imported>Dr. Markus Lepper: /* Anwendungen in der musikalischen Praxis */ Centwerte: Gleichheit und Fast-Gleichheit unterschieden

2025-02-24T08:33:19Z

Anwendungen in der musikalischen Praxis: Centwerte: Gleichheit und Fast-Gleichheit unterschieden

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{{Infobox Physikalische Einheit
| Name = Cent
| Einheitenzeichen = ¢, <math>\mathrm{C}</math>
| PhysGröße = [[Intervall (Musik)|Tonhöhenintervall]]
| Formelzeichen = <math>i\!\,,n\,,c</math>
| SI =
| BenanntNach =
| AbgeleitetVon =
| SieheAuch =
}}

Das '''Cent''' (von lat. ''centum'' „hundert“) ist eine additive Maßeinheit (genauer: [[Hilfsmaßeinheit]]), mit der ein sehr genauer Vergleich der Größen [[Intervall (Musik)|musikalischer Intervalle]] möglich ist.
{{Musikalische Intervalle}}

== Definition ==
Das Cent ist definiert durch:

: ''100 Cent = 1 [[Gleichstufige Stimmung|gleichstufiger]] [[Halbton]]''

Da eine [[Oktave (Musik)|Oktave]] zwölf Halbtöne umfasst, gilt auch:

: ''1200 Cent = 1 Oktave''

Das Cent ist genormt in [[DIN-Norm|DIN]] 13320 ([[#DIN-Norm|siehe unten]]).

== Anwendung ==
Aus der additiven Struktur der Intervallgrößen folgt:

: ''1 Oktave = 1200 Cent''
: ''2 Oktaven = 2400 Cent''
: ''3 Oktaven = 3600 Cent''
: usw.
Bekanntermaßen sind zum Beispiel 12 gleichstufige Quinten = 7 Oktaven, also umfasst 1 gleichstufige Quinte 700 Cent (in reiner Stimmung dagegen – siehe unten – ungefähr 702 Cent.)

Da dies dem additiven Intervall-Empfinden des [[Auditive Wahrnehmung|Gehörs]] ([[Hörereignis]]ses) entspricht, ist der Vergleich von [[Tonhöhe]]n, [[Tonsystem]]en und [[Stimmung (Musik)|Stimmungen]] mittels der Einheit Cent praxisnäher als Angaben zu Frequenz-Verhältnissen, bei denen ein Größenvergleich nicht unmittelbar möglich ist.
Centangaben ermöglichen einerseits eine höhere Anschaulichkeit beim Größenvergleich verschiedener Intervalle; andererseits können aber rationale Zahlen, die ja vielen Stimmungssystemen zu Grunde liegen, und alle Centangaben (bis auf die Vielfachen von 1200) ''immer nur näherungsweise gleichgesetzt'' werden.

== Entstehung ==
Die Bezeichnung ''Cent'' wurde 1875 von [[Alexander John Ellis]] (1814–1890) im Anhang zu seiner Übersetzung von [[Hermann von Helmholtz]]’ ''Lehre von den Tonempfindungen'' als Einheit zum Größenvergleich von Intervallen vorgeschlagen.

Die Cent-Einheit ist so gewählt, dass wahrnehmbare Tonhöhenunterschiede hinreichend genau als [[ganzzahlig]]e Vielfache von Cents ausgedrückt werden können. Grob kann angenommen werden, dass der kleinste erkennbare Frequenzunterschied für nacheinander erklingende [[Sinuston|Sinustöne]] beim Menschen bei Frequenzen ab 1000 Hz bei etwa drei bis sechs Cent liegt; bei gleichzeitigem Erklingen sind durch [[Schwebung]]seffekte noch wesentlich geringere Intervallunterschiede hörbar.

Bei größeren Tonabständen lassen sich Intervallgrößen durch Schwebungen der harmonischen [[Oberton|Obertöne]], die in musikalisch verwendeten Tönen meistens vorhanden sind, sehr genau bestimmen. Hingegen steigt bei tiefen Sinustönen mit geringer empfundener [[Lautstärke]] (trotz hohem [[Schalldruckpegel]]) die [[Differentielle Wahrnehmbarkeitsschwelle|Unterscheidungsschwelle]] auf über 100 Cent, also mehr als einen Halbton.

== Die Messung der Intervallgröße ==
Die Größe von Intervallen wird mit Hilfe der Maßeinheit Oktave und deren Untereinheit Cent gemessen. Das Oktavmaß und Centmaß ist [[proportional]] zur Intervallgröße. Der Maßeinheit ''Oktave'' entspricht das Frequenzverhältnis p = 2:1.

