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[[Datei:Vennandornot.svg|mini|alt=AbbildunVenn-Diagramme für Konjunktion, Disjunktion und Negation |Venn-Diagramme für Konjunktion, Disjunktion und Negation bzw. für Durchschnitt, Vereinigung und Komplement]]
In der [[Mathematik]] ist eine '''boolesche Algebra''' (oder ein '''boolescher Verband''') eine spezielle [[algebraische Struktur]], die die Eigenschaften der [[Aussagenlogik|logischen]] Operatoren UND (Konjunktion), ODER ([[Disjunktion]]), NICHT (Negation) sowie die Eigenschaften der [[Menge (Mathematik)|mengentheoretischen]] Verknüpfungen Durchschnitt, Vereinigung, Komplement verallgemeinert. Gleichwertig zu booleschen Algebren sind ''boolesche Ringe'', die von UND und ENTWEDER-ODER (exklusiv-ODER) beziehungsweise Durchschnitt und symmetrischer Differenz ausgehen.

Die boolesche Algebra ist die Grundlage bei der Entwicklung von digitaler Elektronik und wird dort als [[Schaltalgebra]], etwa bei der Erstellung von [[Schaltnetz]]en, angewandt. Sie wird in allen modernen Programmiersprachen zur Verfügung gestellt und ist auch in der [[Mengentheorie]] und [[Statistik]] vertreten.<ref>Givant, Steven; Halmos, Paul (2009). Introduction to Boolean Algebras. Undergraduate Texts in Mathematics, Springer. ISBN 978-0-387-40293-2</ref>

{| width="70" class="wikitable float-right"
|+ Operatoren
| align="center" width="25" | <math>\wedge</math>
| UND
|-
| align="center" width="25" | <math>\lor</math>
| ODER
|-
| align="center" width="25" | <math>\neg</math>
| NICHT
|-
|}

== Geschichte ==

Die boolesche Algebra ist nach [[George Boole]] benannt, da sie auf dessen [[Logikkalkül]] von 1847 zurückgeht, in dem er erstmals algebraische Methoden in der [[Klassenlogik]] und [[Aussagenlogik]] anwandte. Ihre heutige Form verdankt sie der Weiterentwicklung durch Mathematiker wie [[John Venn]], [[William Stanley Jevons]], [[Charles Peirce]], [[Ernst Schröder (Mathematiker)|Ernst Schröder]] und [[Giuseppe Peano]]. In [[George Boole#Booles Originalkalkül|Booles originaler Algebra]] entspricht die Multiplikation dem UND, die Addition dagegen weder dem exklusiven ENTWEDER-ODER noch dem inklusiven ODER („mindestens eines von beiden ist wahr“). Die genannten Boole-Nachfolger gingen dagegen vom inklusiven ODER aus: Schröder entwickelte 1877 das erste formale Axiomensystem einer booleschen Algebra in additiver Schreibweise.<ref>Ernst Schröder: ''Der Operationskreis des Logikkalkuls''. Leipzig 1877.</ref> Peano brachte dessen System 1888 in die heutige Form (siehe unten) und führte dabei die Symbole <math>\cap</math> und <math>\cup</math> ein.<ref name="Peano">Giuseppe Peano: ''Calcolo geometrico''. Bocca, Torino, 1888. Auszug in: G. Peano: ''Opere scelte'' II, Rom 1958, S. 3–19, dort S. 5f das Axiomensystem.</ref> Das aussagenlogische ODER-Zeichen <math>\lor</math> stammt von [[Bertrand Russell|Russell]] 1906;<ref>Bertrand Russell: ''The Theory of Implication.'' In: ''American Journal of Mathematics.'' Baltimore 28.1906, S. 159–202. {{ISSN|0002-9327}}</ref> [[Arend Heyting]] führte 1930 die Symbole <math>\wedge </math> und <math>\neg </math> ein.

