imported>Mathze: /* Partialbrüche */ Unbelegten Absatz entfernt: Der Begriff "Partialbrüche" wird im Sinne des Abschnitts nicht in der Literatur verwendet (siehe Diskussionsseite), und als "Theorie" war er ohnehin viel zu knapp gehalten.

2025-07-06T11:13:46Z

Partialbrüche: Unbelegten Absatz entfernt: Der Begriff "Partialbrüche" wird im Sinne des Abschnitts nicht in der Literatur verwendet (siehe Diskussionsseite), und als "Theorie" war er ohnehin viel zu knapp gehalten.

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Im engeren Sinn bezeichnet '''Bruchrechnung''' das [[Rechnen]] mit ''gemeinen Brüchen'' (manchmal auch ''gewöhnlichen Brüchen'') in der „Zähler-Bruchstrich-Nenner-Schreibweise“ (siehe unten). Bruchrechnung gehört damit zur [[Arithmetik]], einem Teilgebiet der [[Mathematik]].

In einem weiteren Sinn wird das Wort auch für das Rechnen mit [[Rationale Zahl|rationalen Zahlen]] gebraucht, gleichgültig, in welcher Schreibweise sie vorliegen.

Eine wichtigere Erweiterung besteht in der Zulassung von ''Bruchtermen'', das sind Ausdrücke, die formal wie gemeine Brüche gebildet werden, bei denen aber Zähler und Nenner [[Term]]e sein können, die [[Variable (Mathematik)|Variablen]] enthalten. Für diese Bruchterme gelten die Bruchrechenregeln sinngemäß. Das Rechnen mit Bruchtermen gehört aber zur [[Algebra]].

Die Regeln der Bruchrechnung beziehen sich auf die [[Grundrechenart]]en, also auf [[Addition]], [[Subtraktion]], [[Multiplikation]], [[Division (Mathematik)|Division]], sowie auf die [[Kehrwert]]bildung. Insbesondere bei Bruchtermen kommen auch Regeln für Potenzen und Wurzeln hinzu.

Außerdem gibt es eine [[Kürzen|Kürzungs-]] und [[Erweitern|Erweiterungsregel]], die eine Besonderheit der Bruchrechnung sind. Sie beruht auf dem Unterschied zwischen ''Bruch und Bruchzahl'', der im folgenden Abschnitt genauer dargestellt wird.

Die Bruchschreibweise, also die Schreibweise mit Bruchstrich, geht auf [[Leonardo von Pisa]] zurück, der sie 1228 einführte.<ref>[[Hans Wußing]]: ''Vorlesungen zur Geschichte der Mathematik''. [[Volkseigener Betrieb|VEB]] [[Deutscher Verlag der Wissenschaften]], 1979, S. 325</ref> Sie wird ganz allgemein in verschiedenen Bereichen der Mathematik, besonders in der Algebra, immer dann verwendet, wenn in der untersuchten Struktur die elementaren Bruchrechenregeln, insbesondere die Kürzungs- und Erweiterungsregel, gelten. Auch hier spricht man immer dann von „Bruchrechnung“, wenn diese Regeln angewendet werden.

== Bruch und Bruchzahl{{Anker|Nenner|Teiler|Zähler}} ==
[[Datei:Cake quarters.svg|mini]]

Die Bruchrechnung beruht darauf, dass sich das ''Ganze'' (die ''Eins'' aus dem Rechnen mit natürlichen Zahlen) unterteilen lässt. ''Einen'' Kuchen kann man zum Beispiel in vier Teile teilen. Wenn diese Teile gleich groß sind, so ist jedes Teil ein Viertel des Kuchens. Wenn, wie im Bild, eines der Viertel schon fehlt, so sind drei Viertel Kuchen dargestellt.

[[Datei:Gemeiner Bruch.svg|mini|links|Das Ganze wird in vier gleiche Teile geteilt; drei davon sind hier gemeint. Oder: Drei Ganze werden gemeinsam in vier gleiche Teile geteilt; eines dieser gleichen Teile ist gemeint.]]

Geschrieben wird dies gewöhnlich in der „Zähler-Bruchstrich-Nenner-Schreibweise“: Die Zahl ''unter'' dem Bruchstrich – der sogenannte '''Nenner''' oder auch '''Teiler''' – gibt an, in wie viele Teile das Ganze geteilt wurde; die Zahl ''über'' dem Bruchstrich – der '''Zähler''' – gibt an, wie viele Teile davon in diesem Falle gemeint sind. So erhält man einen '''Bruch'''. Man kann diesen auch so deuten: Der Zähler gibt an, wie viele Ganze gemeinsam in so viele gleich große Teile zu teilen sind, wie der Nenner angibt. (Man legt drei Kuchen übereinander und teilt den Stapel in vier gleiche Teilstapel.)

