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2025-02-08T12:44:49Z

Lesbarkeit, Reduktion aufs Wesentliche

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[[Datei:Bijection.svg|mini|Eine bijektive [[Funktion (Mathematik)|Funktion]]]]

'''Bijektivität''' (zum [[Adjektiv]] ''bijektiv'', welches etwa ‚umkehrbar eindeutig auf‘ bedeutet – daher auch der [[Begriff]] ''eineindeutig'' bzw. '''Eineindeutigkeit''') ist ein [[Mathematik|mathematischer]] Begriff aus dem Bereich der [[Mengenlehre]]. Er bezeichnet eine spezielle Eigenschaft von [[Abbildung (Mathematik)|Abbildungen]] und [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]]. Bijektive Abbildungen und Funktionen nennt man auch '''Bijektionen'''. Die zu einer [[Mathematische Struktur|mathematischen Struktur]] auftretenden Bijektionen haben oft eigene Namen wie [[Isomorphismus]], [[Diffeomorphismus]], [[Homöomorphismus]], [[Spiegelung (Geometrie)|Spiegelung]] oder Ähnliches. Hier sind dann in der Regel noch zusätzliche Forderungen in Hinblick auf die Erhaltung der jeweils betrachteten Struktur zu erfüllen.

Zur Veranschaulichung kann man sagen, dass bei einer ''Bijektion'' eine vollständige Paarbildung zwischen den [[Element (Mathematik)|Elementen]] von [[Definitionsmenge|Definitionsmengen]] und [[Zielmenge|Zielmengen]] stattfindet. ''Bijektionen'' behandeln ihren [[Definitionsbereich]] und ihren [[Bild (Mathematik)|Wertebereich]] also [[Symmetrie (Geometrie)|symmetrisch]]; deshalb hat eine bijektive Funktion immer eine [[Umkehrfunktion]].

Bei einer ''Bijektion'' haben die Definitionsmenge und die Zielmenge dieselbe [[Mächtigkeit (Mathematik)|Mächtigkeit]], im Falle [[Endliche Menge|endlicher Mengen]] also gleich viele [[Element (Mathematik)|Elemente]].

Die ''Bijektion'' einer Menge auf sich selbst heißt auch [[Permutation]]. Auch hier gibt es in mathematischen Strukturen vielfach eigene Namen. Hat die Bijektion darüber hinausgehend strukturerhaltende Eigenschaften, spricht man von einem [[Automorphismus]].

Eine Bijektion zwischen zwei Mengen wird manchmal auch eine '''bijektive Korrespondenz''' genannt.<ref>{{Literatur |Autor=[[Don Zagier]] |Titel=Zetafunktionen und quadratische Körper: Eine Einführung in die höhere Zahlentheorie |Verlag=Springer |Datum=1981 |ISBN=3-540-10603-0 |Fundstelle=hier S. 94 |Online={{Google Buch|BuchID=KrfzBgAAQBAJ|Seite=94|Hervorhebung="bijektive Korrespondenz"}} |Abruf=2017-06-07}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=[[Gernot Stroth]] |Titel=Algebra: Einführung in die Galoistheorie |Verlag=de Gruyter |Ort=Berlin |Datum=1998 |ISBN=3-11-015534-6 |Fundstelle=hier S. 100 |Online={{Google Buch|BuchID=1gdlDe4pdWEC|Seite=100|Hervorhebung="bijektive Korrespondenz"}} |Abruf=2017-06-07}}</ref>

== Definition ==
Seien <math>X</math> und <math>Y</math> Mengen und sei <math>f</math> eine Abbildung oder eine [[Funktion (Mathematik)|Funktion]], die von <math>X</math> nach <math>Y</math> abbildet, also <math>f \colon X \to Y</math>. Dann heißt <math>f</math> bijektiv, wenn für alle <math>y \in Y</math> genau ein <math>x \in X</math> mit <math>f\left(x\right) = y</math> existiert, formal: <math>\forall y \in Y: \exists ! x \in X: \quad f(x) = y</math>.

