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[[Datei:Carnotprozess im Zeitdiagramm.svg|mini|Carnot-Maschine als Zeitdiagramm mit Temperatur (rot = heiß und blau = kalt)]]
Der '''Carnot-[[Kreisprozess]]''' oder '''-Zyklus''' ist ein [[Gedankenexperiment]] über eine [[Wärmekraftmaschine]], in der mithilfe von [[Wärme]] mechanische [[Arbeit (Physik)|Arbeit]] oder umgekehrt erzeugt wird. Er wurde 1824 von [[Nicolas Léonard Sadi Carnot]]<ref> Carnot, Sadi (1824). Réflexions sur la puissance motrice du feu et sur les machines propres à développer cette puissance (in French). Paris: Bachelier.</ref> formuliert und wurde zum Grundstein der sich in der Folge entwickelnden [[Thermodynamik]]. Der Carnot-Prozess findet in einem Raum statt, dessen Volumen mittels eines Hubkolbens verändert wird, und der Wärme- und Kältereservoirs ausgesetzt, ansonsten aber thermisch isoliert ist. Carnot intendierte diesen rein theoretischen Zyklus nicht nur als Beschreibung maschineller Prozesse, sondern übertrug mit ihm das Prinzip der [[Kausalität]] auf Phänomene, die mit Wärme im Zusammenhang stehen: Da der Kreisprozess umkehrbar ist, lässt sich jedes Stadium als alleiniger Effekt der anderen darstellen.

Damit bot der Carnot-Zyklus eine wichtige Neuerung in einer Zeit, in der die Umwandlung von Wärme und mechanischer Arbeit ineinander, wie sie in den aufkommenden [[Dampfmaschine]]n stattfand, weder gemessen noch theoretisch dargestellt werden konnte. Mit seiner Hilfe konnten erstmals Phänomene, die mit Wärme in Verbindung standen, in die etablierte Theoriesprache der Mechanik übersetzt werden. Im Laufe des 19. Jahrhunderts wurde der Carnot-Zyklus zu einem Dreh- und Angelpunkt der akademischen Auseinandersetzung um Wärme. Mit seiner Reformulierung durch [[William Thomson, 1. Baron Kelvin|William Thomson]] und [[Rudolf Clausius]] bildete er die Grundlagen für das Verständnis der [[Energieerhaltung]] und der [[Entropie]].

== Beschreibung ==
[[Datei:Carnot-Prozess.svg|right|mini|Der Carnot-Prozess als [[Wärmekraftmaschine]] oder [[Wärmepumpe]]; Der Drehrichtungspfeil gibt den zeitlichen Ablauf der einzelnen im [[T-S-Diagramm]] (Temperatur/Entropie-Diagramm) dargestellten Zustandsänderungen an ]]
Den Ablauf des Carnot-Prozesses kann man sich so vorstellen, dass ein [[Gas]] wechselweise mit einem Wärmereservoir von konstant hoher Temperatur (zur Aufnahme von Wärme) und einem Kältereservoir mit konstant niedrigerer Temperatur (zur Abgabe von Wärme) in Kontakt steht, wobei es wechselweise durch Aufbringen von [[Arbeit_(Physik)|Arbeit]] verdichtet wird und unter Abgabe von mechanischer Arbeit wieder expandiert. Die Differenz zwischen aufgenommener und abgegebener Wärme entspricht im [[Reversibler Prozess|reversiblen]] Fall der vom Kreisprozess im [[T-s-Diagramm|T-S-Diagramm]] (Temperatur/Entropie-Diagramm) eingeschlossenen Fläche. Sie ist genau gleich der insgesamt gewonnenen Arbeit. Das Gas erreicht nach vollständigem Durchlauf des Prozesses wieder den Ausgangszustand, d. h. alle Zustandsgrößen, wie Temperatur [[Temperatur|''T'']], Druck [[Druck (Physik)|''p'']], Volumen [[Volumen|''V'']], Innere Energie [[Innere Energie|''U'']] und Entropie [[Entropie|''S'']] sind damit wieder so groß wie zu Beginn des Prozesses. Der Prozess ist als ideale Wärmekraftmaschine (rechtsdrehend im T-S-Diagramm) oder als ideale Wärmepumpe bzw. Kältemaschine (linksdrehend) denkbar.<ref name="Gasdynamik">{{Literatur| Autor= | Titel=Technische Thermodynamik - Eine Einführung in die Thermo- und Gasdynamik | Verlag=Springer-Verlag | ISBN=978-3-322-94776-5 | Jahr=2013 | Online={{Google Buch | BuchID=rNp8BwAAQBAJ | Seite=67 }} | Seiten=67 }}</ref>