Wird das Ganze (die Torte) stattdessen in ''acht'' Teile geteilt und werden davon ''sechs'' genommen, so ist das ein anderer Bruch: <math> \frac {6}{8}</math> statt <math> \frac {3}{4}</math>. Aber diese beiden Brüche stehen offenbar für die gleiche Menge Kuchen: Sie stehen für dieselbe '''[[Bruchzahl]]'''.
{{Absatz}}
== Gleichwertige Brüche ==
[[Datei:Gleichwertige Brueche am Zahlenstrahl.svg|mini|hochkant=2|Die gleichwertigen Brüche <math>\tfrac{3}{5}</math>, <math>\tfrac{6}{10}</math> und <math>\tfrac{9}{15}</math> liegen auf dem Zahlenstrahl an derselben Stelle, nämlich <math>0{,}6</math>, da ihre Quotienten aus Zähler und Nenner jeweils <math>0{,}6</math> betragen.]]
Für jede ''Bruchzahl'' gibt es viele (unendlich viele) verschiedene ''Darstellungen'', verschiedene ''Brüche'', die alle denselben Wert (dieselbe [[Größe (Mathematik)|Größe]]) verkörpern, aber auf unterschiedliche Weise. Von einem Bruch zum anderen gelangt man durch [[#Erweitern und Kürzen|Erweitern und Kürzen]]. Dadurch ändert sich der ''Wert'' einer Bruchzahl nicht, man erhält aber für diese Zahl verschiedene Darstellungsweisen: verschiedene Brüche. Diese werden als ''gleichwertige'' (oder auch ''äquivalente'') Brüche bezeichnet und beschreiben denselben Anteil am Ganzen.<ref>[[Susanne Prediger]], Christoph Selter, [[Stephan Hußmann]], Marcus Nührenbörger: [https://mathe-sicher-koennen.dzlm.de/mskfiles/uploads/docs/BausteinB2_L_Gleichwertigkeit_verstehen.pdf ''Gleichwertigkeit verstehen''] aus: ''Brüche, Prozente, Dezimalzahlen - Handreichungen für ein Diagnose- und Förderkonzept zur Sicherung mathematischer Basiskompetenzen'', erschienen im [[Cornelsen Verlag]] (2014)</ref>

Demnach sind Brüche genau dann gleichwertig, wenn sie alternativ eine der folgenden Bedingungen erfüllen.
* Sie führen vollständig gekürzt zu demselben Bruch.
* Sie führen nach Erweiterung auf denselben Nenner zu demselben Bruch.
* Ihre Quotienten aus Zähler und Nenner ergeben jeweils dieselbe rationale Zahl, auch Bruchzahl genannt.
* Auf dem Zahlenstrahl liegen sie an derselben Stelle.<ref>Gunter Heim: [https://www.rhetos.de/html/lex/gleichwertige_brueche_erkennen.htm ''Gleichwertige Brüche erkennen''] in: Rhetos Lern-Lexikon der Physik und der spekulativen Philosophie (2016)</ref>

'''Beispiele'''
* <math>\tfrac{3}{4}</math> und <math>\tfrac{6}{8}</math> beschreiben denselben Anteil am Ganzen, nämlich <math>0{,}75</math>.
* <math>\tfrac{4}{6}</math> und <math>\tfrac{8}{12}</math> führen vollständig gekürzt zu demselben Bruch, nämlich <math>\tfrac{2}{3}</math>.
* <math>\tfrac{2}{12}</math> und <math>\tfrac{3}{18}</math> führen nach Erweiterung auf den Nenner <math>36</math> zu demselben Bruch, nämlich <math>\tfrac{6}{36}</math>.
* <math>\tfrac{3}{7}</math> und <math>\tfrac{15}{35}</math> ergeben jeweils dieselbe rationale Zahl <math>0{,}\overline{428571}</math>, wenn man ihre [[Quotient]]en aus Zähler und Nenner bildet. In diesem Falle handelt es sich um einen periodischen Dezimalbruch.
* <math>\tfrac{3}{5}</math>, <math>\tfrac{6}{10}</math> und <math>\tfrac{9}{15}</math> liegen auf dem [[Zahlenstrahl]] an derselben Stelle, nämlich <math>0{,}6</math>.

== Definition und Bezeichnungen ==
Brüche lassen sich zunächst in gemeine Brüche (auch ''gewöhnliche Brüche'' genannt) und [[Dezimalbruch|Dezimalbrüche]] (= Dezimalzahl, umgangssprachlich: „Kommazahl“) einteilen, daneben gibt es noch die Darstellung als gemischter Bruch. Wenn man von einem Bruch spricht, meint man in der Regel einen gemeinen Bruch, das Rechnen mit Dezimalbrüchen wird meistens nicht als Bruchrechnung bezeichnet.

