imported>Wassermaus: /* Rolle in der Halbleiterphysik */ Es geht nicht um die Abhängigkeit der Spannung sondern des Stroms

2025-08-18T07:35:05Z

Rolle in der Halbleiterphysik: Es geht nicht um die Abhängigkeit der Spannung sondern des Stroms

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{{Dieser Artikel|behandelt die Boltzmann-Konstante aus der Thermodynamik. Davon zu unterscheiden ist die [[Stefan-Boltzmann-Konstante]] im Strahlungsgesetz schwarzer Körper.}}
{{Infobox Physikalische Konstante
| Name = Boltzmann-Konstante
| Formelzeichen = <math>k</math> oder <math>k_\mathrm{B}</math>
| Art =
| WertSI = {{ZahlExp|1,380649|−23|post=<math>\textstyle \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}</math>}}
| Genauigkeit = (exakt)
| WertPlanck = 1
| Anmerkung = Der Wert dient zur Definition der SI-Einheiten.<ref name="CGPM-26-1" />
}}

Die '''Boltzmann-Konstante''' (Formelzeichen <math>k</math> oder <math>k_\mathrm{B}</math>) ist ein Umrechnungsfaktor von [[Absolute Temperatur|absoluter Temperatur]] in [[Energie]].

Die Bedeutung der Boltzmann-Konstante liegt darin, dass die Größe <math>k_\mathrm{B}T</math> ein charakteristisches Maß für den [[Mittelwert]] der verschiedenen Energien ist, die in regelloser Weise zwischen den einzelnen Teilchen oder ganzen Teilsystemen eines makroskopischen [[Physikalisches System|physikalischen Systems]] bei der Temperatur <math>T</math> im Zustand des thermischen Gleichgewichts übertragen werden. Diese Größe <math>E_\mathrm{therm}=k_\mathrm{B}T</math> ist universell, d. h. unabhängig von sämtlichen Eigenschaften der einzelnen Teilchen des Systems oder seiner kleineren oder größeren Teilsysteme; sie wird auch als [[thermische Energie]] bezeichnet. Nach der genauen Definition ist die Wahrscheinlichkeit <math>p</math>, mit der ein bestimmtes Teilchen oder Teilsystem aufgrund des ständigen Energieaustauschs mit den übrigen Teilen des Systems einen bestimmten Zustand der Energie <math>E</math> einnimmt, im thermischen Gleichgewicht bis auf einen Normierungsfaktor gleich dem [[Boltzmann-Faktor]] <math>\mathrm e^{-E/k_\mathrm{B}T}</math>. Dies gilt sowohl in der [[klassische Physik|klassischen Physik]] als auch in der [[Quantenphysik]].<ref name="cohen" /><ref name="spektrum-lexikon" /><ref name="skalenfaktor" />

Im Bereich der klassischen Physik, wo die Energie kontinuierlich variieren kann, gibt <math>k_\mathrm{B}T</math> (direkt oder mit einem einfachen konstanten Faktor) auch den Durchschnittswert der Energie der einzelnen Teilchen oder Teilsysteme an. Zum Beispiel ist <math>k_\mathrm{B}T</math> gleich der durchschnittlichen [[Potentielle Energie|potentiellen Energie]] der Luftmoleküle, Aerosole und Staubkörnchen in der Atmosphäre<ref group="A">Dies gilt für absolut ruhende Luft. Die entsprechende Höhe heißt [[Skalenhöhe]]. Sie liegt für Moleküle in der Erdatmosphäre bei etwa 8 km. Für Aerosole von z. B. 10<sup>10</sup>-fach größerer Masse ist die Skalenhöhe um denselben Faktor kleiner, Luftströmungen vermischen die verschiedenen Höhenverteilungen die Teilchen wieder (Aufwirbeln).</ref>, während ihre mittlere [[kinetische Energie]] gleich <math>\tfrac32 k_\mathrm{B}T</math> ist. Die [[Wärmekapazität]] einer Gasmenge ist daher in der klassischen Physik direkt proportional zur Teilchenzahl und zur Boltzmann-Konstante sowie unabhängig von der Temperatur. In der Quantenphysik, wo es zu einem bestimmten Energiewert <math>E</math> gegebenenfalls gar keinen Zustand oder jedenfalls nicht die der klassischen Physik entsprechende Anzahl von Zuständen gibt, kann der zusätzliche Faktor temperaturabhängig sein. Das macht sich vorrangig bei tieferen Temperaturen bemerkbar, wenn die typische thermische Energie <math>k_\mathrm{B}T</math> im Bereich solcher Energielücken liegt.