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|+ Beispiel
! Intervall !! Frequenzverhältnis (in reiner Stimmung) !! Größe in Cent
|-
|style="text-align:left"| 1 Oktave
| 2
| 1200 Cent
|-
|style="text-align:left"| 2 Oktaven
| 4
| 2400 Cent
|-
|style="text-align:left"| 3 Oktaven
| 8
| 3600 Cent
|-
|colspan="3"| …
|-
|style="text-align:left"| k Oktaven
| 2k
| 1200 Cent · k
|-
|style="text-align:left"| log2(p) Oktaven (Beachte: <math>2^k = p \iff \log_2(p) = k</math>)
| p
| 1200 Cent · log2(p)
|-
|style="text-align:left"| kleine Terz
| {{Bruch|6|5}}
| 1200 Cent · log2({{Bruch|6|5}}) ≈ 315,641 Cent
|-
|style="text-align:left"| große Terz
| {{Bruch|5|4}}
| 1200 Cent · log2({{Bruch|5|4}}) ≈ 386,314 Cent
|-
|style="text-align:left"| Quarte
| {{Bruch|4|3}}
| 1200 Cent · log2({{Bruch|4|3}}) ≈ 498,045 Cent
|-
|style="text-align:left"| Quinte
| {{Bruch|3|2}}
| 1200 Cent · log2({{Bruch|3|2}}) ≈ 701,955 Cent
|}

Werden Intervalle hintereinander ausgeführt, so kann man ihre Größen addieren, während ihre Frequenzverhältnisse (Proportionen) ''multipliziert'' werden müssen.
: ''Beispiele:''
: reine Quinte + reine Quarte ≈ 702 Cent + 498 Cent = 1200 Cent = Oktave. (Frequenzverhältnisse: 3/2·4/3 = 2/1.)
: reine kleine Terz + reine große Terz ≈ 316 Cent + 386 Cent = 702 Cent ≈ reine Quinte. (Frequenzverhältnisse: 6/5·5/4 = 3/2.)
{{Siehe auch|Tonstruktur (mathematische Beschreibung)}}

== Anwendungen in der musikalischen Praxis ==
Mit der Einheit Cent lassen sich die feinen Unterschiede der Intervalle in den verschiedenen [[Mitteltönige Stimmung|mitteltönigen]] und [[Wohltemperierte Stimmung|wohltemperierten]] Stimmungen gut darstellen, z. B. die leichten Verstimmungen gegenüber [[Reine Stimmung|reinen]] Quinten und Terzen, die in Kauf genommen werden müssen, um möglichst viele [[Tonart]]en (bei einer zwölfstufigen Skala der Oktave) spielbar zu machen:

* bei den mitteltönigen Stimmungen treten Abweichungen bis etwa 8 Cent auf, wenn nur [[C-Dur]]-nahe [[Akkord]]e verwendet werden:

{| class="wikitable"
|'''Beispiel''' c1 – g1
|reine Quinte
'''≈ 702 Cent''' 
[[Datei:reinequinte.ogg]] 
(Keine Schwebungen)
|mitteltönige Quinte
'''≈ 697 Cent''' 
[[Datei:c1 g mitteltoenig 8s.ogg]] 
(Leichte Schwebungen)
|}

* mit bis zu 14 Cent Abweichung hat man sich abzufinden, wenn man auf [[Tasteninstrument]]en auch [[Tonleiter]]n nutzen will, die weiter von C-Dur entfernt sind. Dabei wird ausgenutzt, dass das menschliche Gehör sich „die Intervalle zurechthört“:

{| class="wikitable"
|'''Beispiel''' a0 – cis1 (erst die Terz, dann im Akkord)
|reine große Terz (220 Hz und 275 Hz)
'''≈ 386 Cent''' 
[[Datei:A cis rein.ogg]] 
(Keine Schwebungen)
|[[Gleichstufige Stimmung|gleichstufige]] große Terz (220 Hz und 277 Hz)
'''= 400 Cent''' 
[[Datei:a cis gleichstufig.ogg]] 
(viele Schwebungen: das Intervall klingt [[Rauhigkeit (Akustik)|rau]])
|}

* noch größere Abweichungen wie etwa die [[Wolfsquinte]] der mitteltönigen Stimmung bei stark von C-Dur entfernten Tonarten werden von Musikern nicht geduldet.

Tabellen der mehr oder weniger reinen Terzen und Quinten in verschiedenen Stimmungssystemen: siehe [[Stimmung (Musik)#Vergleich der Stimmungssysteme|Stimmung]].