In der nachfolgenden Tabelle sind gebräuchliche Bezeichnungen für Brüche zusammengefasst, die in diesem Abschnitt erklärt werden. Die in der Tabelle weiter unten stehenden Begriffe fallen jeweils unter die darüberstehenden Oberbegriffe, zum Beispiel ist jeder Scheinbruch ein gemeiner Bruch, nebeneinanderstehende Begriffe müssen sich nicht ausschließen. Dabei ist zu beachten, dass es sich um Bezeichnungen für ''Zahlschreibweisen'' und nicht für die dargestellten Zahlen handelt. Eine bestimmte Zahl kann verschiedene Darstellungen haben, die jeweils mit unterschiedlichen Begriffen aus der Tabelle bezeichnet werden. So kann man zum Beispiel jeden unechten Bruch auch als gemischten Bruch schreiben.

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|colspan="6"| Bruch
|-
|colspan="4"| gemeiner Bruch, gewöhnlicher Bruch
|rowspan="3"| gemischter Bruch
|rowspan="3"| Dezimalbruch
|-
|colspan="2"| echter Bruch, eigentlicher Bruch
|colspan="2"| unechter Bruch, uneigentlicher Bruch
|-
| Stammbruch
| Zweigbruch, abgeleiteter Bruch
| Scheinbruch, uneigentlicher Bruch
| unechter Bruch, der kein Scheinbruch ist
|-
|}

Weitere Formen, in denen Bruchzahlen dargestellt werden können ([[Kettenbruch]], [[Prozent]]- und [[Promille]]schreibweise, [[Dualsystem|Binärbrüche]] usw.), werden in je eigenen Artikeln behandelt und in dieser Tabelle nicht aufgeführt.

=== Gemeine Brüche ===
[[Datei:Gemeiner Bruch.svg|mini|Beschreibung eines gemeinen Bruches]]

Gemeine Brüche werden im Allgemeinen durch eine Übereinanderstellung von ''Zähler'' und ''Nenner'', getrennt durch einen waagerechten Strich, dargestellt:
: <math> \frac{Z}{N} </math>
Zähler und Nenner eines Bruches sind [[ganze Zahl]]en. Dabei darf der Nenner <math> N </math> nicht [[null]] sein, da eine Division durch Null nicht definiert ist.

Jeder Bruch kann nämlich auch als [[Division (Mathematik)|Divisionsaufgabe]] verstanden werden. Dabei ist der Zähler <math>Z</math> der [[Dividend]], der Nenner <math>N</math> der Divisor:
: <math> Z:N=\frac{Z}{N} </math>
Das Entscheidende bei der Bruchrechnung ist, dass hier ''jede'' Division (außer durch null) möglich ist und ein einfach darstellbares Ergebnis hat, während ja im Bereich der ganzen Zahlen die [[Teilbarkeitsregel]]n gelten.

Üblicherweise werden für Zähler und Nenner [[natürliche Zahl]]en verwendet und ein eventuell vorhandenes negatives [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] wird vor den Bruch gesetzt, also beispielsweise <math>-\tfrac{3}{4}</math> statt <math>\tfrac{-3}{4}</math> oder <math>\tfrac{3}{-4}</math>. Sind Zähler ''und'' Nenner negativ, so bezeichnet das nach den Regeln der Division von ganzen Zahlen den ''positiven'' Bruch: <math>\tfrac{-3}{-4}=\tfrac{3}{4}</math>

Bei einer Variante dieser Schreibweise, die oft verwendet wird, wenn gemeine Brüche in Texten vorkommen, werden Zähler, Bruchstrich und Nenner hintereinandergeschrieben und als Bruchstrich ein [[Schrägstrich]] verwendet,<ref>Amtliche Rechtschreibregeln vom 1. August 2006, §106, [https://www.canoonet.eu/services/GermanSpelling/Amtlich/ Canoonet]</ref> zum Beispiel 1/2, 3/8. Bei der Schreibweise mit Schrägstrich an Stelle des waagrechten Bruchstrichs werden (vor allem) einstellige Zähler und Nenner manchmal verkleinert über bzw. unter den Schrägstrich geschrieben: 6/7. Zu diesem Zweck existieren in vielen Druckzeichensätzen Sonderzeichen, wie zum Beispiel ¾ oder ½.

==== Echte und unechte Brüche ====
Wenn bei einem Bruch der [[Betragsfunktion|Betrag]] des Zählers kleiner als der Betrag des Nenners ist, spricht man von einem ''echten'' oder ''eigentlichen'' Bruch (z. B. <math> \tfrac{6}{7} </math> oder <math> \tfrac{2}{5} </math>), andernfalls von einem ''unechten'' oder ''uneigentlichen'' Bruch (z. B. <math> \tfrac{7}{7} </math> oder <math> \tfrac{11}{3} </math>).

Echte Brüche sind also die, deren Betrag kleiner ist als ein Ganzes.

==== Stammbrüche und Zweigbrüche ====
Ist der Zähler in einem gemeinen Bruch gleich 1 (z. B. <math> \tfrac{1}{2} </math> oder <math> \tfrac{1}{9} </math>), spricht man von einem ''[[Stammbruch]]'', ansonsten von einem ''abgeleiteten Bruch'' oder ''Zweigbruch''.

