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[[Datei:Injection.svg|mini|Die Definitionsmenge dieser Funktion X → Y ist '''{1, 2, 3}''', in diesem Falle die ganze [[Grundmenge]] '''X'''.]]

In der [[Mathematik]] versteht man unter '''Definitionsmenge''' oder '''Definitionsbereich''' die [[Menge (Mathematik)|Menge]] mit genau den Elementen, für die – je nach Zusammenhang – eine Funktion [[wohldefiniert|definiert]] bzw. eine Aussage erfüllbar ist. In der [[Schulmathematik]] wird die Definitionsmenge oft mit <math>D</math> abgekürzt; gelegentlich wird das <math>\mathbb{D}</math> auch mit einem [[Buchstabe mit Doppelstrich|Doppelstrich]] geschrieben.

== Definitionsbereich einer Funktion ==

Eine [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] <math>f \colon A \to B</math> ist eine spezielle [[Relation (Mathematik)|Relation]], die ''jedem'' [[Element (Mathematik)|Element]] der Definitionsmenge <math>A</math> ''genau ein'' Element der [[Zielmenge]] <math>B</math> zuweist. Die Definitionsmenge wird mit <math>D_f</math> bezeichnet. Hat die Funktion einen anderen Namen als <math>f</math> wie z. B. <math>g</math> oder <math>h</math>, dann wird der Definitionsbereich entsprechend mit <math>D_g</math> oder <math>D_h</math> bezeichnet.

Die Menge

:<math>\{f(a)\mid a\in A\}=\{b \mid \exists a \in A \colon f(a) = b\}\subseteq B</math>

aller Funktionswerte <math>f(a)</math> von <math>f</math> heißt [[Bild (Mathematik)|Bild- oder Wertemenge]] <math>W_f</math> von <math>f</math> und ist eine Teilmenge der Zielmenge.

Die [[Grundmenge]] und die Zielmenge einer Funktion sind wesentliche Teile ihrer Definition. Häufig werden aber die Grundmenge und die Zielmenge einer Funktion nicht mit angegeben, wenn die Funktion auf der maximal möglichen Definitionsmenge gemeint ist (die dann meist eine Teilmenge der [[Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] <math>\mathbb{R}</math> oder [[Komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]] <math>\mathbb{C}</math> ist).

Zwei Funktionen mit gleicher funktionaler Abhängigkeit, aber verschiedenen Grundmengen oder verschiedenen Zielmengen, sind jedoch unterschiedliche Funktionen und können unterschiedliche Eigenschaften haben.

=== Beispiele ===

Gegeben sei die Abbildung <math>f\colon x \mapsto x^2</math> mit der Grundmenge <math>\mathbb{R}</math> und der Zielmenge <math>\mathbb{R}</math>. Dann gilt: <math>f</math> ist eine Funktion mit <math>D_f=\mathbb{R}</math> und <math>W_f=\R_0^+</math>.

# Als Funktion <math>\R_0^+\to\R_0^+</math> (also mit Definitionsmenge <math>\R_0^+</math> und Zielmenge <math>\R_0^+</math>) ist <math>f</math> [[bijektiv]], also sowohl [[surjektiv]] als auch [[Injektivität|injektiv]].
# Als Funktion <math>\R_0^+\to\R</math> (also mit Definitionsmenge <math>\R_0^+</math> und Zielmenge <math>\R</math>) ist <math>f</math> injektiv, aber nicht surjektiv.
# Als Funktion <math>\R\to\R_0^+</math> (also mit Definitionsmenge <math>\R</math> und Zielmenge <math>\R_0^+</math>) ist <math>f</math> surjektiv, aber nicht injektiv.
# Als Funktion <math>\R\to\R</math> (also mit Definitionsmenge <math>\R</math> und Zielmenge <math>\R</math>) ist <math>f</math> weder surjektiv noch injektiv.

=== Einschränkung und Fortsetzung einer Funktion ===
{{Hauptartikel|Einschränkung|Fortsetzung (Mathematik)}}

Sei <math>f\colon A\to B</math> eine Funktion und <math>U\subseteq A</math>, <math>V \subseteq B</math>. Die Funktion <math>r\colon U\to V</math> heißt ''Einschränkung'' von <math>f</math>, wenn <math>r(x)=f(x)</math> für alle <math>x\in U</math> gilt.<ref>[[Edmund Hlawka]], [[Christa Binder]], Peter Schmitt: ''Grundbegriffe der Mathematik.'' Prugg Verlag, Wien 1979. ISBN 3-85385-038-3. S. 38 f, '''Definition 3.13.'''</ref> <math>f</math> heißt in dieser Situation ''Erweiterung'' oder ''Fortsetzung'' von <math>r</math>.<ref name="Gellert167">Walter Gellert, [[Herbert Kästner]], Siegfried Neuber (Hrsg.): ''Lexikon der Mathematik.'' VEB Bibliographisches Institut Leipzig, 1979. S. 167, '''Funktion VII.'''</ref>