== Umrechnung ==
=== Frequenzverhältnis in Cent ===
Gegeben sei das Frequenzverhältnis (die Proportion) <math>p = \frac{f_2}{f_1}</math> eines beliebigen Intervalls.<ref>Im Normalfall sollte <math>f_2 \ge f_1</math> sein. Wenn es umgekehrt ist, wird das Umrechnungsergebnis negativ mit dem gleichen Absolutwert.</ref>
Das Intervallmaß <math>i</math> errechnet sich dann nach der Definitionsformel logarithmisch:

:<math>i = \log_2{p} \,\text{Oktave}</math> (siehe Tabelle [[#Die Messung der Intervallgröße|Die Messung der Intervallgröße]])

Mit
:<math>1\,\text{Oktave}= 1200\,\mathrm{Cent}</math>

erhalten wir:

:<math>i = 1200\,\mathrm{Cent} \cdot \log_2{p}</math>

Nach [[Logarithmus#Basisumrechnung|Umrechnung]] des Zweier-Logarithmus in einen Logarithmus mit beliebiger anderer Basis <math>b</math> über <math>\log_2 p = \frac{\log_b p}{\log_b 2} = \frac{\ln p}{\ln 2} = \frac{\lg p}{\lg 2}</math> entsteht eine für Taschenrechner mit [[Logarithmus#Natürlicher Logarithmus|ln-Funktion]] bequem handhabbare Gleichung:

:<math>i = 1200\,\mathrm{Cent} \cdot \frac{\ln p}{\ln 2}</math>

Bei den [[Dreiklang]]s<nowiki />intervallen erhält man folgende Umrechnung:
{| class="wikitable"
! Frequenzverhältnis <math>p</math> || Intervall <math>i</math> in Cent || Intervall
|-
| <math> p= \tfrac{6}{5} </math> || <math> i = 1200\,\mathrm{Cent}\cdot \log_2{\tfrac{6}{5}} \approx 316\,\mathrm{Cent} </math> || reine kleine Terz
|-
| <math> p= \tfrac{5}{4} </math> || <math> i = 1200\,\mathrm{Cent}\cdot \log_2{\tfrac{5}{4}} \approx 386\,\mathrm{Cent} </math>|| reine große Terz
|-
| <math> p= \tfrac{3}{2} </math> || <math> i = 1200\,\mathrm{Cent}\cdot \log_2{\tfrac{3}{2}} \approx 702\,\mathrm{Cent} </math>|| reine Quinte
|}

=== Cent in Frequenzverhältnis ===
Die umgekehrte Umrechnung eines beliebigen in Cent angegebenen Intervalls <math>i</math> in das Frequenzverhältnis <math>p</math> wird seltener benötigt. Dafür löst man die Gleichung  <math>i = 1200\,\mathrm{Cent} \cdot \log_2{p}</math> nach <math>p</math> auf, indem man beide Seiten durch 1200 Cent dividiert und anschließend zur Basis 2 potenziert (dadurch wird auf der einen Seite der Logarithmus entfernt):

:<math>p = 2^\frac{i}{1200\,\mathrm{Cent}}</math>

Bei den [[Dreiklang]]s<nowiki />intervallen erhält man folgende Umrechnung:
{| class="wikitable"
! Intervall <math>i</math> in Cent || Frequenzverhältnis <math>p</math> || Intervall
|-
| i = 316 Cent|| <math> p= 2^\frac{316\,\mathrm{Cent}}{1200\,\mathrm{Cent}} \approx 1{,}2 = \tfrac{6}{5} </math>|| reine kleine Terz
|-
| i = 386 Cent|| <math> p= 2^\frac{386\,\mathrm{Cent}}{1200\,\mathrm{Cent}} \approx 1{,}25 = \tfrac{5}{4} </math>|| reine große Terz
|-
| i = 702 Cent|| <math> p= 2^\frac{702\,\mathrm{Cent}}{1200\,\mathrm{Cent}} \approx 1{,}5 = \tfrac{3}{2} </math>|| reine Quinte
|}

=== Cent in Millioktave ===
: 1 Cent = <math>\frac1{1,2}</math> Millioktaven ≈ 0,8333 [[Millioktave]]n

=== Cent in Savart ===
: 1 Cent = <math>\frac{\log_{10}(2)}{1{,}2}</math> Savart ≈ 0,2509 [[Savart]]

== Berechnung von Frequenzen ==
Der oben genannte Faktor <math>\sqrt[1200]{2} = 2^\frac{1}{1200} </math> ist das Frequenzverhältnis eines Tonunterschieds von einem Cent. Die Frequenzberechnung erfolgt daher mit dieser Zahl als ''Basis'' und dem Intervall in Cent im Exponenten.