==== Scheinbrüche ====
Unechte Brüche, bei denen der Zähler ein ganzzahliges [[Vielfaches]] des Nenners ist (z. B. <math> \tfrac{12}{3} </math>), bezeichnet man als ''Scheinbrüche'', da sie sich durch [[Kürzen]] in ganze Zahlen umwandeln lassen (im Beispiel in die Zahl 4). Insbesondere lässt sich jede ganze Zahl <math>n</math> als Scheinbruch <math>\tfrac{n}{1}</math> schreiben.

=== Gemischte Brüche ===
Unechte Brüche, die keine Scheinbrüche sind, lassen sich immer als gemischte Brüche (auch: als gemischte Zahlen, in gemischter Schreibweise) darstellen.

Dabei wird zunächst der ganzzahlige Anteil, d. h. die zur Null hin gerundete Zahl, geschrieben und anschließend direkt danach der verbleibende Anteil als echter Bruch. Zum Beispiel <math>1 \tfrac{1}{3}</math> statt <math>\tfrac{4}{3}</math> oder <math>-3 \tfrac{3}{5}</math> statt <math>-\tfrac{18}{5}</math>.

Ein Problem der gemischten Schreibweise ist, dass sie als Produkt missverstanden werden kann:

So steht <math>2\tfrac{1}{3}</math> meist für <math>2 + \tfrac{1}{3} = \tfrac{7}{3}</math> und nicht für <math>2 \cdot \tfrac{1}{3} = \tfrac{2}{3}</math>.

Schreibt man dagegen <math>a\tfrac{b}{c}</math>, so handelt es sich nicht um einen Bruch in gemischter Schreibweise, sondern (wegen der Variablen) um einen [[Term]]. Hier muss das weggelassene [[Rechenzeichen]] ein Malpunkt sein (andere Rechenzeichen dürfen in Termen nicht weggelassen werden). <math>a\tfrac{b}{c}</math> muss also als <math>a \cdot \tfrac{b}{c}</math> verstanden werden und niemals als <math>a + \tfrac{b}{c}</math>.

== Rechenregeln ==
=== Praktisches Rechnen mit Brüchen ===
Beim Rechnen mit Brüchen in den vier Grundrechenarten [[Addition]], [[Subtraktion]], [[Multiplikation]] und [[Division (Mathematik)|Division]] werden jeweils zwei Brüche verknüpft, sodass eine dritte Zahl entsteht. Dies darf nicht verwechselt werden mit dem Umformen von Brüchen, wobei ein einziger Bruch eine neue Form erhält, ohne dass sein Wert sich ändert.

Das '''Umformen''' (die Formänderung) ist oft die Voraussetzung dafür, dass mit Brüchen gerechnet werden kann. Deshalb wird es hier zuerst behandelt.

==== Formänderung von Brüchen ====
===== Umrechnen in eine Dezimalzahl =====
Um einen Bruch in eine [[Nachkommastellen|Kommazahl]] umzuwandeln, dividiert man einfach den Zähler durch den Nenner. <math>\tfrac{3}{4}</math> ergibt 0,75 beziehungsweise 75 % vom Ganzen.

===== Erweitern und Kürzen =====
[[Datei:Erweitern und Kürzen.svg|mini|Erweitern und Kürzen der Brüche 2/3 und 10/15]]
Der Wert der durch einen Bruch dargestellten Bruchzahl ändert sich nicht, wenn man Zähler und Nenner des Bruches mit derselben Zahl (ungleich 0) multipliziert (den Bruch [[Erweitern|erweitert]]) oder durch einen [[Gemeinsamer Nenner|gemeinsamen Teiler]] von Zähler und Nenner teilt (den Bruch [[Kürzen|kürzt]]).

Beispiel: <math>\tfrac{2}{3}=\tfrac{2\cdot 5}{3\cdot 5}=\tfrac{10}{15}</math>. Von links nach rechts gelesen wurde der Bruch erweitert, von rechts nach links gekürzt.

===== Gemischte Zahlen einrichten und Ganze abspalten =====
[[Datei:Unechter und gemischter Bruch.svg|mini|hochkant=2|Darstellung als unechter Bruch (links) und gemischter Bruch (rechts)]]
Der Wert einer in gemischter Schreibweise dargestellten Bruchzahl ändert sich nicht, wenn man den ganzzahligen Anteil als [[Scheinbruch]] mit dem Nenner des Bruchteils schreibt und die verbliebenen Bruchanteile hinzuzählt. Umgekehrt kann man bei einem [[Unechter Bruch|unechten Bruch]] die Bruchteile, die Ganze ergeben, abspalten und die verbleibenden als Bruch anfügen.

Beispiel: <math>\tfrac{8}{3} = \tfrac{6}{3} + \tfrac{2}{3}=2+\tfrac{2}{3}=2\tfrac{2}{3}</math>. Von links nach rechts gelesen wurden Ganze abgespalten, von rechts nach links wurde die gemischte Zahl eingerichtet.