Die im Wärmekraft-Prozess gewonnene Arbeit kann im Wärmepumpen-Prozess verlustfrei eingesetzt werden, um die beim Wärmekraft-Prozess an das kalte Wärmereservoir (Umgebung) abgegebene Wärme – zusammen mit der in Wärme umgewandelten Antriebsarbeit der Wärmepumpe (Rechteckfläche) – in das heiße Wärmereservoir wieder „hochzupumpen“. Aufgrund dieser Umkehrbarkeit wird der Prozess als ''reversibel'' bezeichnet.<ref name="Gasdynamik" /><ref name="Ulrich Hahn">{{Literatur| Autor=Ulrich Hahn | Titel=Physik für Ingenieure | Verlag=Walter de Gruyter | ISBN=978-3-486-59490-4 | Jahr=2007 | Online={{Google Buch | BuchID=kl_oBQAAQBAJ | Seite=250 }} | Seiten=250 }}</ref> Der Prozess wäre mit einer periodisch arbeitenden Maschinenanlage nur unter besonders hohem Aufwand und auch nur angenähert realisierbar. Bezüglich eines Prozesses mit Gasen: Es gibt keine Verdichter und keine Expansionsmaschinen, die in einem Arbeitsgang auch die [[Wärmeübertragung]] ermöglichen, sodass die Temperatur dabei konstant bleibt. Bezüglich des Prozesses mit Nassdampf: Es gibt zwar Nassdampfturbinen, aber keine Verdichter, die Nassdampf zu Flüssigkeit komprimieren.<ref name="Jost Braun">{{Literatur| Autor=Jost Braun | Titel=Technische Thermodynamik Vorlesungsbegleitendes Lehrbuch | Verlag=BoD – Books on Demand | ISBN=978-3-7386-0062-9 | Jahr=2014 | Online={{Google Buch | BuchID=LdzUBAAAQBAJ | Seite=116 }} | Seiten=116 }}</ref> Außerdem treten in allen Maschinen und bei allen Strömungsvorgängen Reibungsverluste auf.

== Thermodynamik ==
Anmerkung: Die Darstellung des Carnot-Prozesses im p-V-Diagramm erfolgte erstmals durch [[Émile Clapeyron]]. Der Begriff der Entropie wurde nach Carnot durch [[Rudolf Clausius|Clausius]] eingeführt.
[[Datei:Carnot-Prozess p-V-Diagramm.svg|mini|p-V-Diagramm und Arbeit für rechtslaufenden Carnot-Prozess]]
[[Datei:Der Carnot-Prozess im T-S-Diagramm.svg|mini|T-S-Diagramm und Wärmemenge für rechtslaufenden Carnot-Prozess]]
[[Datei:Animation Diagramm Carnotprozess.ogv|mini|Animation von T-S-Diagramm und p-V-Diagramm für den rechtslaufenden Carnot-Prozess]]
Den Carnot-Kreisprozess bilden vier Zustandsänderungen, die im nebenstehenden [[T-s-Diagramm|T-S-]] und [[p-V-Diagramm]] dargestellt sind. Eine rot eingefärbte Linie entspricht einem heißen Volumen und eine blaue einem kalten Volumen. Betrachtet sei hier der rechtslaufende Kreisprozess für eine Wärmekraftmaschine. Durch Umkehr der Prozessschritte folgt analog der linkslaufende Kreisprozess für eine Wärmepumpe. Die von der theoretischen Carnot-Maschine verrichtete Arbeit Δ''W'' entspricht im p-V-Diagramm der von den Linien 1234 umschlossenen Fläche. Gleichzeitig entspricht die von den Linien 1234 umschlossene Fläche im [[T-s-Diagramm|T-S-Diagramm]] der in Arbeit umgewandelte Wärmemenge Δ''Q''. Zur besseren Vorstellung sei als Carnot-Maschine ein Zylinder mit Kolben und [[Ideales Gas|idealem Gas]] als Arbeitsmedium gedacht.