Den Namen ''boolesche Algebra'' ({{EnS|boolean algebra}}) prägte [[Henry Maurice Sheffer]] erst 1913. Das exklusive ENTWEDER-ODER, das Booles originaler Algebra näher kommt, legte erst [[Ivan Ivanovich Žegalkin]] 1927 dem booleschen Ring zugrunde, dem [[Marshall Harvey Stone]] 1936 den Namen gab.

== Definition ==

Das redundante [[Axiomensystem]] von [[Peano]] (mit zusätzlichen ableitbaren Axiomen) charakterisiert eine boolesche Algebra als [[Menge (Mathematik)|Menge]] mit Nullelement 0 und Einselement 1, auf der die [[Zweistellige Verknüpfung|zweistelligen Verknüpfungen]] <math>\wedge</math> und <math>\lor</math> und eine [[einstellige Verknüpfung]] <math>\neg</math> definiert sind, durch folgende Axiome (originale Nummerierung von Peano):<ref name="Peano" />

{|
| [[Kommutativgesetz]]e ||(1)||<math>a\land b = b\land a</math> ||(1’)||<math>a\lor b = b\lor a</math>
|-
| [[Assoziativgesetz]]e ||(2)||<math>(a\land b)\land c = a\land (b\land c)</math>||(2’)||<math>(a\lor b)\lor c = a\lor (b\lor c)</math>
|-
| [[Idempotenzgesetz]]e ||(3)||<math>a\land a=a</math>||(3’)||<math>a\lor a=a</math>
|-
| [[Distributivgesetz]]e ||(4)||<math>a\land (b\lor c) = (a\land b) \lor (a \land c)</math>||(4’)||<math>a\lor (b\land c) = (a\lor b) \land (a \lor c)</math>
|-
| Neutralitätsgesetze ||(5)||<math>a\land 1 = a </math>||(5’)||<math>a\lor 0 = a </math>
|-
| Extremalgesetze ||(6)||<math>a\land 0=0</math>||(6’)||<math>a\lor 1=1</math>
|-
| Doppelnegationsgesetz (Involution)||(7)||<math>\neg(\neg a)=a</math>||
|-
| [[De Morgansche Gesetze]] ||(8)||<math>\neg(a\land b)=\neg a\lor\neg b</math>||(8’)||<math>\neg(a\lor b)=\neg a\land\neg b</math>
|-
| Komplementärgesetze ||(9)||<math>a\land\neg a=0</math>||(9’)||<math>a\lor\neg a=1</math>
|-
| Dualitätsgesetze ||(10)||<math>\neg 0 = 1 </math>||(10’)||<math>\neg 1 = 0 </math>
|-
| Absorptionsgesetze ||(11)||<math>a\lor(a\land b)=a</math>||(11’)||<math>a\land(a\lor b)=a</math>
|-
|}

Jede Formel in einer booleschen Algebra hat eine ''duale Formel'', die durch Ersetzung von 0 durch 1 und <math>\wedge</math> durch <math>\lor</math> und umgekehrt entsteht. Ist die eine Formel gültig, dann ist es auch ihre duale Formel, wie im Peano-Axiomensystem jeweils (n) und (n').

Die Komplemente haben nichts mit [[Inverses Element|inversen Elementen]] zu tun, denn die Verknüpfung eines Elementes mit seinem Komplement liefert das [[Neutrales Element|neutrale Element]] der jeweils ''anderen'' Verknüpfung.

=== Definition als Verband ===

Eine ''boolesche Algebra'' ist ein distributiver komplementärer [[Verband (Mathematik)|Verband]].
Diese Definition geht nur von den Verknüpfungen <math>\wedge</math> und <math>\lor</math> aus und umfasst die Existenz von 0, 1 und <math>\neg</math> und die unabhängigen Axiome (1)(1’)(2)(2’)(11)(11’)(4)(9)(9’) des gleichwertigen Axiomensystems von Peano. Auf einer booleschen Algebra ist wie in jedem [[Verband (Mathematik)|Verband]] durch <math>a\le b \iff a=a\land b</math> eine [[Ordnungsrelation|partielle Ordnung]] definierbar; bei ihr haben je zwei Elemente ein [[Supremum]] und ein Infimum. Bei der mengentheoretischen Interpretation ist <math>\le</math> gleichbedeutend zur Teilmengenordnung <math>\subseteq</math>.