===== Brüche gleichnamig machen =====
Gemeine Brüche, die den gleichen Nenner haben, heißen ''gleichnamig''; sind die Nenner voneinander verschieden, so heißen sie ''ungleichnamig''. Werden ungleichnamige Brüche so erweitert, dass sie danach die gleichen Nenner haben, so nennt man das ''gleichnamig machen''. Beim praktischen Rechnen sollte dazu der [[Hauptnenner]] der Brüche bestimmt werden, das ist das [[Kleinstes gemeinsames Vielfaches|kleinste gemeinsame Vielfache (kgV)]] der Nenner.

Beispiel: Die Brüche <math>\tfrac{2}{7};\tfrac{1}{6};\tfrac{9}{14}</math> sollen gleichnamig gemacht werden. Das kgV der Nenner ist <math>2\cdot 3\cdot 7=42</math>, also werden alle drei Brüche so erweitert, dass ihr Nenner jeweils 42 lautet:
: <math>\frac{2}{7}=\frac{2\cdot 6}{42}=\frac{12}{42};\quad\frac{1}{6}=\frac{1\cdot 7}{42}=\frac{7}{42};\quad\frac{9}{14}=\frac{9\cdot 3}{42}=\frac{27}{42}</math>.
Die gleichnamigen Darstellungen lassen sich nun beispielsweise verwenden, um die dargestellten Bruchzahlen der Größe nach zu ordnen, indem man ihre Zähler vergleicht:
: <math>\frac{7}{42}<\frac{12}{42}<\frac{27}{42}\;</math>, also muss <math>\; \frac{1}{6}<\frac{2}{7}<\frac{9}{14}\;</math> gelten.

==== Die Grundrechenarten ====
===== Addieren und Subtrahieren =====
Die Brüche, die addiert oder subtrahiert werden sollen, werden zunächst gleichnamig gemacht, anschließend werden ihre Zähler addiert bzw. subtrahiert.

Beispiele:
* Addition von zwei gleichnamigen gemeinen Brüchen: <math>\tfrac{3}{4} + \tfrac{1}{4} = 1</math> Man liest: „drei Viertel plus ein Viertel“ (''Figur 1'')
* Addition von zwei ungleichnamigen gemeinen Brüchen, deren Ergebnis ein echter Bruch ist: <math>\tfrac{1}{6} + \tfrac{2}{15} = \tfrac{5}{30} + \tfrac{4}{30} = \tfrac{9}{30} = \tfrac{3}{10}</math> (''Figur 2'')
* Addition von zwei ungleichnamigen gemeinen Brüchen, deren Ergebnis ein gemischter Bruch ist: <math>\tfrac{2}{3} + \tfrac{3}{4} = \tfrac{8}{12} + \tfrac{9}{12} = \tfrac{17}{12} = 1\tfrac{5}{12}</math> (''Figur 3'')

<gallery widths="400">
PieChartFraction threeFourths oneFourth-colored differently.svg|''Figur 1''
Bruchaddition 1.svg|''Figur 2''
Bruchaddition 2.svg|''Figur 3''
</gallery>

===== Multiplizieren =====
[[Datei:Bruchmultiplikation.svg|mini|hochkant|''Figur 4'']]
Brüche werden multipliziert, indem man jeweils ihre Zähler und Nenner miteinander multipliziert. Das Produkt der Zähler ist dann der Zähler des Ergebnisses, das Produkt der Nenner ist dann der Nenner des Ergebnisses.

Beispiel:
:<math>\tfrac{2}{3} \cdot \tfrac{4}{5} = \tfrac{2 \cdot 4}{3 \cdot 5} = \tfrac{8}{15}</math>
:In ''Figur 4'' hat die gesamte braune Fläche einen Anteil von <math>\tfrac{2}{3}</math> an der Gesamtfläche und die hellbraune Fläche einen Anteil von <math>\tfrac{4}{5}</math> an der gesamten braunen Fläche.

===== Dividieren =====
{{Hauptartikel|Doppelbruch}}

Durch einen Bruch wird dividiert, indem man mit seinem [[Kehrwert]] multipliziert.

Beispiel: <math>\frac{2}{15} : \frac{14}{27} = \frac{2}{15} \cdot \frac{27}{14} = \frac{2 \cdot 27}{15 \cdot 14} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 9}{3 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 7} = \frac{9}{5 \cdot 7} = \frac{9}{35}</math>.

Dabei dürfen, wie im Beispiel dargestellt, Zwischenergebnisse gekürzt werden (hier beispielsweise die 3 und die 2 im vorletzten Schritt).

===== Rechnen mit gemischten Brüchen =====
Beim Multiplizieren oder Dividieren von gemischten Brüchen ist es meist nötig, diese zunächst in gewöhnliche Brüche umzuwandeln. (Außer bei ganz einfachen Aufgaben, wie etwa <math>6\tfrac{1}{3} : 2 = 3 \tfrac{1}{6}</math>.)