Das bedeutet:
<math> f </math> ist bijektiv dann und nur dann, wenn <math>f</math> sowohl
:(1) [[Injektivität|injektiv]] ist:
::Kein Wert der [[Zielmenge]] <math>Y</math> wird mehrfach angenommen. Mit anderen Worten: Das [[Urbild (Mathematik)|Urbild]] jedes [[Element (Mathematik)|Elements]] der Zielmenge <math>Y</math> besteht aus höchstens einem Element von <math>X</math>. Aus <math> f(x_1)=f(x_2)</math> folgt daher immer <math> x_1=x_2 </math>.
als auch
:(2) [[Surjektivität|surjektiv]] ist:
::Jedes Element der Zielmenge <math>Y</math> wird angenommen. Mit anderen Worten: Die Zielmenge <math>Y</math> und die [[Bild (Mathematik)|Bildmenge]] <math>f(X)</math> stimmen überein, also <math>f\left(X\right) = Y</math>. Für jedes <math> y </math> aus <math> Y </math> existiert daher (mindestens) ein <math> x </math> aus <math> X </math> mit <math> f(x) = y</math>.

== Grafische Veranschaulichungen ==
<gallery widths="151">
Bijektivität Mengenwolke.png|Das Prinzip der Bijektivität: Jeder Punkt in der Zielmenge (Y) wird genau einmal getroffen.
Bijektivität Mengenkasten 01.png|Vier bijektive streng monoton steigende reelle stetige Funktionen.
Bijektivität Mengenkasten 02.png|Vier bijektive streng monoton fallende reelle stetige Funktionen.
</gallery>

== Beispiele und Gegenbeispiele ==
Die Menge der [[Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] wird hier mit <math>\mathbb{R}</math> bezeichnet, die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen mit <math>\R^+_0</math>.

* Die Funktion <math>f \colon \R\to\R, x\mapsto x+a</math> ist bijektiv mit der Umkehrfunktion <math>f^{-1} \colon \R\to\R, x\mapsto x-a</math>.
* Ebenso ist für <math>a\ne 0 </math> die Funktion <math>g \colon \R\to\R, x\mapsto ax</math> bijektiv mit der Umkehrfunktion <math>g^{-1} \colon \R\to\R, x\mapsto \frac{x}{a}</math>.
* Beispiel: Ordnet man jedem ([[Monogamie|monogam]]) [[Ehe|verheirateten]] [[Mensch]]en seinen Ehepartner bzw. seine Ehepartnerin zu, ist dies eine Bijektion der Menge aller verheirateten Menschen auf sich selbst. Dies ist sogar ein Beispiel für eine [[Involution (Mathematik)|selbstinverse Abbildung]].

* Die folgenden vier Quadratfunktionen unterscheiden sich nur in ihren Definitions- bzw. Wertemengen:
::<math>f_1\colon\R\ \ \rightarrow\mathbb{R},\ \ \ x \mapsto x^2 </math>
::<math>f_2\colon\R^+_0\rightarrow\mathbb{R},\ \ \ x \mapsto x^2 </math>
::<math>f_3\colon\R\ \ \rightarrow \R^+_0,\ x \mapsto x^2 </math>
::<math>f_4\colon\R^+_0\rightarrow \R^+_0,\ x \mapsto x^2 </math>
:Mit diesen Definitionen ist
::<math> f_1 </math> nicht [[Injektive Funktion|injektiv]], nicht [[Surjektive Funktion|surjektiv]], nicht bijektiv
::<math> f_2 </math> injektiv, nicht surjektiv, nicht bijektiv
::<math> f_3 </math> nicht injektiv, surjektiv, nicht bijektiv
::<math> f_4 </math> injektiv, surjektiv, bijektiv

== Eigenschaften ==
* Sind <math>A</math> und <math>B</math> endliche Mengen mit gleich vielen Elementen und ist <math>f \colon A \to B</math> eine Funktion, dann gilt:
** Ist <math>f</math> injektiv, dann ist <math>f</math> bereits bijektiv.
** Ist <math>f</math> surjektiv, dann ist <math>f</math> bereits bijektiv.