Im Weiteren sind die einzelnen Prozessschritte <code>I</code> bis <code>IV</code> erläutert.

=== Isotherme Kompression ===
Prozessschritt <code>I</code> – Linie 1→2: Die [[Isotherme Zustandsänderung|isotherme]] Kompression von Volumen ''V''1 auf ''V''2 erfolgt mit konstanter Temperatur ''T''K, wobei die Wärme ''Q''12 abgegeben und die Arbeit ''W''12 zugeführt wird. Das Gasvolumen wird kleiner, der Druck ''p'' steigt, aber die Temperatur wird durch die Kühlung mit dem kalten Reservoir konstant gehalten. Das Verschieben des Kolbens erfordert Arbeit.

Da bei konstanter Temperatur für ein ideales Gas die Änderung der [[Innere Energie|inneren Energie]] d''U'' = 0 gilt, folgt aus dem [[Erster Hauptsatz der Thermodynamik|ersten Hauptsatz der Thermodynamik]], dass die gesamte Kompressionsarbeit als Wärme abgeführt wird. In den Diagrammen zeigt sich das Integral für die Wärmemenge ''Q''12 als Fläche unter der Linie 1→2 im T-S-Diagramm und die Arbeit ''W''12 als Fläche unter der Linie 1→2 im p-V-Diagramm.
:<math> Q_{12} = \int_{S_1}^{S_2} T_\text{K} \, \mathrm{d}S = T_\text{K} \left( S_2 - S_1 \right) < 0 </math>
:<math> - Q_{12} = W_{12}
= - \int_{V_1}^{V_2} n \, R \, T_\text{K} \, \frac{1}{V} \, \mathrm{d}V
= - n \, R \, T_\text{K} \ln{\frac{V_{2}}{V_{1}}} > 0 </math>
: <math>n</math> = [[Stoffmenge]]
: <math>R</math> = [[Universelle Gaskonstante]]

=== Isentrope Kompression ===
Prozessschritt <code>II</code> – Linie 2→3: Die [[Isentrop|isentrope]] Kompression (auch [[adiabatisch|adiabatisch reversibl]]e Kompression genannt) von ''V''2 auf ''V''3 erfolgt ohne Wärmeaustausch mit der Umgebung, wobei sich die Temperatur des Arbeitsmediums von ''T''K auf ''T''H ändert. Das Gasvolumen wird kleiner, Druck und Temperatur steigen dagegen. Das Verschieben des Kolbens erfordert die Arbeit ''W''23 und wird im Arbeitsgas als innere Energie Δ''U''23 gespeichert.

Da kein Wärmeaustausch mit der Umgebung stattfindet (d''Q''23 = 0), folgt aus dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik, dass die gesamte Kompressionsarbeit in innere Energie übergeht.
:<math>\begin{align}
\Delta U_{23} & = W_{23}
= - \int_{V_2}^{V_3} p \, \mathrm{d}V > 0
\\
& = \int_{T_\text{K}}^{T_\text{H}} n \, C_\text{V(mol)} \,\mathrm{d}T
= n \, C_\text{V(mol)} \left(T_\text{H}-T_\text{K} \right)
\\
\end{align} </math>
:<math>\frac{T_\text{H}}{T_\text{K}} =\left(\frac{V_2}{V_3}\right)^{\kappa -1} </math>
mit
: <math>\kappa</math> = [[Isentropenexponent]] (des idealen Gases)
: <math>C_\text{V(mol)}</math> = molare [[Spezifische Wärmekapazität|Wärmekapazität]] (des idealen Gases)

