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2025-09-16T06:19:27Z

Dimension eines Vektorraumes (Hamel-Dimension)

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Die '''Dimension''' ist ein Konzept in der [[Mathematik]], das im Wesentlichen die Anzahl der [[Freiheitsgrad]]e einer [[Bewegung (Physik)|Bewegung]] in einem bestimmten [[Raum (Mathematik)|Raum]] bezeichnet.

Der Begriff der Dimension tritt in einer Vielzahl von Zusammenhängen auf. Kein einzelnes mathematisches Konzept vermag es, die Dimension für alle Situationen zufriedenstellend zu definieren, darum existieren für verschiedene Räume auch unterschiedliche Dimensionsbegriffe.

== Dimension eines Vektorraumes (Hamel-Dimension) {{Anker|Hamel-Dimension}} ==
[[Datei:Dimension von Vektorräumen (Beweis).webm|mini|Beweis, dass jede Basis eines Vektorraums dieselbe Mächtigkeit hat]]
Am bekanntesten ist die Dimension eines [[Vektorraum]]s, auch ''Hamel-Dimension'' genannt. Sie ist gleich der [[Mächtigkeit (Mathematik)|Mächtigkeit]] einer [[Basis (Vektorraum)|Basis]] des Vektorraums. Folgende Aussagen sind hierzu äquivalent:
* Die Dimension ist gleich der Mächtigkeit eines minimalen [[Erzeuger (Algebra)|Erzeugendensystems]].
* Die Dimension ist gleich der Mächtigkeit eines maximalen Systems [[Lineare Unabhängigkeit|linear unabhängiger]] Vektoren.

Beispielsweise besitzt der geometrisch anschauliche [[Euklidischer Raum|euklidische 3-Raum]] die Dimension 3 (Länge, Breite, Höhe). Die euklidische Ebene hat die Dimension 2, die [[Zahlengerade]] die Dimension 1, der [[Punkt (Geometrie)|Punkt]] die Dimension 0. Allgemein hat der Vektorraum <math>\R^n</math> die Dimension <math>n</math>.

Die Dimension von <math>\Complex</math> hängt im Wesentlichen davon ab, ob man einen Vektorraum über dem Körper <math>\R</math> oder <math>\Complex</math> betrachtet, das bedeutet
:<math>\operatorname{dim}_{\Complex}(\Complex)=1\quad</math> aber <math>\quad\operatorname{dim}_{\R}(\Complex)=2.</math>

Vektorräumen, die kein endliches Erzeugendensystem besitzen, kann man ebenfalls die [[Mächtigkeit (Mathematik)|Mächtigkeit]] eines minimalen Erzeugendensystems als Dimension zuordnen; es handelt sich dabei dann um eine unendliche [[Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahl]]. Ein Vektorraum mit endlicher Dimension heißt ''endlichdimensional'', ansonsten ''unendlichdimensional''.

Das Wort „Hamel-Basis“ wird vor allem für unendlichdimensionale Vektorräume verwendet, weil [[Georg Hamel]] als Erster (mit Hilfe des [[Wohlordnungssatz]]es, also des [[Auswahlaxiom]]s) die Existenz einer Basis auch in diesem Fall bewiesen hat.

== Hilbertraum-Dimension ==
Jeder [[Hilbertraum]] besitzt eine [[Orthonormalbasis]]. Nur wenn diese endlich viele Elemente hat, ist sie eine Hamel-Basis im oben definierten Sinne. Weil je zwei Orthonormalbasen gleich viele Elemente haben, ist die Dimension des Hilbertraums als die Kardinalität einer Orthonormalbasis definiert; es handelt sich hierbei um eine [[Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahl]]. Diese Kardinalzahl ist ausreichend, um Hilberträume komplett zu [[Klassifikation (Mathematik)|klassifizieren]]: Zu jeder Kardinalzahl gibt es bis auf [[Isomorphismus|Isomorphie]] genau einen Hilbertraum, der eine Orthonormalbasis der entsprechenden Kardinalität besitzt.

'''Beispiel – Kardinalität Hilbertraum'''

Der Hilbertraum [[L²-Norm#Der Hilbertraum L2|<math>L^2([0,1])</math> der quadratintegrierbaren Funktionen]] auf <math>[0, 1]</math> hat Hilbertraum-Dimension [[aleph null|<math>\aleph_0</math>]] – die Hamel-Dimension ist aber echt größer.

== Dimension einer Mannigfaltigkeit ==
Bekannte zweidimensionale Mannigfaltigkeiten sind die Oberfläche einer Kugel oder das [[Möbiusband]].

=== Homöomorphie von Umgebungen zu Euklidischen Räumen ===
Jeder Punkt einer [[Mannigfaltigkeit]] hat eine [[Umgebung (Mathematik)|Umgebung]], die [[homöomorph]] zum <math>n</math>-dimensionalen Euklidischen Raum ist; dieses <math>n</math> heißt Dimension der Mannigfaltigkeit. So hat beispielsweise jeder Punkt auf einer Kugeloberfläche eine kleine Umgebung, die im Wesentlichen als „zwei-dimensionale ebene Fläche“ aufgefasst werden kann.

=== Zusammenhängende Mannigfaltigkeiten ===
Um zu verhindern, dass die Dimension von der Wahl des Punktes abhängt, wird der Dimensionsbegriff üblicherweise nur für [[Zusammenhängender Raum|zusammenhängende]] Mannigfaltigkeiten verwendet oder Mannigfaltigkeiten werden von vorneherein so definiert, dass der Modellraum und damit die Dimension überall die gleichen sind. So hat beispielsweise ein Punkt auf der Fläche des Möbiusbands eine „360°-Umgebung“, ein Punkt an der Kante jedoch nur eine „180°-Umgebung“.

