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2024-11-11T21:33:47Z

Definitionen: +negationsfreie Def.

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{{SEITENTITEL:disjunkt}}
{{Dieser Artikel|behandelt disjunkte Mengen. Siehe auch [[Disjunktion (Begriffsklärung)]].}}

[[Datei:Disjunkte Mengen.svg|miniatur|Zwei disjunkte Mengen]]

In der [[Mengenlehre]] heißen zwei [[Menge (Mathematik)|Mengen]] <math>A</math> und <math>B</math> '''disjunkt''' ({{laS|''disjunctus (-a, -um)''}} ‚getrennt‘), ''elementfremd'' oder ''durchschnittsfremd'', wenn sie kein gemeinsames Element besitzen. Mehrere Mengen heißen '''paarweise disjunkt''', wenn beliebige zwei von ihnen disjunkt sind.

== Definitionen ==
[[Datei:Disjoint sets.svg|mini|Ein disjunktes Mengensystem]]

Zwei Mengen <math>A</math> und <math>B</math> sind ''disjunkt'', wenn ihre [[Schnittmenge]] [[Leere Menge|leer]] ist, wenn also gilt:
: <math>A\cap B=\emptyset</math>.

Eine [[Mengenfamilie|Familie von Mengen]] <math>(M_i)_{i\in I}</math> ist eine ''disjunkte Mengenfamilie'', wenn ihre Elemente ''paarweise disjunkt'' sind, wenn also gilt:
: <math> M_i \cap M_j = \emptyset</math> für <math>i \ne j</math> und <math>i,j\in I</math>.
Dies lässt sich auch ohne Rückgriff auf Negationen formulieren:
: <math>i = j</math> für alle <math>i,j \in I</math> und <math>x \in M_i \cap M_j</math>.
Die Vereinigung <math>M</math> einer disjunkten Mengenfamilie nennt man [[disjunkte Vereinigung]] und schreibt sie als
: <math>M=\dot{\bigcup_{i \in I}}M_i</math>.

Sind außerdem alle Mengen der Familie nichtleer, liegt eine [[Partition (Mengenlehre)|Partition]] von <math>M</math> vor.

Die Begriffe werden auch analog für [[Mengensystem]]e (anstelle von Mengenfamilien) verwendet.

== Beispiele ==
* Die Mengen <math>A = \{1, 2, 3\}</math> und <math>B = \{7, 8, 11\}</math> sind disjunkt, weil sie kein gemeinsames Element haben.
* Die Mengen <math>A = \{1, 2, 7\}</math> und <math>B = \{6, 7, 8, 11\}</math> sind nicht disjunkt, da sie das Element <math>7</math> gemeinsam haben.
* Die drei Mengen <math>A = \{1, 2, 3\}</math>, <math>B = \{4, 5\}</math> und <math>C = \{5, 6, 7\}</math> sind nicht paarweise disjunkt, da zumindest eine der drei möglichen Schnittmengen (nämlich <math>B \cap C</math>) nicht leer ist.
* Die folgende Aufzählung definierte eine (unendliche) disjunkte Mengenfamilie, die eine Partition der [[Ganze Zahl|ganzen Zahlen]] darstellt: <math>\{0\}, \{1, -1\}, \{2, -2\}, \{3, -3\}, \{4, -4\}, \ldots</math>.
* Zwei verschiedene [[Gerade]]n <math>g</math> und <math>h</math> in der [[Euklidische Ebene|euklidischen Ebene]] sind genau dann disjunkt, wenn sie [[Parallel (Geometrie)|parallel]] sind. Die Gesamtheit aller Parallelen zu einer gegebenen Geraden <math>g</math> bildet eine Partition der Ebene.

Weitere Beispiele:

<gallery>
Veranschaulichung von disjunkten Mengen.svg|Die Menge mit der Spielkarte und dem Buch ist disjunkt zur Menge mit der Gitarre und der Trommel.
Example of a pairwise disjoint family of sets.svg|Ein paarweise disjunktes Mengensystem
Example of a non pairwise disjoint family of sets.svg|Ein nicht paarweise disjunktes Mengensystem
</gallery>

== Anwendung ==
Bei der [[Fragebogen]]konstruktion müssen Fragen so formuliert werden, dass die Antwortmöglichkeiten ([[Begriffsbeziehung]]en) disjunkt und [[erschöpfend]] sind.

Beispiel für nicht-disjunkte Antwortmöglichkeiten: Wie viel verdienen Sie?
# 0 bis 1000 Euro
# 500 und mehr Euro.

Personen mit einem Verdienst zwischen 500 und 1000 Euro wissen nicht, welche Antwortmöglichkeit sie wählen sollen.

== Eigenschaften ==
* Die [[leere Menge]] <math>\emptyset</math> ist disjunkt zu jeder beliebigen Menge.
* <math>\{a\}</math> und <math>B</math> sind genau dann disjunkt, wenn <math>a \notin B</math>.
* Die [[Mächtigkeit (Mathematik)|Mächtigkeit]] einer endlichen disjunkten Vereinigung endlicher Mengen ist gleich der Summe der Einzelmächtigkeiten. Für nicht-disjunkte Vereinigungen gilt die [[Siebformel]].
* Einelementige Mengensysteme sind immer paarweise disjunkt.
* Das leere Mengensystem ist paarweise disjunkt<ref>Siehe die Antworten zur Frage [http://math.stackexchange.com/q/1211584/32951 „Is the empty family of sets pairwise disjoint?“]</ref>

== Siehe auch ==
* [[Lineare Disjunktheit]], ein Begriff der [[Abstrakte Algebra|abstrakten Algebra]] im Zusammenhang mit [[Körpererweiterung]]en, der mit der hier betrachteten Disjunktheit nur gemeinsam hat, dass die Schnittmenge linear disjunkter Körper ''kleinstmöglich'' ist.

== Weblinks ==
{{Wiktionary|disjunkt}}
{{Wikibooks|Mathe für Nicht-Freaks: Disjunkte Mengen und paarweise disjunkte Mengensysteme}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Mengenlehre]]

Disjunkt - Versionsgeschichte

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