Beim Addieren und Subtrahieren dagegen ist es günstiger, die Ganzen für sich zu betrachten und Bruchrechnung nur bei den verbleibenden echten Brüchen anzuwenden. Beim Addieren kann hier ein zusätzliches Ganzes auftreten, beim Subtrahieren mögen die Bruchteile nicht ausreichen, sodass eines der Ganzen zu einem Scheinbruch aufgeteilt werden muss:

: <math>13 \tfrac{3}{4} + 27 \tfrac{1}{2} = 40 + \left(\tfrac{3}{4} + \tfrac{1}{2}\right) = 40 + 1 \tfrac{1}{4} = 41 \tfrac{1}{4} </math>;

: <math> 16 \tfrac{1}{3} - 9 \tfrac{1}{2} = 7 + \left(\tfrac{1}{3} - \tfrac{1}{2}\right) = 7 + \left(\tfrac{2}{6} - \tfrac{3}{6}\right) = 6 + \left(\tfrac{6}{6} + \tfrac{2}{6} - \tfrac{3}{6}\right) = 6 \tfrac {5}{6} </math>.

=== Abstrakte Rechenregeln ===
Die folgenden Regeln gelten sowohl beim Bruchrechnen im engeren Sinn als auch beim Rechnen mit Bruchtermen.
Beim Rechnen mit Brüchen stehen die Variablen <math>a,\;b,\;c,\;d,\;n\;</math> in den Regeln für bestimmte ganze Zahlen. Setzt man stattdessen für diese Variablen andere Ausdrücke, z. B. selbst wieder echte Brüche, Dezimalbrüche oder Terme ein, dann erhält man Regeln für das Rechnen mit Bruchtermen, das Bruchrechnen im weiteren Sinn.

Beim Rechnen mit Brüchen liefern die abstrakten Rechenregeln stets korrekte Ergebnisse, häufig ist die Rechnung mit den „praktischen Rechenregeln“ weniger aufwändig.

==== Erweitern und Kürzen ====
{| class="wikitable"
|-
! Kürzen <math>\rightarrow</math>
|-
| <math> \frac{a \cdot c}{b \cdot c} = \frac{a}{b}</math>
|-
! <math>\leftarrow</math> Erweitern
|}

Hilfreiche Eselsbrücken hierzu sind:
* ''Aus Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen.''
* ''Was du oben tust, machst du auch unten!''

Aus der Äquivalenz <math>\frac a b = \frac{a\cdot c}{b\cdot c}</math> für beliebige natürliche Zahlen <math>c>0</math> folgt, dass jede rationale Zahl durch unendlich viele verschiedene Brüche dargestellt werden kann, denn es gilt <math>\frac{a}{b}=\frac{2a}{2b}=\frac{3a}{3b}=\frac{4a}{4b}=\dotsb</math>.

==== Addition ====
: <math> \frac{a}{b} \; + \; \frac{c}{d} \; = \; \frac{a \cdot d + c \cdot b}{b \cdot d} </math>

==== Subtraktion ====
: <math> \frac{a}{b} - \frac{c}{d} \; = \; \frac{a \cdot d - c \cdot b}{b \cdot d} </math>

==== Multiplikation ====
: <math> \frac{a}{b} \; \cdot \; \frac{c}{d} \; = \; \frac{a \cdot c}{b \cdot d} </math>

: <math> \frac{a}{b} \; \cdot \; n \; = \; \frac{a \cdot n}{b} </math>

==== Division ====
[[Datei:BruchDivision.png|mini|Beispiel für die Division durch einen Bruch]]

: <math> \frac{a}{b} : \frac{c}{d} \; = \; \frac{a}{b} \; \cdot \; \frac{d}{c} \; = \; \frac{a \cdot d}{b \cdot c} </math>

Man dividiert also durch einen Bruch, indem man mit dem [[Kehrwert]] des Bruches, der als [[Division (Mathematik)|Divisor]] fungiert, multipliziert. Die Division wird also auf die Multiplikation zurückgeführt.

: <math> \frac{a}{b} : n \; = \; \frac{a}{b \cdot n}\quad \text{und}\quad n : \frac{a}{b} \; = \; \frac{n\cdot b}{a} </math>

==== Potenzen ====
{| class="wikitable"
|-
! Regel !! Beispiel
|-
| <math>\frac{a^n}{b^m} = a^n \cdot b^{-m}</math>
| <math>\frac{3}{2} = 3 \cdot 2^{-1}</math>
|-
| <math>\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}</math>
| <math>\frac{a^3}{a^2} = a^3 \cdot a^{-2} = a^{3-2} = a</math>
|-
| <math>\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n</math>
| <math>\frac{3^2}{2^2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2</math>
|-
|}

=== Rechnen mit Bruchtermen ===
Bruchterme, also Rechenausdrücke in der Form von gemeinen Brüchen, spielen in der elementaren Algebra eine wichtige Rolle. Im Allgemeinen enthalten Bruchterme neben Zahlen auch [[Variable (Mathematik)|Variablen]].
Die Rechenregeln für Brüche können auch auf Bruchterme angewendet werden.