== Dimension eines metrischen Raumes ==
{{Hauptartikel|Hausdorff-Dimension}}
Die [[Hausdorff-Dimension]] ermöglicht es, jeder Teilmenge eines [[Metrischer Raum|metrischen Raumes]] eine Dimension zuzuordnen. Die Hausdorff-Dimension ist das [[Infimum]] über alle <math>s>0</math>, für die das [[Hausdorff-Maß]] <math>H^s(X)</math> Null ist. Dies ist gleichbedeutend mit dem [[Supremum]] über alle <math>s>0</math>, für die das Hausdorff-Maß unendlich ist.

== Dimension eines Simplizialkomplexes ==
Die Dimension eines abstrakten Simplex, das <math>k+1</math> Ecken enthält, ist definiert als <math>k</math>. Die Dimension des [[Simplizialkomplex]]es <math>\mathcal{K}</math> ist definiert als das Maximum der Dimension aller in <math>\mathcal{K}</math> vorkommender [[Simplex (Mathematik)|Simplizes]]. Falls die Dimension der Simplizes nicht beschränkt ist, dann heißt <math>\mathcal{K}</math> unendlichdimensional.

== Kettenlänge als Dimension ==
Die Dimension eines Vektorraums ist gleich der maximalen Länge (Anzahl von Inklusionen) einer Kette von ineinander enthaltenen Unterräumen. Die Sichtweise der Dimension als Kettenlänge lässt eine Verallgemeinerung auf andere Strukturen zu.

=== Krulldimension ===
So ist etwa die [[Krulldimension]] eines kommutativen [[Ring (Algebra)|Rings]] als maximale Länge einer Kette von ineinander enthaltenen [[Primideal]]en minus 1 definiert.

=== Dimension einer Mannigfaltigkeit ===
Ebenso ist die Dimension einer Mannigfaltigkeit die maximale Länge einer Kette von ineinander enthaltenen Mannigfaltigkeiten, bei der jedes Glied der Kette [[Rand (Topologie)|Rand]] einer Teilmenge des vorigen ist. Zum Beispiel ist der Rand der Erdkugel die Erdoberfläche; Rand von deren Teilmenge Deutschland ist die Staatsgrenze; Rand eines bestimmten Grenzabschnitts sind die beiden Endpunkte – da es keine längere Kette gibt, hat die Erdkugel Dimension 3. Da Inklusion und Randbildung immer definiert sind, liefert dies einen Dimensionsbegriff für jeden [[Topologischer Raum|topologischen Raum]] (sog. [[induktive Dimension]]). Ein gebräuchlicherer topologischer Dimensionsbegriff ist aber die [[Lebesguesche Überdeckungsdimension]].

== Topologische Dimension ==
{{Hauptartikel|Lebesguesche Überdeckungsdimension}}
Ein [[topologischer Raum]] <math>X</math> hat die ''Dimension <math>n</math>'', wenn <math>n</math> die kleinste [[natürliche Zahl]] ist, derart dass es zu jeder [[Offene Überdeckung|offenen Überdeckung]] <math>(U_i)_i</math> eine feinere offene Überdeckung <math>(V_j)_j</math> gibt, so dass jeder Punkt aus <math>X</math> in höchstens <math>n+1</math> der Mengen <math>V_j</math> liegt. Gibt es kein solches <math>n</math>, so heißt <math>X</math> von unendlicher Dimension.

Daneben wird in der Topologie als Alternative zur [[Lebesguesche Überdeckungsdimension|Lebesgueschen Überdeckungsdimension]] noch die sogenannte ''Induktive Dimension'' herangezogen: {{Hauptartikel|Induktive Dimension}}

== Fraktale Dimension ==
{{Hauptartikel|Fraktale Dimension}}
Neben den bislang angegebenen ganzzahligen Dimensionen kennt man auch verallgemeinerte, [[Rationale Zahl|rational-]] oder [[Reelle Zahl|reellzahlige]] Dimensionsbegriffe, mit deren Hilfe sogenannte [[Fraktal]]e verglichen werden können.

== Algebraische Geometrie ==
Siehe [[Algebraische Varietät]] und [[Dimension (kommutative Algebra)]] (Krulldimension).

== Ordnungsdimension ==
{{Hauptartikel|Ordnungsdimension}}
Der Begriff der Ordnungsdimension basiert auf dem [[Satz von Dushnik-Miller]], wonach auf einer Menge <math>X</math> jede [[teilweise Ordnung]] als [[Schnittmenge|Durchschnitt]] von [[Ordnungsrelation#Totalordnung|linearen Ordnungen]] darstellbar ist. Einer [[Teilweise geordnete Menge|teilweise geordneten Menge]] <math>(X,\leq)</math> wird dann als Ordnungsdimension die [[Größtes und kleinstes Element|kleinste]] [[Mächtigkeit (Mathematik)|Mächtigkeit]] eines derartigen darstellenden [[Mengensystem|Systems]] linearer Ordnungsrelationen auf <math>X</math> zugeordnet.

== Siehe auch ==
{{Commonscat|Dimensions|Dimension (Mathematik)|audio=1|video=0}}
* [[Dimension (Größensystem)]]
* [[Dimensionsformel]]

[[Kategorie:Mathematischer Grundbegriff]]
[[Kategorie:Lineare Algebra]]
[[Kategorie:Wikipedia:Artikel mit Video]]

Dimension (Mathematik) - Versionsgeschichte

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