=== Definition nach Huntington ===

Eine kompaktere Definition ist das Axiomensystem nach [[Edward Vermilye Huntington|Huntington]]:

Eine ''boolesche Algebra'' ist eine Menge <math>B</math> mit zwei Verknüpfungen auf <math>B</math>, so dass für alle Elemente <math>a \in B</math>, <math>b \in B</math> und <math>c \in B</math> gilt:

* Kommutativität: (1) und (1’)
* Distributivität: (4) und (4’)
* Existenz neutraler Elemente: Es gibt Elemente <math>0 \in B</math> und <math>1 \in B</math>, so dass (5) und (5’)
* Existenz von Komplementen: Zu jedem <math>a \in B</math> gibt es <math>\neg a \in B</math>, so dass (9) und (9’)

(Die manchmal separat geforderte [[Abgeschlossenheit (algebraische Struktur)|Abgeschlossenheit]] der Verknüpfungen ist hier schon in der Formulierung „Verknüpfungen ''auf'' <math>B</math>“ enthalten.)

Auch aus diesen vier Axiomen lassen sich alle oben genannten Gesetze und weitere ableiten. Auch lässt sich aus dem Axiomensystem, das zunächst nur die Existenz neutraler und komplementärer Elemente fordert, deren Eindeutigkeit ableiten, d. h., es kann nur ein Nullelement, ein Einselement, und zu jedem Element nur ein Komplement geben.

== Schreibweise ==

Die Operatoren boolescher Algebren werden verschiedenartig notiert. Bei der logischen Interpretation als Konjunktion, Disjunktion und Negation schreibt man sie als <math>\wedge</math>, <math>\lor</math> und <math>\neg</math> und verbalisiert sie als UND, ODER, NICHT bzw. AND, OR, NOT. Bei der mengentheoretischen Interpretation als Durchschnitt, Vereinigung und Komplement werden sie als <math>\cap</math>, <math>\cup</math> und <math>^\complement</math> (<math>A^\complement</math>) geschrieben. Zur Betonung der Abstraktion in der allgemeinen booleschen Algebra werden auch Symbolpaare wie <math>\sqcap</math>, <math>\sqcup</math> oder <math>\ast</math>, <math>\circ</math> benutzt.

Mathematiker schreiben gelegentlich „·“ für UND und „+“ für ODER (wegen ihrer entfernten Ähnlichkeit zur [[Multiplikation]] und [[Addition]] anderer algebraischer Strukturen) und stellen NICHT mit einem Überstrich, einer Tilde ~, oder einem nachgestellten [[Prime (Typografie)|Prime-Zeichen]] dar. Diese Notation ist auch in der [[Schaltalgebra]] zur Beschreibung der booleschen Funktion digitaler Schaltungen üblich; dort benutzt man oft die definierbaren Verknüpfungen NAND (NOT AND), NOR (NOT OR) und XOR (EXCLUSIVE OR).

In diesem Artikel werden die Operatorsymbole <math>\wedge</math>, <math>\lor</math> und <math>\neg</math> verwendet.

== Beispiele ==
=== Zweielementige boolesche Algebra ===

Die wichtigste  boolesche Algebra hat nur die zwei Elemente 0 und 1. Die Verknüpfungen sind wie folgt definiert:

{| border="0"
|
{| class="wikitable"
|+ Konjunktion (UND)
| align="center" width="25" | <math>\wedge</math>
| align="center" width="25" | '''0'''
| align="center" width="25" | '''1'''
|-
| align="center" width="25" | '''0'''
| align="center" width="25" | 0
| align="center" width="25" | 0
|-
| align="center" width="25" | '''1'''
| align="center" width="25" | 0
| align="center" width="25" | 1
|}

|  
|
{| class="wikitable"
|+ Disjunktion (ODER)
| align="center" width="25" | <math>\lor</math>
| align="center" width="25" | '''0'''
| align="center" width="25" | '''1'''
|-
| align="center" width="25" | '''0'''
| align="center" width="25" | 0
| align="center" width="25" | 1
|-
| align="center" width="25" | '''1'''
| align="center" width="25" | 1
| align="center" width="25" | 1
|}

|  
|
{| class="wikitable"
|+ Negation (NICHT)
| align="center" width="25" |  
| align="center" width="25" | <math>\neg</math>
|-
| align="center" width="25" | '''0'''
| align="center" width="25" | 1
|-
| align="center" width="25" | '''1'''
| align="center" width="25" | 0
|}
|}

Diese Algebra hat Anwendungen in der [[Aussagenlogik]], wobei 0 als „falsch“ und 1 als „wahr“ interpretiert werden. Die Verknüpfungen <math>{\land},{\lor},{\neg}</math> entsprechen den logischen Verknüpfungen UND, ODER, NICHT. Ausdrücke in dieser Algebra heißen ''boolesche Ausdrücke''.

Auch für [[Digitaltechnik|digitale]] Schaltungen wird diese Algebra verwendet und als [[Schaltalgebra]] bezeichnet. Hier entsprechen 0 und 1 zwei [[Elektrische Spannung|Spannungszuständen]] in der Schalterfunktion von AUS und AN. Das Eingangs-Ausgangs-Verhalten jeder möglichen digitalen Schaltung kann durch einen booleschen Ausdruck modelliert werden.

Die zweielementige boolesche Algebra ist auch wichtig für die Theorie allgemeiner boolescher Algebren, da jede Gleichung, in der nur Variablen, 0 und 1 durch <math>{\land},</math> <math>\lor</math> und <math>\neg</math> verknüpft sind, genau dann in einer beliebigen booleschen Algebra für jede Variablenbelegung erfüllt ist, wenn sie in der zweielementigen Algebra für jede Variablenbelegung erfüllt ist (was man einfach durchtesten kann). Zum Beispiel gelten die folgenden beiden Aussagen (Konsensusregeln, engl.: ''Consensus Theorems'') über jede boolesche Algebra:
:<math>(a \lor b) \land (\neg a \lor c) \land (b \lor c) = (a \lor b) \land (\neg a \lor c)</math>
:<math>(a \land b) \lor (\neg a \land c) \lor (b \land c) = (a \land b) \lor (\neg a \land c)</math>
In der [[Aussagenlogik]] nennt man diese Regeln [[Resolution (Logik)|Resolutionsregeln]].

=== Mengenalgebra ===

Die [[Potenzmenge]] einer Menge <math>S</math> wird mit Durchschnitt, Vereinigung und dem Komplement <math>A^\complement:= \{ x \mid \left( x\in S \right) \land \left( x\not\in A \right) \}</math> zu einer booleschen Algebra, bei der 0 die leere Menge <math>\emptyset</math> und 1 die ganze Menge <math>S</math> ist. Der Sonderfall <math>S=\emptyset</math> ergibt die einelementige Potenzmenge mit 1 = 0. Auch jeder <math>S</math> enthaltende, bezüglich Vereinigung und Komplement abgeschlossene Teilbereich der Potenzmenge von <math>S</math> ist eine boolesche Algebra, die als ''Teilmengenverband'' oder [[Algebra (Mengensystem)|Mengenalgebra]] bezeichnet wird. Der [[Darstellungssatz für Boolesche Algebren|Darstellungssatz]] von [[Marshall Harvey Stone|Stone]] besagt, dass jede boolesche Algebra isomorph (s. u.) zu einer Mengenalgebra ist. Daraus folgt, dass die [[Mächtigkeit (Mathematik)|Mächtigkeit]] jeder endlichen booleschen Algebra eine Zweierpotenz ist.