==== Definitionsbereich ====
Bei der Bestimmung des [[Definitionsbereich]]es eines Bruchterms ist zu beachten, dass der Nenner nicht den Wert 0 haben darf. Beispielsweise wäre der von <math>x</math> abhängige Bruchterm <math>\tfrac{1}{6-2x}</math> beim Einsetzen von <math>x=3</math> nicht definiert.
Der Definitionsbereich ist also <math>D = \mathbb{R}\setminus\{3\}</math>, wenn als Grundmenge die Menge der [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] vorausgesetzt wird.
In komplizierteren Fällen sollte der Nenner in Faktoren zerlegt werden, damit der Definitionsbereich erkennbar wird.

Beispiel: <math>\tfrac{x}{x^2-9} = \tfrac{x}{(x+3)(x-3)}</math> hat den Definitionsbereich <math>D = \mathbb{R} \setminus \{-3; +3\}</math>.

==== Kürzen ====
Kürzen bedeutet, dass man Zähler und Nenner durch denselben Rechenausdruck dividiert.
Wichtig dabei ist, dass nur Faktoren von [[Produkt (Mathematik)|Produkten]] herausgekürzt werden können. Summen und Differenzen im Zähler und im Nenner müssen gegebenenfalls zuerst
in Produkte zerlegt werden ([[Faktorisierung]]).

Beispiele:

# <math>\quad\frac{4abc^3}{6a^2bc} = \frac{2c^2}{3a}</math>
# <math>\quad\frac{x^2-6xy+9y^2}{2x-6y} = \frac{(x-3y)^2}{2(x-3y)} = \frac{x-3y}{2}</math>
Beim Kürzen eines Bruchterms kann sich der Definitionsbereich ändern. So ist im ersten Beispiel der ungekürzte, links stehende Term nur definiert, wenn <math>a,b,c\neq 0</math> gilt, der rechtsstehende bereits, wenn nur <math>a\neq 0</math> gilt. Im zweiten Beispiel ist der ungekürzte Term nur definiert, wenn <math>x \neq 3y</math> gilt, der gekürzte ist ohne Einschränkungen definiert.

Die Änderung des Definitionsbereiches eines Bruchterms beim Kürzen ist eine der Techniken, mit denen [[Stetig behebbare Definitionslücke|Funktionsterme stetig fortgesetzt]] werden können.

==== Addition und Subtraktion ====
Wie bei Zahlen ist es nötig, die gegebenen Bruchterme gleichnamig zu machen, d. h. auf den gleichen Nenner zu bringen. Man bestimmt einen möglichst einfachen gemeinsamen Nenner (Hauptnenner), der durch alle gegebenen Nenner teilbar ist.

Beispiel:

: <math>\frac{3}{2a^2} - \frac{4ab-1}{2ab} + 2</math>

Als Hauptnenner ergibt sich <math>2a^2b</math>. Die Erweiterungsfaktoren der drei gegebenen Bruchterme erhält man dadurch, dass man jeweils den gefundenen Hauptnenner durch den bisherigen Nenner dividiert. Die Erweiterungsfaktoren sind also <math>b</math>,
<math>a</math> und <math>2a^2b</math>.

: <math>\frac{3}{2a^2} - \frac{4ab-1}{2ab} + 2</math>
: <math>= \frac{3 \cdot b - (4ab-1) \cdot a + 2 \cdot 2a^2b}{2a^2b}</math>
: <math>= \frac{3b-4a^2b+a+4a^2b}{2a^2b} = \frac{3b+a}{2a^2b}</math>

Häufig lässt sich der Hauptnenner nur erkennen, wenn man die Nenner in Faktoren zerlegt (Faktorisierung). Dabei greift man oft auf die Methode des [[Ausklammern]]s zurück oder verwendet [[binomische Formel]]n.

Beispiel:

: <math>\frac{x}{x^2-xy} - \frac{y}{x^2+xy} - \frac{x}{x^2-y^2}</math>
: <math>= \frac{x}{x(x-y)} - \frac{y}{x(x+y)} - \frac{x}{(x+y)(x-y)}</math>
: <math>= \frac{x \cdot (x+y) - y \cdot (x-y) - x \cdot x}{x(x+y)(x-y)}</math>
: <math>= \frac{x^2 + xy - xy + y^2 - x^2}{x(x+y)(x-y)} = \frac{y^2}{x(x+y)(x-y)}</math>

==== Multiplikation und Division ====

Beim Multiplizieren von Bruchtermen müssen sowohl die Zähler als auch die Nenner multipliziert werden. Gemeinsame Faktoren von Zähler und Nenner sollten herausgekürzt werden.