* Insbesondere gilt also für Funktionen <math>f \colon A \to A</math> von einer endlichen Menge <math>A</math> in sich selbst:
** <math>f</math> ist injektiv ⇔ <math>f</math> ist surjektiv ⇔ <math>f</math> ist bijektiv.
** Für [[unendlich]]e Mengen ist das im Allgemeinen falsch. Diese können injektiv auf echte Teilmengen abgebildet werden, ebenso gibt es surjektive Abbildungen einer unendlichen Menge auf sich selbst, die keine Bijektionen sind. Solche Überraschungen werden im Artikel [[Hilberts Hotel]] detaillierter beschrieben, siehe dazu auch [[Dedekind-Unendlichkeit]].

* Sind die Funktionen <math>f \colon A \to B</math> und <math>g \colon B \to C</math> bijektiv, dann gilt dies auch für die [[Komposition (Mathematik)|Verkettung]] <math>g\circ f \colon A \to C</math>. Die Umkehrfunktion von <math>g\circ f</math> ist dann <math>f^{-1}\circ g^{-1}</math>.

* Ist <math>g\circ f</math> bijektiv, dann ist <math>f</math> injektiv und <math>g</math> surjektiv.

* Ist <math>f \colon A \to B</math> eine Funktion und gibt es eine Funktion <math>g \colon B \to A</math>, die die beiden Gleichungen
:::<math>g \circ f = \operatorname{id}_A</math> (<math>\operatorname{id}_A</math> = [[Identische Abbildung|Identität]] auf der Menge <math>A</math>)
:::<math>f \circ g = \operatorname{id}_B</math> (<math>\operatorname{id}_B</math> = [[Identische Abbildung|Identität]] auf der Menge <math>B</math>)
:erfüllt, dann ist <math>f</math> bijektiv, und <math>g</math> ist die Umkehrfunktion von <math>f</math>, also <math>g=f^{-1}</math>.
* Die Menge der [[Permutation]]en einer gegebenen [[Grundmenge]] <math>A</math> bildet zusammen mit der [[Komposition (Mathematik)|Komposition]] als [[Verknüpfung (Mathematik)|Verknüpfung]] eine [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]], die sogenannte [[symmetrische Gruppe]] von <math>A</math>.

== Geschichte des Begriffs ==
Nachdem man lange mit Formulierungen wie „eineindeutig“ ausgekommen war, kam schließlich Mitte des 20. Jahrhunderts im Zuge der durchgehend mengentheoretischen Darstellung aller mathematischen Teilgebiete das Bedürfnis nach einer prägnanteren Bezeichnung auf. Die Begriffe ''bijektiv'', ''injektiv'' und ''surjektiv'' wurden in den 1950ern von der Autorengruppe [[Nicolas Bourbaki]] geprägt.<ref name="EarliestKnown">[https://jeff560.tripod.com/i.html ''Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics.'']</ref>

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Heinz-Dieter Ebbinghaus]]
|Titel=Einführung in die Mengenlehre
|Auflage=4.
|Verlag=Spektrum Akademischer Verlag
|Ort=Heidelberg [u. a.]
|Datum=2003
|ISBN=3-8274-1411-3}}
* {{Literatur
|Autor=[[Gerd Fischer (Mathematiker)|Gerd Fischer]]
|Titel=Lineare Algebra
|Auflage=17.
|Verlag=Vieweg+Teubner
|Ort=Wiesbaden
|Datum=2010
|ISBN=978-3-8348-0996-4}}
* {{Literatur
|Hrsg=Walter Gellert, [[Herbert Kästner]], Siegfried Neuber
|Titel=Fachlexikon ABC Mathematik
|Verlag=Verlag Harri Deutsch
|Ort=Thun und Frankfurt/Main
|Datum=1978
|ISBN=3-87144-336-0}}

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Beweisarchiv: Mengenlehre}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Mathematischer Grundbegriff]]

Bijektive Funktion - Versionsgeschichte

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