Über die [[Venn-Diagramm]]e veranschaulicht die Mengenalgebra boolesche Gesetze, beispielsweise Distributiv- und de-Morgansche-Gesetze. Darüber hinaus basiert auf ihrer Form als [[KV-Diagramm]] eine bekannte Methode der systematischen Vereinfachung boolescher Ausdrücke in der [[Schaltalgebra]].

Weitere Beispiele für boolesche Mengenalgebren stammen aus der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]]. Die Menge der [[Abgeschlossene offene Menge|abgeschlossenen offenen Mengen]] eines [[Topologischer Raum|topologischen Raums]] bildet mit den üblichen Operationen für die Vereinigung, den Durchschnitt und das Komplement von Mengen eine boolesche Algebra. Die [[Regulär abgeschlossene Menge|regulär abgeschlossenen Mengen]] und die [[Regulär offene Menge|regulär offenen Mengen]] stellen mit den jeweiligen regularisierten Mengenoperationen <math>\cap^\ast</math>, <math>\cup^\ast</math> und <math>\mathrm{C}^\ast</math> ebenfalls boolesche Algebren dar.

=== Andere Beispiele ===

Die Menge aller endlichen oder [[koendlich]]en Teilmengen von <math>\mathbb N_0</math> bildet mit Durchschnitt und Vereinigung eine boolesche Algebra.

Für jede natürliche Zahl ''n'' ist die Menge aller positiven Teiler von ''n'' mit den Verknüpfungen ggT und kgV ein distributiver beschränkter Verband. Dabei ist 1 das Nullelement und ''n'' das Einselement. Der Verband ist boolesch genau dann, wenn ''n'' [[quadratfrei]] ist. Dieser Verband heißt '''Teilerverband''' von ''n''.

Ist <math>R</math> ein [[Ring (Algebra)|Ring]] mit Einselement, dann definieren wir die Menge

: <math>A=\{e\in R\mid e^2 = e \text{ und } ex = xe \text{ für alle } x \in R\}</math>

aller [[idempotent]]en Elemente des [[Zentrum (Algebra)|Zentrums]]. Mit den Verknüpfungen

: <math>e\lor f = e + f - ef,\quad e \land f = ef</math>

wird <math>A</math> zu einer booleschen Algebra.

== Homomorphismen ==

Ein [[Homomorphismus]] zwischen booleschen Algebren <math>A,B</math> ist ein Verbandshomomorphismus <math>f\colon A\to B</math>, der 0 auf 0 und 1 auf 1 abbildet, d. h., für alle <math>x,y\in A</math> gilt:

* <math>f(x\land y)=f(x)\land f(y)</math>
* <math>f(x\lor y)=f(x)\lor f(y)</math>
* <math>f(0)=0,\quad f(1)=1</math>

Es folgt daraus, dass <math>f(\neg a)=\neg f(a)</math> für alle ''a'' aus ''A''. Die [[Klasse (Mengenlehre)|Klasse]] aller booleschen Algebren wird mit diesem Homomorphismenbegriff eine [[Kategorientheorie|Kategorie]]. Ist ein Homomorphismus ''f'' zusätzlich [[Bijektivität|bijektiv]], dann heißt <math>f</math> ''[[Isomorphismus]]'', und <math>A</math> und <math>B</math> heißen ''isomorph''.

== Boolesche Ringe ==

Eine andere Sichtweise auf boolesche Algebren besteht in sogenannten ''booleschen Ringen'': Das sind [[Ring (Algebra)|Ringe]] mit Einselement, die zusätzlich [[Idempotenz|idempotent]] sind, also das Idempotenzgesetz <math>a\cdot a = a</math> erfüllen. Jeder idempotente Ring ist [[Idempotenz#Eigenschaften|kommutativ]]. Die Addition im booleschen Ring entspricht bei der mengentheoretischen Interpretation der [[Symmetrische Differenz|symmetrischen Differenz]] und bei aussagenlogischer Interpretation der Alternative ENTWEDER-ODER (exclusiv-ODER, [[XOR]]); die Multiplikation entspricht der Durchschnittsbildung beziehungsweise der Konjunktion UND.