== Wert ==
Die Boltzmann-Konstante hat die Dimension Energie/[[Temperatur]] und den Wert<ref>{{Internetquelle |url=https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?k |hrsg=National Institute of Standards and Technology NIST |titel=CODATA Recommended Values: Boltzmann constant |zugriff=2020-04-15 }}</ref>
:<math>k_\mathrm B= 1{,}380\,649 \cdot 10^{-23} \; \mathrm{J/K}</math>

Dieser Wert gilt exakt, weil die Einheit [[Kelvin]] der absoluten Temperatur [[Internationales Einheitensystem#Neudefinition2019|seit 2019]] dadurch definiert wird, dass der Boltzmann-Konstante gerade dieser Wert zugewiesen wurde.<ref group="A">Vor 2019 war das Kelvin anders definiert, indem dem [[Tripelpunkt]] von reinem Wasser die Temperatur <math>T=273{,}16\, \mathrm{K}</math> zugewiesen worden war. Bis 2019 war <math>k_\mathrm B</math> daher eine experimentell zu bestimmende Größe, an deren genauesten Messwert die neue Definition bestmöglich angenähert wurde.</ref><ref name="CGPM-26-1">{{Internetquelle |url=https://www.bipm.org/en/committees/cg/cgpm/26-2018/resolution-1 |titel=Resolution 1 of the 26th CGPM. On the revision of the International System of Units (SI) |hrsg=[[Internationales Büro für Maß und Gewicht|Bureau International des Poids et Mesures]] |datum=2018 |sprache=en |abruf=2022-06-15}}</ref>

Mit [[Elektronenvolt]] (eV) als Energieeinheit hat die Boltzmann-Konstante den – ebenfalls exakten – Wert<ref>{{Internetquelle |url=https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?kev |hrsg=National Institute of Standards and Technology NIST |titel=CODATA Recommended Values: Boltzmann constant in eV/K |zugriff=2020-04-15}}</ref>
:<math>k_\mathrm B=\frac{1{,}380\,649\cdot 10^{-23}}{1{,}602\,176\,634\cdot 10^{-19}}\,\frac{\mathrm{eV}}{\mathrm{K}}\approx 8{,}617\,333\,262\cdot 10^{-5}\,\frac{\mathrm{eV}}{\mathrm{K}}\,</math>.

Aus der Boltzmann-Konstante berechnet sich die [[universelle Gaskonstante]] mit Hilfe der [[Avogadro-Konstante]] <math>N_\mathrm{A}</math>:
:<math>R_\mathrm{m} = N_\mathrm{A} \cdot k_\mathrm{B}</math>.

== Definition und Zusammenhang mit der Entropie ==
Die Ideen von [[Ludwig Boltzmann]] präzisierend,<ref name="grabstein" /> lautet die von [[Max Planck]] gefundene<ref name="Planck1900" /><ref name="planck-k" /> fundamentale Beziehung:

:<math> S = k_\mathrm{B} \, \ln \Omega \,. </math>

Das heißt, die [[Entropie (Thermodynamik)|Entropie]] <math>S</math> eines [[Makrozustand]]s eines [[Abgeschlossenes System (Thermodynamik)|abgeschlossenen Systems]] im [[Thermisches Gleichgewicht|thermischen Gleichgewicht]], der durch eine Anzahl <math>\Omega</math> ([[Phasenraum]]) möglicher [[Mikrozustand|Mikrozustände]] realisiert werden kann, ist [[proportional]] zum [[Logarithmus#Natürlicher Logarithmus|natürlichen Logarithmus]] dieser Zahl. Das statistische Gewicht <math>\Omega</math> ist ein Maß für die [[Wahrscheinlichkeit]] eines bestimmten Makrozustandes.

Diese Gleichung verknüpft – über die Boltzmann-Konstante als Proportionalitätsfaktor – die Mikrozustände des abgeschlossenen Systems mit der [[makroskopisch]]en Größe der Entropie und bildet die zentrale Grundlage der [[Statistische Physik|statistischen Physik]]. Sie ist in leicht abgewandelter [[Nomenklatur]] auf dem Grabstein von Ludwig Boltzmann am [[Wiener Zentralfriedhof]] eingraviert.<ref name="grabstein" />

Die Entropieänderung ist in der klassischen [[Thermodynamik]] definiert als

:<math>\Delta S = \int \frac{\mathrm{d}Q}{T}</math>

mit der [[Wärmemenge]] <math>Q</math>.

