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[[Datei:Injection.svg|mini|Das Bild dieser Funktion ist<br /> '''{A, B, D}''']]
Bei einer [[Funktion (Mathematik)|mathematischen Funktion]] <math>f</math> ist das '''Bild''', die '''Bildmenge''' oder der '''Bildbereich''' einer [[Teilmenge]] <math>M</math> des [[Definitionsmenge|Definitionsbereichs]] die Menge der Werte aus der [[Zielmenge]] <math>Y</math>, die <math>f</math> auf <math>M</math> tatsächlich annimmt.<ref name="Heuser">[[Harro Heuser]]: ''Lehrbuch der Analysis.'' Teil 1. 8., überarbeitete Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1990, ISBN 3-519-12231-6, S. 106.</ref>

Häufig werden dafür auch die Wörter ''Wertemenge''<ref name="Dobbener">Reinhard Dobbener: ''Analysis. Studienbuch für Ökonomen.'' 4., korrigierte Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München u. a. 2007, ISBN 978-3-486-57999-4, S. 12, Definition 1.12.</ref> oder ''Wertebereich''<ref name="Heuser" /> benutzt, die aber bei anderen Autoren zur Bezeichnung der ganzen Zielmenge <math>Y</math><ref>Michael Ruzicka, Lars Diening: {{Webarchiv |url=http://www.mathematik.uni-freiburg.de/IAM/Teaching/Dscripts.html |text=''Analysis I. Vorlesung vom Wintersemester 2004/2005.'' |wayback=20050123211602}}. {{Webarchiv |url=http://www.mathematik.uni-freiburg.de/IAM/Teaching/scripts/ana1_WS04_05/skript3.pdf |text=S. 21. |wayback=20131021165748}} (PDF; 74 kB).</ref> verwendet werden.

== Definition ==

=== Übliche Notationen ===

Für eine Funktion <math>f\colon X \to Y</math> und eine Teilmenge <math>M</math> von <math>X</math> bezeichnet man die folgende Menge als das ''Bild von M unter f'':
:<math>f(M) := \{ f(x) \mid x \in M\} \; \; \subseteq Y. </math>

Das ''Bild von'' <math>f</math> ist dann das Bild der Definitionsmenge unter <math>f</math>, also:
:<math>\operatorname{Bild}(f) := f(X).</math>

Im Allgemeinen nutzt man die übliche Mengennotation, um die Bildmenge darzustellen, in der oberen Grafik ist das bspw. <math>\mathrm{Bild}(f) = \{A, B, D\}.</math>

=== Alternative Notationen ===

* Obige Schreibweise <math>f(M)</math> ist mit Vorsicht zu genießen. Ist <math>M</math> eine Menge und <math>X:=M\cup\{M\}</math>, so ist <math>M\subset X</math> und <math>M\in X</math>. Für eine Funktion <math>f\colon X \to Y</math> ist <math>f(M)</math> dann mehrdeutig. Es kann für das Bild der Menge <math>M\subset X</math> oder für den Funktionswert von <math>M\in X</math> stehen. Daher verwenden manche Autoren eckige Klammern, das heißt <math>f[M]</math> für die Bildmenge. Als weitere Bezeichnungsweise kommt gelegentlich <math>f''M</math> vor.<ref>{{Literatur |Autor=Jean E. Rubin |Titel=Set Theory for the Mathematician |Verlag=Holden-Day |Datum=1967 |Seiten=xix}}</ref><ref>M. Randall Holmes: ''{{Webarchiv |url=https://pdfs.semanticscholar.org/d8d8/5cdd3eb2fd9406d13b5c04d55708068031ef.pdf |text=Inhomogeneity of the urelements in the usual models of NFU. |wayback=20180207010648}}'' 29. Dezember 2005, auf: ''Semantic Scholar.'' S. 2.</ref> In vielen Bereichen bereitet diese Mehrdeutigkeit keine Probleme.

* Für <math>\operatorname{Bild}(f)</math> ist auch die englische Bezeichnung <math>\operatorname{im} (f)</math> („im“ vom englischen Wort ''image'') gebräuchlich.