Boolesche Ringe sind stets selbstinvers, d. h. es gilt <math>\,a+a=0</math> und folglich für das additive Inverse <math>\,-a=a</math>. Wegen dieser Eigenschaft besitzen sie auch, falls 1 und 0 verschieden sind, stets die [[Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]] 2. Der kleinste solche boolesche Ring ist zugleich ein [[Körper (Algebra)|Körper]] mit folgenden Verknüpfungstafeln:

{| border="0"
|
{| class="wikitable"
| align="center" width="25" | <math>\cdot</math>
| align="center" width="25" | '''0'''
| align="center" width="25" | '''1'''
|-
| align="center" width="25" | '''0'''
| align="center" width="25" | 0
| align="center" width="25" | 0
|-
| align="center" width="25" | '''1'''
| align="center" width="25" | 0
| align="center" width="25" | 1
|}

|  
|
{| class="wikitable"
| align="center" width="25" | <math>+</math>
| align="center" width="25" | '''0'''
| align="center" width="25" | '''1'''
|-
| align="center" width="25" | '''0'''
| align="center" width="25" | 0
| align="center" width="25" | 1
|-
| align="center" width="25" | '''1'''
| align="center" width="25" | 1
| align="center" width="25" | 0
|}
|-
|}

Der [[Formale Potenzreihe|Potenzreihen-Ring]] modulo <math>\,x\cdot x+x</math> über diesem Körper ist ebenfalls ein boolescher Ring, denn <math>\, x\cdot x+x </math> wird mit <math>\, 0 </math> identifiziert und liefert die Idempotenz. Diese Algebra benutzte bereits [[Ivan Ivanovich Žegalkin|Žegalkin]] 1927 als Variante der originalen Algebra von Boole, der den Körper der [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] zugrunde legte, welcher noch keinen booleschen Ring ergibt.

Jeder boolesche Ring <math>(R,{+},{-},{\cdot}, 1, 0)</math> entspricht einer booleschen Algebra <math>(R, {\land}, {\lor}, {\neg}, 1, 0)</math> durch folgende Definitionen:

: <math>x\lor y = x + y + xy</math>
: <math>x\land y = xy</math>
: <math>\neg x = x+1</math>

Umgekehrt wird jede boolesche Algebra <math>(A, {\land}, {\lor}, {\neg}, 1, 0)</math> zu einem booleschen Ring <math>(A,{+},{-},{\cdot}, 1, 0)</math> durch folgende Definitionen:

: <math>a + b = (a\land\neg b)\lor(b\land\neg a)</math>
: <math>\,-a = a</math>
: <math>a\cdot b = a\land b</math>

Ferner ist eine Abbildung <math>f\colon A\to B</math> genau dann ein Homomorphismus boolescher Algebren, wenn sie ein [[Ringhomomorphismus]] (mit Erhaltung der Eins) boolescher Ringe ist.

== Darstellungssatz von Stone ==

{{Hauptartikel|Darstellungssatz für Boolesche Algebren}}

Für jeden [[topologischer Raum|topologischen Raum]] ist die Menge aller [[abgeschlossene offene Menge|abgeschlossenen offenen Teilmengen]] ({{EnS|clopen subsets}}) eine boolesche Algebra mit Durchschnitt und Vereinigung. Der Darstellungssatz von Stone, bewiesen von [[Marshall Harvey Stone]], besagt, dass umgekehrt für jede boolesche Algebra ein topologischer Raum (genauer ein [[Stone-Raum]], das heißt ein [[total unzusammenhängend]]er, [[kompakter Raum|kompakter]] [[Hausdorffraum]]) existiert, in dem sie als dessen boolesche Algebra abgeschlossener offener Mengen realisiert wird. Der Satz liefert sogar eine [[kontravarianter Funktor|kontravariante]] [[Äquivalenz (Kategorientheorie)|Äquivalenz]] zwischen der Kategorie der Stone-Räume mit [[Stetige Funktion|stetigen Abbildungen]] und der Kategorie der booleschen Algebren mit ihren Homomorphismen (die Kontravarianz erklärt sich dadurch, dass sich für <math>f\colon X\to Y</math> stetig die boolesche Algebra der abgeschlossenen offenen Mengen in <math>X</math> durch ''Urbildbildung'' aus der von <math>Y</math> ergibt, nicht umgekehrt durch Bildung des Bildes).