Beispiel: <math>\frac{4xy}{z^2} \cdot \frac{xz}{6y} = \frac{4x^2yz}{6yz^2} = \frac{2x^2}{3z}</math>

In komplizierteren Aufgaben sollte man Zähler und Nenner in Faktoren zerlegen, um sie bereits vor der eigentlichen Multiplikation herauskürzen zu können.

Beispiel: <math>\frac{a-2b}{4a+1} \cdot \frac{16a^2-1}{a^2-4ab+4b^2}
= \frac{a-2b}{4a+1} \cdot \frac{(4a+1)(4a-1)}{(a-2b)^2}
= \frac{4a-1}{a-2b}</math>

Die Division von Bruchtermen lässt sich auf die Multiplikation zurückführen. Man dividiert durch einen Bruchterm, indem man mit seinem [[Kehrwert]] multipliziert.

Beispiel: <math>\frac{2x-3}{5x} : \frac{4x^2-9}{10x^2}
= \frac{2x-3}{5x} \cdot \frac{10x^2}{(2x+3)(2x-3)}
= \frac{2x}{2x+3}</math>

== Weitere Darstellungsformen ==
=== Ägyptische Brüche ===
Brüche lassen sich auch als Zerlegungen in [[Stammbruch|Stammbrüche]] darstellen, z. B.
: <math>\frac{3}{7} = \frac{1}{3} + \frac{1}{11} + \frac{1}{231}</math> und

: <math> \frac{25}{31} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{18} + \frac{1}{1116}</math>.
Die alten Ägypter kannten nur solche Darstellungen von Brüchen, weshalb sie ''Ägyptische Brüche'' genannt werden.

=== Pythagoreische Brüche ===
Das Zahlentripel <math>(\tfrac{1}{5},\tfrac{24}{35}, \tfrac{5}{7})</math> ist ein Beispiel eines ''pythagoreischen Bruchs'' (siehe auch [[pythagoreisches Tripel]]), denn
: <math>\left(\frac{1}{5}\right)^2 + \left(\frac{24}{35}\right)^2 = \left(\frac{5}{7}\right)^2</math>.
Ein pythagoreischer Bruch kann demnach aus einem pythagoreischen Tripel erzeugt werden, indem dieses durch eine geeignete natürliche Zahl dividiert wird. Der obige pythogareische Bruch lässt sich aus dem pythagoreischen Tripel (7,24,25) mittels Division durch 35 erzeugen.

=== Rationaler Zähler oder Nenner ===
''Siehe [[Rationalisierung (Bruchrechnung)]].''

== Siehe auch ==
* [[Farey-Folge]]
* [[Kreuzweise Multiplikation]]

== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=Erhard Cramer, Johanna Nešlehová |Titel=Vorkurs Mathematik |TitelErg=Arbeitsbuch zum Studienbeginn in Bachelor-Studiengängen |Auflage=3., verbesserte |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2008 |ISBN=978-3-540-78180-6 |Seiten=77–83}}
* {{Literatur |Autor=Friedhelm Padberg, Sebastian Wartha |Titel=Didaktik der Bruchrechnung |Auflage=5. |Verlag=Springer |Ort= |Datum=2023 |ISBN=978-3-662-52968-3}}

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Mathematrix: Kompass/ Grundrechenarten und Bruchrechnungen|<math>{\color{BlueViolet}\begin{matrix}{\mathbf{MATHE} \mu \alpha T\mathbb R ix}\end{matrix}}</math> Mathematik für die Schule |suffix=Grundrechenarten und Bruchrechnungen}}
{{Wikibooks|Mathematrix: Kompass/ Arbeiten mit Termen/ Bruchterme|<math>{\color{BlueViolet}\begin{matrix}{\mathbf{MATHE} \mu \alpha T\mathbb R ix}\end{matrix}}</math> Mathematik für die Schule |suffix=Bruchterme}}
{{Wiktionary}}
* [https://oberprima.com/mathematik/bruchrechnen/ Bruchrechnung In Nachhilfe Videos veranschaulicht] (Olaf Hinrichsen, OberPrima.com UG, 16. März 2018)
* [https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/bruchrechnung2.htm ''Rechner für Brüche''] – diverse Online-Programme rund um die Bruchrechnung
* [https://www.formelsammlung-mathe.de/bruchrechnen Formeln für die Bruchrechnung] – Eine übersichtliche Auflistung der wichtigsten Formeln für das Rechnen mit Brüchen
* [http://www.gerdbreitenbach.de/binom/fractions.html Interaktives Applet, das durch die verschiedene Aufgabenstellungen zur Bruchrechnung führt]

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4008387-1}}

[[Kategorie:Bruchrechnung| ]]

Bruchrechnung - Versionsgeschichte

imported>Mathze: /* Partialbrüche */ Unbelegten Absatz entfernt: Der Begriff "Partialbrüche" wird im Sinne des Abschnitts nicht in der Literatur verwendet (siehe Diskussionsseite), und als "Theorie" war er ohnehin viel zu knapp gehalten.