Die Einschränkung <math>r</math> wird oft als <math>r=f\left|_U\right.</math> geschrieben. Diese Notation ist nicht völlig exakt, da die Menge <math>V</math> nicht mit angegeben wird; in den interessanten Fällen wird aber meist <math>V=B</math> gewählt.

Für eine Funktion <math>f\colon A\to B</math> und zwei gegebene Mengen <math>U\subseteq A</math>, <math>V\subseteq B</math> gibt es höchstens eine Einschränkung <math>r\colon U \to V</math> von <math>f</math>; diese existiert genau dann, wenn die Bildmenge <math>f(U)</math> Teilmenge von <math>V</math> ist.<ref>Edmund Hlawka, Christa Binder, Peter Schmitt: ''Grundbegriffe der Mathematik.'' Prugg Verlag, Wien 1979. ISBN 3-85385-038-3. S. 39, '''Satz 3.13''' und '''Satz 3.14.'''</ref>

Im Gegensatz zur Einschränkung einer Funktion ist die Fortsetzung nicht eindeutig.

==== Beispiel ====

Gegeben sei die Funktion

:<math>f\colon\left\{\begin{matrix}
\R\setminus \{0\} \to \R\\
x \mapsto x\sin\frac{1}{x}
\end{matrix}\right.</math>

Mögliche Fortsetzungen auf den Definitionsbereich <math>\R</math>, also als Funktionen <math>\R\to \R</math>, sind beispielsweise sowohl

:<math>f_0\colon x \mapsto\left\{\begin{matrix}
0 & \mbox{falls } x=0\\
x\sin\frac{1}{x} & \mbox{falls } x\neq 0
\end{matrix}\right.</math>

als auch

:<math>f_1\colon x \mapsto\left\{\begin{matrix}
1 & \mbox{falls } x=0\\
x\sin\frac{1}{x} & \mbox{falls } x\neq 0
\end{matrix}\right.</math>

<math>f_0</math> ist insofern eine „schönere“ Fortsetzung, als <math>f_0</math> [[stetig]] ist, <math>f_1</math> hingegen nicht. Dies ändert aber nichts daran, dass beide Funktionen korrekte Fortsetzungen sind, da eine eindeutige Fortsetzung in der Funktionsdefinition selbst nicht erhalten ist. Eindeutigkeit ergibt sich erst aus zusätzlichen Forderungen, wie eben Stetigkeit in diesem Beispiel, oder beispielsweise in der Forderung nach einer [[Holomorphe Funktion|holomorphen]] Fortsetzung auf die [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] von einer Funktion, die zunächst nur auf einer Teilmenge der reellen Zahlen definiert ist.

== Definitionsbereich einer Relation ==
Unter dem Definitionsbereich einer [[Relation (Mathematik)|Relation]] <math>R = (A,B,G)</math> mit
:<math>G\subseteq A\times B</math>
versteht man die Projektion von <math>R</math> auf <math>A</math>, also jene Teilmenge von [[Element (Mathematik)|Elementen]] der Quelle <math>A</math>, die als erste Komponenten in Elementen <math>(a,b)\in G</math> vorkommen:<ref>Edmund Hlawka, Christa Binder, Peter Schmitt: ''Grundbegriffe der Mathematik.'' Prugg Verlag, Wien 1979. ISBN 3-85385-038-3. S. 18.</ref>
:<math>\operatorname{Dom}(R):=\{a\in A \mid \exist b\in B: (a,b)\in G\}.</math>

=== Beispiel ===

Gegeben sei die Relation <math>R=(\R,\R,G)</math> mit
:<math>G=\{(x,y) \mid x=y^2\}</math>.
Da für [[Reelle Zahl|reelle]] <math>y</math> das [[Quadrat (Arithmetik)|Quadrat]] immer nichtnegativ (größer oder gleich null) ist und umgekehrt für jedes nichtnegative reelle <math>x</math> mindestens eine reelle Zahl <math>y</math> mit <math>x=y^2</math> existiert, ist für diese Relation der Definitionsbereich die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen: <math>\operatorname{Dom}(R)=\R_0^+</math>.