=== Isotherme Expansion ===
Prozessschritt <code>III</code> – Linie 3→4: Die isotherme Expansion von Volumen ''V''3 auf ''V''4 erfolgt mit konstanter Temperatur ''T''H, wobei die Wärme ''Q''34 aufgenommen und die Arbeit ''W''34 abgeführt wird. Das Gasvolumen wird größer, der Druck sinkt, aber die Temperatur wird durch die Heizung mit dem warmen Reservoir konstant gehalten.
:<math> Q_{34} =\int_{S_2}^{S_1} T_\text{H} \, \mathrm{d}S = T_\text{H} \left( S_1 - S_2 \right) > 0 </math>
:<math> \ - Q_{34} = W_{34}
= - \int_{V_3}^{V_4} n \, R \, T_\text{H} \, \frac{1}{V} \, \mathrm{d}V
= - n \, R \, T_\text{H} \ln{\frac{V_{4}}{V_{3}}} < 0 </math>

=== Isentrope Expansion ===
Prozessschritt <code>IV</code> – Linie 4→1: Die isentrope Expansion von ''V''4 auf ''V''1 erfolgt ohne Wärmeaustausch mit der Umgebung, wobei sich die Temperatur des Arbeitsmediums von ''T''H auf ''T''K ändert. Das Gasvolumen wird größer, Druck und Temperatur fallen. Das Verschieben des Kolbens erfolgt unter Abgabe der Arbeit ''W''41 wofür dem Arbeitsgas die innere Energie Δ''U''41 (= Δ''U23'') entzogen wird.

Da kein Wärmeaustausch mit der Umgebung stattfindet d''Q''41 = 0, folgt aus dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik, dass die gesamte Expansionsarbeit aus dem Verlust an innerer Energie resultiert.
:<math>\begin{align}
\Delta U_{41} & = W_{41}
= - \int_{V_4}^{V_1} p \, \mathrm{d}V
< 0
\\
& = \int_{T_\text{H}}^{T_\text{K}} n \, C_\text{V(mol)} \,\mathrm{d}T
= n \, C_\text{V(mol)} \left(T_\text{K}-T_\text{H} \right) = - \Delta U_\text{23}
\\
\end{align} </math>

:<math>\frac{T_\text{K}}{T_\text{H}} =\left(\frac{V_4}{V_1}\right)^{\kappa -1}</math>

== Wirkungsgrad ==
{{Hauptartikel|Carnot-Wirkungsgrad}}
[[Datei:Carnot Wirkungsgrad.svg|mini|hochkant=1.5|Carnot-Wirkungsgrad für drei verschiedene untere Prozesstemperaturen.]]
Der [[Thermodynamik#Erster Hauptsatz|erste Hauptsatz der Thermodynamik]] lautet
:<math>d{U}=\delta{W}\; +\delta{Q}</math>

Nach dem Durchlaufen des Kreisprozesses erreichen alle Zustandsgrößen im System, also auch die innere Energie ihren Ausgangswert, (<math>\Delta U=0</math>). Die nutzbare Arbeit berechnet sich aus dem Integral entlang des Weges des Kreisprozesses:

:<math>\oint_W \delta W = -\oint_W \delta Q</math>
bzw.
:<math>W = -Q</math>

Für den Carnot-Prozess erhält man somit für alle <math>
T_\text{H} \geq T_\text{K}
</math>:

:<math>
\begin{matrix} W &=& W_{3,4}+W_{1,2} &=& -(Q_{3,4} + Q_{1,2}) \\ && &=& -\big( T_\text{H}\cdot (S_{1}-S_{2}) + T_\text{K}\cdot (S_{2}-S_{1}) \big) \\ && &=& -\big(T_\text{H}\cdot(S_{1}-S_{2}) - T_\text{K}\cdot(S_{1}-S_{2})\big) \\ && &=& -(T_\text{H}-T_\text{K}) \cdot (S_{1}-S_{2}) &\leq& 0
\end{matrix}
</math>

Der Carnot-Wirkungsgrad gibt das Verhältnis von abgegebener Arbeit zur zugeführten Wärme an. Um keinen negativen Wirkungsgrad zu erhalten, muss die vom System verrichtete Arbeit als Betrag in die Gleichung einfließen (da <math>W<0</math> und <math>Q_{3,4} >0</math>):

:<math>\eta_\mathrm{c} = \frac{\left|W\right|}{Q_{3,4}} = \frac{T_\text{H}-T_\text{K}}{T_\text{H}} = 1-\frac{T_\text{K}}{T_\text{H}} \leq 1</math>

== Perpetuum mobile der zweiten Art ==
In allen vier Phasen des Prozesses werden Wärme und mechanische Energie ineinander umgewandelt. Die insgesamt gewonnene mechanische Energie nach Durchlaufen des Zyklus ist nur von der zugeführten und abgeführten Wärmemenge abhängig. Die gewonnene mechanische Arbeit entspricht der rot hinterlegten Fläche im T-S-Diagramm.

Da die untere Temperatur nach unten und die obere Temperatur nach oben immer begrenzt ist, liegt der Carnot-Wirkungsgrad immer unter 1. Da es nach dem [[Thermodynamik#Dritter Hauptsatz|dritten Hauptsatz der Thermodynamik]] nicht möglich ist, den [[Absoluter Nullpunkt|absoluten Nullpunkt]] der Temperatur zu erreichen, gibt es keine reale (zyklisch arbeitende) Maschine, die lediglich einem Reservoir Wärme entzieht und diese vollständig in Arbeit umsetzt. Eine Maschine, die bei vorgegebenen Temperaturen der Wärmereservoirs einen Wirkungsgrad größer dem Carnot-Wirkungsgrad hätte, nennt man ein [[Perpetuum mobile]] zweiter Art. Letztendlich könnte mit der gewonnenen Arbeit wieder der Umkehrprozess als Kältemaschine durchlaufen werden, und es könnte dann eine größere Wärmemenge <math>Q_{1, \text{rev}}</math> erzeugt werden als die im Wärmekraftmaschinenprozess eingesetzte (Vergleich Bild [[#Beschreibung|oben]]).

Die [[Exergie]] ist in der [[Thermodynamik]] als der Anteil einer thermischen Energie definiert, der als Arbeit genutzt werden kann. Dementsprechend kann der Carnot-Wirkungsgrad auch ausgedrückt werden durch:

:<math>\eta_\mathrm{c} = \frac{\text{Exergie}}{\text{thermische Energie}}</math>

Der nicht in Arbeit umwandelbare Anteil der thermischen Energie wird als [[Anergie]] bezeichnet.

== Literatur ==
{{Wikisource|Réflexions sur la puissance motrice du feu|lang = fr}}
{{Wikisource|Reflections on the Motive Power of Heat/Chapter 3|Reflections on the Motive Power of Heat and on Machines Fitted to Develop that Power|lang = en}}
* Isabelle Stengers: {{lang|en|''Cosmopolitics I: The Science Wars, the Invention of Mechanics, Thermodynamics (PostHumanities)'' University of Minnesota Press, Minneapolis}} 2010. ISBN 978-0-8166-5686-8.

== Weblinks ==
* {{TIBAV |15659 |Linktext=CARNOTscher Kreisprozess – Wie viel Wärme kann läßt sich in Arbeit umwandeln? [sic]|Herausgeber=Lauth |Jahr=2013 |DOI=10.5446/15659}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Thermodynamischer Kreisprozess]]
[[Kategorie:Wikipedia:Artikel mit Video]]

Carnot-Prozess - Versionsgeschichte

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