== Beispiele ==

=== Quadratfunktion ===
Wir betrachten die Funktion <math>f\colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}</math> ([[ganze Zahlen]]) mit <math>f(z) := z^2</math>.
* Hierbei werden verschiedene Eingabemengen nicht unbedingt auf verschiedene Bildmengen geschickt:
:<math>f(\{ 1, 2, 3 \}) = \{ 1, 4, 9 \}\ </math>
:<math>f(\{ -3, -2, -1 \}) = \{ 1, 4, 9 \}\ </math>
:<math>f(\{ -3, -2, -1, 1, 2, 3 \}) = \{ 1, 4, 9 \}\ </math>
* Insgesamt ist die Menge der Quadratzahlen das Bild der Funktion:
:<math>\operatorname{Bild}(f) = \{ 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, \dotsc \}\ </math>

=== Weitere bekannte Funktionen ===
* <math>\sin(\mathbb{R}) = [-1,1]</math>: Die [[Sinusfunktion]] pendelt zwischen −1 und 1. Jeder Punkt aus <math>[-1,1]</math> wird unendlich oft angenommen.
* <math>\exp(\mathbb{R}) = \mathbb{R}^+ = \{x\in \mathbb{R}\mid x>0\}</math>. Das Bild der [[Exponentialfunktion]] besteht aus allen positiven Zahlen. Jeder Punkt aus <math>\R^+</math> wird genau einmal angenommen.
* Ist <math>f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x\mapsto x^2</math> die [[Quadratfunktion]], so ist <math>f(\mathbb{R}) = \mathbb{R}_0^+ = \{x\in \mathbb{R}\mid x\ge 0\}</math>. Die <math>0</math> wird genau einmal angenommen, jeder andere Punkt des Bildes genau zweimal.

== Eigenschaften ==

Es sei <math>f\colon X \to Y</math> eine Funktion und <math>M</math> und <math>N</math> seien Teilmengen von <math>X</math>:
* <math>f(\varnothing) = \varnothing</math>
* <math>M \subseteq N \implies f(M) \subseteq f(N)</math>
* <math>f</math> ist genau dann [[Surjektivität|surjektiv]], wenn <math>\operatorname{Bild}(f) = Y</math>.
* <math>f(M \cup N) = f(M) \cup f(N)</math>
* <math>f(M \cap N) \subseteq f(M) \cap f(N)</math><br />Ist <math>f</math> [[Injektivität|injektiv]], dann gilt hier ebenfalls die Gleichheit.

Die Aussagen über [[Vereinigungsmenge|Vereinigung]] und [[Schnittmenge|Durchschnitt]] lassen sich von zwei Teilmengen auf beliebige [[Familie (Mathematik)|Familien]] von Teilmengen verallgemeinern, die Teilaussage über Gleichheit bei Injektivität nur bei nichtleeren Familien.<ref>Beweise im [[b:Beweisarchiv: Mengenlehre: Mengenoperation: Bild und Urbild|Beweisarchiv]]</ref>

== Bilder von Strukturen ==
Hat man es mit Strukturen auf Mengen und strukturerhaltenden Abbildungen zu tun, so hat man eine solche Struktur in der Regel auch auf der Bildmenge. Mit ''Bild'' oder ''Bildraum'' meint man dann oft die Bildmenge mit dieser Struktur.

* Betrachtet man etwa [[Gruppe (Mathematik)|Gruppen]] (Mengen mit einer Gruppenstruktur) und [[Gruppenhomomorphismus|Gruppenhomomorphismen]], so ist das Bild ebenfalls eine Gruppe, genauer eine Untergruppe der Zielgruppe. Das gilt allgemein für algebraische Strukturen, siehe dazu [[Algebraische Struktur#Bilder|Bilder in algebraischen Strukturen]].

* Im Falle [[Topologischer Raum|topologischer Räume]] erklärt man zu einer Abbildung in eine andere Menge auf dem Bild die [[Quotiententopologie]], was die Abbildung stetig macht.

* In der [[Maßtheorie]] überträgt man [[Maß (Mathematik)|Maße]] auf einen Bildraum mit der Konstruktion des [[Bildmaß]]es.

== Siehe auch ==
* [[Bild (Kategorientheorie)]]
* [[Kern (Algebra)]]
* [[Urbild (Mathematik)]]

== Weblinks ==
{{Wiktionary}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Mathematischer Grundbegriff]]
[[Kategorie:Mengenlehre]]

Bild (Mathematik) - Versionsgeschichte

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