== Definitionsbereich eines Terms ==

Der Definitionsbereich eines [[Term]]s mit <math>n</math> Variablen <math>a_i</math> und den dazugehörigen [[Grundmenge]]n <math>A_i</math> ist die Menge aller [[Tupel|n-Tupel]] <math>(\alpha_1,\dots,\alpha_n)</math>, <math>\alpha_i\in A_i</math> für <math>i=1,\dots,n</math>, für die der Term in sinnvolle Werte übergeht.<ref name="Gellert167"/>

=== Beispiele ===

Der Definitionsbereich des Terms <math>\frac{1}{x-1}</math> in einer Variablen mit der Grundmenge <math>\mathbb {R}</math> ist <math>\{x\in \R\mid x\neq 1\}</math>, da der [[Bruchrechnung|Bruch]] nur für einen von Null verschiedenen Wert des Nenners sinnvoll definiert ist.

Der Definitionsbereich des Terms <math>\sqrt{x-1}+\sqrt{y-2}</math> in zwei Variablen mit der Grundmenge <math>\mathbb {R}\times\mathbb {R}</math> ist <math>\{(x,y)\in \R\times\R\mid x\geq 1 \mbox{ und } y\geq 2\}</math>, da im reellen Fall die [[Wurzel (Mathematik)|Wurzel]] nur für nichtnegative Werte sinnvoll definiert ist.

== Definitionsbereich von Gleichungen und Ungleichungen ==

Sind <math>T_1</math> und <math>T_2</math> Terme, so nennt man

:<math>T_1=T_2</math>

eine [[Gleichung]],

:<math>T_1\leq T_2</math>

und

:<math>T_1> T_2</math>

und ähnliche Ausdrücke nennt man [[Ungleichung]]en. Beim Lösen einer Gleichung bzw. Ungleichung sucht man jene Werte aus dem Grundbereich, für welche die Gleichung bzw. Ungleichung in eine wahre Aussage übergeht. Als Definitionsbereich bezeichnet man jene Teilmenge des Grundbereiches, für die alle in der Gleichung bzw. Ungleichung auftretenden Terme sinnvoll definiert sind, also die Durchschnittsmenge der Definitionsmenge von <math>T_1</math> und <math>T_2</math>.<ref>Walter Gellert, Herbert Kästner, Siegfried Neuber (Hrsg.): ''Lexikon der Mathematik'', VEB Bibliographisches Institut Leipzig, 1979. S. 199, Gleichung.</ref>

Insbesondere bei komplizierteren Gleichungen kann es vorkommen, dass beim Lösen der Ausgangsgleichung auf eine Gleichung umgeformt wird, die auch Lösungen enthält, die nicht im Definitionsbereich der Ausgangsgleichung enthalten sind. In einem solchen Fall muss also nach dem Lösen der Gleichung überprüft werden, ob die erhaltenen Lösungswerte tatsächlich im Definitionsbereich enthalten sind und gegebenenfalls einige Werte ausgeschieden werden.

=== Beispiel ===

Es sind die reellen Lösungen der Gleichung
:<math>\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}=\sqrt{2x+\frac{3}{2}}</math>
gesucht. Da unter der Wurzel nur nichtnegative Werte stehen dürfen, ist der Definitionsbereich der Gleichung <math>\{x\in\R|x\geq 1\}</math>.

Quadrieren der Gleichung liefert

:<math>2x+2\sqrt{x^2-1}=2x+\frac{3}{2}</math>
bzw.
:<math>\sqrt{x^2-1}=\frac{3}{4}</math>.

Quadrieren ist keine [[Äquivalenzumformung]], es gilt zwar <math>a=b\implies a^2=b^2</math>, aber nicht <math>a^2=b^2\implies a=b</math>, die umgeformte Gleichung kann also mehr Lösungen als die Ausgangsgleichung enthalten. Nochmaliges Quadrieren ergibt

:<math>x^2-1=\frac{9}{16}</math>

bzw.

:<math>x^2=\frac{25}{16}</math>.

Diese Gleichung hat die beiden Lösungen <math>x=-\frac{5}{4}</math> und <math>x=\frac{5}{4}</math>. Der Wert <math>x=-\frac{5}{4}</math> ist nicht im Definitionsbereich der Gleichung enthalten und ist somit keine Lösung; der Wert <math>x=\frac{5}{4}</math> ergibt in die Ausgangsgleichung eingesetzt eine wahre Aussage und ist somit die einzige Lösung der Gleichung.

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Mathematischer Grundbegriff]]

Definitionsmenge - Versionsgeschichte

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