== Freie boolesche Algebra ==
Für die boolesche Algebra kann man auch das [[freies Objekt|freie Objekt]] bilden, genannt die ''freie boolesche Algebra''.

Sei <math>(\mathbf{BoolAlg},V)</math> die [[konkrete Kategorie]] der booleschen Algebren mit dem [[Vergissfunktor]] <math>V\colon \mathbf{BoolAlg}\rightarrow \mathbf{Set}</math>. Gegeben sei eine Menge <math>X</math>, genannt ''Basis'', ein Objekt <math>A</math> aus <math>\mathbf{BoolAlg}</math> und eine injektive Abbildung <math>i\colon X\rightarrow V(A)</math>.
Das Paar <math>(A,i)</math> heißt [[freies Objekt|frei]] über <math>X</math>, wenn die [[universelle Eigenschaft]] erfüllt ist: Für jedes Objekt <math>B</math> aus <math>\mathbf{BoolAlg}</math> und jede Abbildung <math>f\colon X\rightarrow V(B)</math> gibt es einen eindeutigen [[Morphismus]] <math>g\colon A\rightarrow B</math> mit <math>f=V(g)\circ i</math>. Das bedeutet, das folgende Diagram kommutiert:
:<math>
\begin{array}{c}
X \xrightarrow{\quad i \quad} V(A) \\
{}_f \searrow \quad \swarrow {}_{V(g)} \\
V(B) \quad \\
\end{array}
</math>
Der dazugehörige [[Adjunktion (Kategorientheorie)|linksadjungierte]] Funktor <math>W\colon \mathbf{Set}\rightarrow \mathbf{BoolAlg}</math> heißt ''freier Funktor''.

== Siehe auch ==

* [[Bitweiser Operator]]
* [[Boolesche Funktion]]
* [[Boolescher Differentialkalkül]]
* [[Boolescher Operator]]
* [[Boolesches Retrieval]]
* [[Halbring (Algebraische Struktur)|Halbring]]
* [[Heyting-Algebra]]
* [[Logikgatter]]
* [[Logische Verknüpfung]]
* [[Relationsalgebra]]

== Literatur ==

* [[Marshall Harvey Stone]]: ''The Theory of Representations for Boolean Algebras.'' In: ''Transactions of the American Mathematical Society.'' 40, 1936, {{ISSN|0002-9947}}, S. 37–111.
* D. A. Vladimirov: ''Boolesche Algebren'' (= ''Mathematische Lehrbücher und Monographien.'' Abteilung 2: ''Mathematische Monographien.'' Bd. 29, {{ISSN|0076-5430}}). In deutscher Sprache herausgegeben von [[Günther Eisenreich|G. Eisenreich]]. Akademie-Verlag, Berlin 1972.

== Weblinks ==

{{Wikiversity|Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Vorlesung 9|Eine Vorlesung über boolesche Algebren im Rahmen eines Kurses zur diskreten Mathematik}}
* {{SEP|http://plato.stanford.edu/entries/boolalg-math/|The Mathematics of Boolean Algebra|J. Donald Monk}}
* [http://www.elektroniker-bu.de/boolesche.htm Online-Rechner zum Vereinfachen von Ausdrücken mit den Axiomen der booleschen Algebra.]

== Einzelnachweise ==

<references />

[[Kategorie:Boolesche Algebra| ]]
[[Kategorie:Algebraische Struktur|!]]

Boolesche Algebra - Versionsgeschichte

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