||class="hintergrundfarbe2"|wahr ||class="hintergrundfarbe2"|wahr
|-
| falsch || falsch || falsch
|-
|}

Darstellungen sind <code>A oder B</code>, <code>A or B</code>, <code>A .or. B</code> (Programmiersprachen, z. B. Fortran), <math>A + B</math> (lies: "A summe B", ''nicht'': "A plus B"), <math> A \lor B </math> und, in der [[Polnische Notation|polnischen Notation]], <math>Aab</math> (hier ist der Großbuchstabe ''A'' der Operator, die Operanden werden in Kleinbuchstaben ausgedrückt). Die Verwendung des Pluszeichens für den Operator ist in älterer Literatur zu finden und auch wegen Verwechslungsgefahr mit der Addition unüblich geworden.

In der Notation <math> A \lor B </math> einer Verknüpfung von Aussagen steht das Symbol <math>\lor</math> ([[Unicode]]: U+2228, ∨) für die nicht-ausschließende Disjunktion als aussagenlogischen [[Junktor]]. Es ähnelt dem Zeichen <math>\textstyle \cup</math> für die [[Menge (Mathematik)#Vereinigung (Vereinigungsmenge)|Vereinigungsmenge]] und erinnert an den Buchstaben „v“, mit dem das lateinische Wort „vel“ anfängt, das für ein solches nicht-ausschließendes Oder steht.

Eine Disjunktion ist ein [[Boolesche Algebra|Boolescher Ausdruck]], sie ist [[Assoziativgesetz|assoziativ]] und [[kommutativ]].

Aus dem Gesagten folgt:
* Ist A falsch und ist B falsch, so ist die Disjunktion falsch; in jedem anderen Fall ist sie wahr.
* Ist die Disjunktion falsch, so ist sowohl A als auch B falsch.
* Ist die Disjunktion wahr, muss eine der folgenden Möglichkeiten vorliegen:
*# beide Disjunkte sind wahr
*# A ist falsch und B ist wahr oder
*# A ist wahr und B ist falsch

=== Beispiel ===
Die Aussage „Tom hilft beim Streichen'' oder'' Anna hilft beim Streichen“ besteht aus folgenden Teilen:
* der Teilaussage/dem Disjunkt A: „Tom hilft beim Streichen“
* dem Disjunktor „oder“, hier nicht ausschließend aufgefasst
* der Teilaussage/dem Disjunkt B: „Anna hilft beim Streichen“
Keine der beiden Teilaussagen schließt hier die andere aus.
Die Aussage ist falsch, wenn weder Tom noch Anna beim Streichen helfen, ansonsten wahr. Sie ist insbesondere auch wahr, wenn sowohl Tom als auch Anna beim Streichen helfen.

== Ausschließende Disjunktion ==
{{Hauptartikel|Kontravalenz}}

Die ausschließende Disjunktion (Kontravalenz, XOR) ist eine zusammengesetzte Aussage, bei der zwei Aussagen mit der Formulierung „entweder – oder (aber nicht beides)“ verknüpft werden, zum Beispiel die Aussage „Anna studiert ''entweder'' Französisch ''oder'' sie studiert Spanisch (aber nicht beides).“ Damit ausgeschlossen ist der Fall, dass beide Teilaussagen wahr sind – im Beispiel also der Fall, dass Anna ''sowohl'' Französisch ''als auch'' Spanisch studiert –, eben hierin besteht der Unterschied zur nicht-ausschließenden Disjunktion. Der [[latein]]ische Ausdruck für das ausschließende Oder lautet ''aut'' – ''aut''.

Die [[Wahrheitstabelle]] für die '''aut-Funktion''' ('''XOR'''-Funktion eines ''[[Logikgatter|Gatter]]s'') als [[Wahrheitswertefunktion]] der ausschließenden Disjunktion ist damit:

{| class="wikitable centered" style="text-align:center;"
|-
! width="33%"|<math>A</math> || width="33%"|<math>B</math> || width="33%"|<math> A ~ \dot\lor ~ B </math>
|-
|class="hintergrundfarbe2"|wahr ||class="hintergrundfarbe2"|wahr || falsch
|-
|class="hintergrundfarbe2"|wahr || falsch ||class="hintergrundfarbe2"|wahr
|-
| falsch ||class="hintergrundfarbe2"|wahr ||class="hintergrundfarbe2"|wahr
|-
| falsch || falsch || falsch
|}

== Ableitungen im Kalkül des natürlichen Schließens ==
{|
|<math>\lor E:\ \frac{A}{A \lor B}\qquad \frac{A}{B \lor A}</math>
|}

Aus einer Aussage ''A'' kann die Disjunktion ''A oder B'' geschlossen werden.<ref>vgl. [[Principia Mathematica]] 1.3</ref><ref>Esther Ramharter, Georg Riekh: ''Die Principia Mathematica auf den Punkt gebracht.'' ÖBV hpt, Wien 2006, S. 20</ref>

Für die durch die Disjunktion zur bereits gegebenen Aussage ''A'' hinzugefügte Aussage ''B'' müssen keine vorherigen Voraussetzungen erfüllt sein, wie die folgende Beispielableitung zeigt.<ref name="strobachs20">[[Niko Strobach]]: ''Einführung in die Logik.'' wbg, Darmstadt 2011, 2. Auflage, S. 58.</ref>

{| class="wikitable zebra"
!Zeile
!Aussage
!Regel
|-
|1
|<math>P\ </math>
|Prämisse
|-
|2
|<math>P \lor Q</math>
|1<math>~\lor</math> (Einführung der Disjunktion)
|}

Zur Auflösung einer Disjunktion muss aus beiden Teilen der Disjunktion dieselbe Aussage hergeleitet werden können.<ref name="strobachs20"/>

{| class="wikitable zebra"
!Zeile
!Aussage
!Regel
|-
|1
|<math>(R \wedge Q)\lor(\lnot R \wedge Q)</math>
|Prämisse
|-
|2
|<math>R \wedge Q</math>
|Annahme
|-
|3
|<math>Q\ </math>
|<math>\wedge B</math> (Und-Beseitigung)
|-
|4
|<math>R \wedge Q \rightarrow Q </math>
| 2,3 <math>\rightarrow E</math> (Implikations-Einfügung)
|-
|5
|<math>\lnot R \wedge Q</math>
|Annahme
|-
|6
|<math>Q\ </math>
|5 <math> \wedge B</math> (Und-Beseitigung)
|-
|7
|<math>\lnot R \wedge Q \rightarrow Q </math>
| 5,6 <math> \rightarrow E</math> (Implikations-Einfügung)
|-
|8
|<math>Q\ </math>
|1,4,7 <math> \wedge B</math> (Disjunktions-Beseitigung)
|}
(Das Zeichen ∧ in der Tabelle bezeichnet die [[Konjunktion (Logik)]].)

== Mengenlehre ==
In der [[Mengenlehre]] definiert man ein Element der Vereinigung zweier Mengen durch die Disjunktion
:<math>x\in A\cup B\iff(x\in A)\lor(x\in B)</math>.

== Siehe auch ==
* [[De Morgansche Regel]]
* [[Oder-Gatter]], [[Exklusiv-Oder-Gatter]], [[XNOR-Gatter]]
* [[Aussagenlogik]]

== Weblinks ==
* {{SEP|https://plato.stanford.edu/entries/disjunction/|Disjunction|Ray Jennings}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Aussagenlogik]]

Disjunktion - Versionsgeschichte

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