Eine Entropiezunahme <math>\Delta S > 0</math> entspricht einem Übergang in einen neuen Makrozustand mit einer größeren Zahl möglicher Mikrozustände. Alle spontanen makroskopischen Prozesse in einem abgeschlossenen (isolierten) System sind von dieser Art ([[Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik]]).

== Gesetz der idealen Gase ==
Die Boltzmann-Konstante erlaubt die Berechnung der mittleren [[thermische Energie|thermischen Energie]] eines einatomigen [[freies Teilchen|freien Teilchens]] aus der [[Temperatur]] gemäß

:<math>E_\mathrm{therm} = \frac{3}{2}k_\mathrm{B} \, T,</math>

und tritt beispielsweise im [[Gasgesetz]] für [[ideales Gas|ideale Gase]] als eine der möglichen Proportionalitätskonstanten auf:

:<math>p V = N \, k_\mathrm{B} \, T</math>.

Bedeutung der Formelzeichen:
* <math>p</math> – [[Druck (Physik)|Druck]]
* <math>V</math> – [[Volumen]]
* <math>N</math> – [[Teilchenzahl]]
* <math>T</math> – Absolute Temperatur

== Zusammenhang mit der kinetischen Energie ==
Allgemein ergibt sich für die mittlere [[kinetische Energie]] eines [[Klassische Physik|klassischen]] [[punktteilchen|punktförmigen Teilchens]] im [[thermisches Gleichgewicht|thermischen Gleichgewicht]] mit <math>f</math> [[Freiheitsgrad]]en, die quadratisch in die [[Hamiltonfunktion]] eingehen ([[Äquipartitionstheorem]]):

:<math> \langle E_\mathrm{kin} \rangle = \frac{f}{2} k_\mathrm{B} \, T.</math>

So hat beispielsweise ein punktförmiges Teilchen drei [[Translation (Physik)|Translations]]<nowiki/>freiheitsgrade:

:<math> \langle E_\mathrm{kin} \rangle = \frac{3}{2} k_\mathrm{B} \, T.</math>

Ein zweiatomiges [[Molekül]] hat
* ohne Symmetrie drei zusätzliche Rotationsfreiheitsgrade, also insgesamt sechs
* mit einer [[Symmetrieachse]] zwei zusätzliche [[Rotation (Physik)|Rotations]]<nowiki/>freiheitsgrade für Rotation senkrecht zur Symmetrieachse, also insgesamt fünf. Durch Rotation ''um'' die Symmetrieachse kann im Bereich thermischer Energien ''keine'' Energie gespeichert werden, da das [[Trägheitsmoment]] hier vergleichsweise klein ist und der 1. angeregte [[Mikrowellenspektroskopie|Rotationszustand]] daher sehr hoch liegt.

Dazu kommen bei ausreichend hohen Temperaturen noch [[Schwingung]]en der Atome gegeneinander entlang der [[Chemische Bindung|Bindungen]].

== Rolle in der statistischen Physik ==
Allgemeiner tritt die Boltzmann-Konstante in der thermischen [[Wahrscheinlichkeitsdichte]] <math>\rho_\mathrm{th}</math> beliebiger Systeme der statistischen Mechanik im thermischen Gleichgewicht auf. Diese lautet:

:<math> \rho_\mathrm{th} = \frac{\mathrm e^{-\frac{E}{k_\mathrm{B} T}}}{Z}</math>

mit
* dem [[Boltzmann-Faktor]] <math>\mathrm e^{-\frac{E}{k_\mathrm{B} T}}</math>
* der [[Kanonische Zustandssumme|kanonischen Zustandssumme]] <math>Z</math> als Normierungskonstante.

== {{Anker|Temperaturspannung}}Verwendung in der Halbleiterphysik ==

Der Stromfluss durch eine [[Diode|Halbleiterdiode]] ist unter anderem von der Temperatur abhängig und wird durch die [[Shockley-Gleichung]] beschrieben. Zur Beschreibung der thermischen Energie verwendet man in dieser Gleichung anstelle von <math>\,k_\mathrm{B} T\,</math> üblicherweise die '''Temperaturspannung'''

:<math> U_T = \frac{k_\mathrm{B} T}{e}</math>

Bei [[Raumtemperatur]] (''T'' = 293 K) beträgt die Temperaturspannung ungefähr 25 mV.