Beispiele einiger als [[Kammerton|Stimmton]] a’ verwendeter Frequenzen, ausgehend von 440 Hz:
* Erhöhung um 100 Cent: <math>440 \, \mathrm{Hz} \cdot 2^\frac{100} {1200} \approx 466{,}164 \, \mathrm{Hz}</math>
* Erhöhung um 1 Cent: <math>440 \, \mathrm{Hz} \cdot 2^\frac{1} {1200} \approx 440{,}254 \, \mathrm{Hz}</math>
* Verringerung um 1 Cent: <math>440 \, \mathrm{Hz} \cdot 2^\frac{-1} {1200} \approx 439{,}746 \, \mathrm{Hz}</math>
* Verringerung um 100 Cent: <math>440 \, \mathrm{Hz} \cdot 2^\frac{-100}{1200} \approx 415{,}305 \, \mathrm{Hz}</math>

=== Beispiel aus der Musiktheorie ===
Der Ton a1 hat die Frequenz von 440 Hz. Der Ton c2 liegt eine kleine Terz darüber.

Der Ton c2 hat demnach
* in reiner Stimmung (Frequenzverhältnis 6:5 der kleinen Terz) die Frequenz <math>440 \, \mathrm{Hz} \cdot \tfrac{6}{5} = 528 \, \mathrm{Hz},</math>
* in gleichstufiger Stimmung (kleine Terz = 3 Halbtöne = 300 Cent) die Frequenz <math>440 \, \mathrm{Hz} \cdot 2^\frac{300}{1200} \approx 523{,}251 \, \mathrm{Hz}</math>.

== DIN-Norm ==
Nach [[DIN-Norm|DIN]] 13320 „Akustik; Spektren und Übertragungskurven; Begriffe, Darstellung“<ref>https://www.beuth.de/de/norm/din-13320/515781 Webseite zur DIN 13320 beim [[Beuth Verlag]]</ref> bezeichnet „Cent“ ein Frequenzmaßintervall, dessen Frequenzverhältnis <math>2^{\frac{1}{1200}}</math> beträgt. Das Cent kann wie eine Einheit benutzt werden; somit kann das Frequenzmaßintervall der Frequenzen f1 und f2 > f1 bezeichnet werden als <math>1200 \cdot \log_2 \left( \frac{f_2}{f_1} \right) \, \mathrm{Cent}</math>.

== Absolutes Cent ==
Man kann auch dem gesamten Frequenzbereich eine Skala fester Cent-Werte zuordnen. Dieses ''absolute Cent'' ist dann eine Maßeinheit der Tonhöhe, nicht der Intervallgröße. Es wird 1 Hz = 0 Cent gesetzt. Daraus ergeben sich: 2 Hz = 1200 Cent, 4 Hz = 2400 Cent usw. mit den entsprechenden Zwischenwerten.<ref>''Riemann Musiklexikon.'' Sachteil. Mainz 1967, S. 150.</ref>

== Siehe auch ==
* [[Millioktave]]
* [[Savart]]

== Literatur ==
* [[Hermann von Helmholtz]]: [http://vlp.mpiwg-berlin.mpg.de/references?id=lit3483 ''Die Lehre von den Tonempfindungen als physiologische Grundlage für die Theorie der Musik.''] Vieweg, Braunschweig 1863 (Unveränderter Nachdruck: Minerva-Verlag, Frankfurt am Main 1981, ISBN 3-8102-0715-2, [http://kilchb.de/rein_helmholtz.html Auszug]).
* [[John R. Pierce]]: ''Klang. Musik mit den Ohren der Physik.'' Spektrum – Akademischer Verlag, Heidelberg u. a. 1999, ISBN 3-8274-0544-0.

== Weblinks ==
* [http://www.sengpielaudio.com/Rechner-centfrequenz.htm Intervall Umrechnung: Frequenzverhältnis nach Cent und Cent nach Frequenz (ratio)]
* [http://www.sengpielaudio.com/EBS-Intervalle-Frequenzverhaeltnis.xls Umrechnung Cent in Frequenzverhältnis Ratio und zurück] in Excel


== Einzelnachweise und Anmerkungen ==
<references />

[[Kategorie:Psychoakustik]]
[[Kategorie:Intervall]]
[[Kategorie:Stimmung (Musik)]]
[[Kategorie:Logarithmische Einheit]]

Cent (Musik) - Versionsgeschichte

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