== Siehe auch ==
* [[Kinetische Gastheorie]]

== Anmerkungen ==
<references group="A" />

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="cohen">
Gilles Cohen-Tannoudji: ''Lambda, the Fifth Foundational Constant Considered by Einstein'' {{arXiv|1802.08317}}, 23. Februar 2018, abgerufen am 18. Oktober 2021
</ref>
<ref name="planck-k">
Die Boltzmann-Konstante wurde erstmals von Planck bestimmt. Boltzmann hat sie nie verwendet. Siehe Walter Meißner: [https://badw.de/fileadmin/nachrufe/SB-math_1948_Meissner%20Walther,%20Gedenkrede%20auf%20Max%20Planck.pdf Gedenkrede auf Max Planck], Sitzungsberichte der mathematisch-naturwissenschaftlichen
Klasse der Bayerischen Akademie der Wissenschaften zu München, 1948
</ref>
<ref name="grabstein">
Die oben genannte Formel für die Entropie findet sich zwar in der Form „S = k. log W“ auf Boltzmanns Grabstein, steht aber nirgendwo explizit in seinen Werken. Er hat aber den Zusammenhang zwischen Entropie und der Zahl der Zustände klar erkannt, z. B. in den Sitzungsberichten der Wiener Akademie 1877 oder den Vorlesungen über Gastheorie, Bd. 1, 1895, S. 40, siehe Ingo Müller ''A history of thermodynamics'', Springer, S. 102.
</ref>
<ref name="Planck1900">
{{Internetquelle |autor=Max Planck |url=https://onlinelibrary.wiley.com/doi/pdf/10.1002/phbl.19480040404 |titel=Zur Theorie des Gesetzes der Energieverteilung im Normalspektrum |titelerg=Vortrag – Faksimile aus den Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft 2 (1900) |werk=onlinelibrary.wiley.com |datum=1900-12-14 |seiten=237–245 |abruf=2020-12-14}}
</ref>
<ref name="skalenfaktor">
„Dabei muss man sich darüber im Klaren sein, dass die Boltzmann-Konstante [...] keine wirkliche Naturkonstante von der Art etwa der Feinstrukturkonstanten oder der elektrischen Elementarladung ist, sondern lediglich ein Skalenfaktor, dessen Bestimmung im Rahmen des gegenwärtigen [2007] Internationalen Einheitensystems (SI) überhaupt erst deshalb nötig ist, weil dieses das Kelvin als Basiseinheit mit Hilfe des Wassertripelpunktes unabhängig von den anderen Basiseinheiten (insbesondere Meter, Sekunde und Kilogramm) definiert. Implizit wird dadurch nämlich für die thermische Energie kT eine zusätzliche eigene Einheit neben dem Joule (definiert als die Arbeit 1 Newton × 1 Meter), der SI-Einheit der Energie, eingeführt.“, {{Internetquelle |autor=Bernd Fellmuth, Wolfgang Buck, Joachim Fischer, Christof Gaiser, Joachim Seidel |url=https://oar.ptb.de/files/download/56d6a9bcab9f3f76468b459d |titel=Neudefinition der Basiseinheit Kelvin |datum=2007 |seiten=287 |format=PTB-Mitteilungen 117 |offline=ja |archiv-url=https://web.archive.org/web/20190607004337/https://oar.ptb.de/files/download/56d6a9bcab9f3f76468b459d |archiv-datum=2019-06-07 |abruf=2024-07-31}}
</ref>
<ref name="spektrum-lexikon">
''„Die fundamentalen physikalischen Konstanten sind […] und die Boltzmann-Konstante k<sub>B</sub>.“,'' [https://www.spektrum.de/lexikon/physik/fundamentalkonstanten/5397 Fundamentalkonstanten], Lexikon der Physik, Spektrum
</ref>
</references>

[[Kategorie:Physikalische Konstante]]
[[Kategorie:Thermodynamik]]
[[Kategorie:Statistische Physik]]
[[Kategorie:Ludwig Boltzmann]]

Boltzmann-Konstante - Versionsgeschichte

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