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2025-04-04T14:43:26Z

Gleichungen mit Absolutbetrag

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[[Datei:Absolute Value.svg|gerahmt|Verlauf der Betragsfunktion auf [[Reelle Zahl|<math>\R</math>]]]]

<span style="white-space:nowrap">In der [[Mathematik]] ordnet die '''Betragsfunktion'''</span> einer [[Reelle Zahl|reellen]] oder [[Komplexe Zahl|komplexen Zahl]] ihren Abstand zur [[Null]] zu. Dieser sogenannte '''absolute Betrag, Absolutbetrag, Absolutwert''' oder auch schlicht '''Betrag''' ist immer eine nichtnegative reelle Zahl. Der Betrag einer Zahl <math>x</math> wird meist mit <math>| x |</math>, seltener mit <math>\operatorname{abs}(x)</math>, bezeichnet.

== Definition ==
=== Reelle Betragsfunktion ===
Der Betrag einer reellen Zahl <math>x</math> ist definiert als<ref>{{Literatur |Autor=Tilo Arens et al. |Titel=Mathematik |Auflage=5. |Verlag=Springer Spektrum |Datum=2024 |ISBN=978-3-662-64388-4 |Seiten=35}}</ref>
: <math> |x| =
\begin{cases}
\ \quad \, x &\mathrm{\;\;\text{falls}\;\;} x \ge 0, \\
\ -x & \mathrm{\;\;\text{falls}\;\;} x < 0. \\
\end{cases}
</math>
Man erhält den Betrag einer reellen Zahl durch Weglassen des [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichens]].

=== Komplexe Betragsfunktion ===
Der Betrag einer komplexen Zahl <math>z = x + \mathrm{i}y</math> (mit reellen Zahlen <math>x</math> und <math>y</math>) ist definiert als<ref>{{Literatur |Autor=Tilo Arens et al. |Titel=Mathematik |Auflage=5. |Verlag=Springer Spektrum |Datum=2023 |ISBN=978-3-662-64388-4 |Seiten=152}}</ref>
: <math>|z| = \sqrt{z \cdot \bar z} = \sqrt{(x + \mathrm{i}y) \cdot (x - \mathrm{i}y)} = \sqrt{x^2 + y^2}</math>,
wobei <math>\bar z := x - \mathrm{i}y</math> die [[Komplexe Konjugation|komplex Konjugierte]] von <math>z</math> bezeichnet.

Ist <math>z</math> reell (d. h. <math>y=\mathrm{Im}(z)=0</math>, also <math>z=x=\mathrm{Re}(z)</math>), so geht diese Definition in
: <math>|x| = \sqrt{x^2}</math>
über, was mit der Definition des Betrages einer ''reellen'' Zahl <math>x</math> übereinstimmt.

Veranschaulicht man die komplexen Zahlen als Punkte der [[Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]], so entspricht diese Definition nach dem [[Satz des Pythagoras]] ebenfalls dem Abstand des zur Zahl <math>z</math> gehörenden Punktes vom sogenannten [[Koordinatenursprung|Nullpunkt]].

== Beispiele ==
Folgende Zahlenbeispiele zeigen die Funktionsweise der Betragsfunktion.

: <math>|7| = 7 </math>
: <math>|{-8}| = -(-8) = 8 </math>
: <math>|3 + 4\mathrm{i}| = \sqrt{(3 + 4\mathrm{i}) \cdot (3 - 4\mathrm{i})} = \sqrt{3^2 - (4\mathrm{i})^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5</math>

=== Gleichungen mit Absolutbetrag ===
Die Anzahl der reellen Lösungen der Gleichung <math>|x|=b</math> hängt von der Zahl <math>b</math> ab: Für <math>b>0</math> hat sie die beiden Lösungen <math>x_1=b</math> und <math>x_2 = -b</math>. Für <math>b = 0</math> hat sie die einzige Lösung <math>x=0</math> und für <math>b < 0</math> hat sie keine Lösung.

In einem weiteren Beispiel werden alle Zahlen <math>x\in\R</math> gesucht, welche die Gleichung <math>|x+3| = 5</math> erfüllen.

Man rechnet wie folgt:
:: <math>|x+3| = 5</math>
: <math>\Leftrightarrow x+3 = 5 \text{ oder } x+3 = -5</math>
: <math>\Leftrightarrow x = 5-3 \text{ oder } x = -5-3</math>
: <math>\Leftrightarrow x = 2 \text{ oder } x = -8</math>

Die Gleichung besitzt also genau zwei Lösungen, nämlich 2 und −8.

=== Ungleichungen mit Absolutbetrag ===
Für Ungleichungen können die folgenden Äquivalenzen verwendet werden:

: <math>|a| \leq b \Leftrightarrow -b \leq a \leq b</math>
: <math>|a| \geq b \Leftrightarrow a \leq -b \text{ oder } b \leq a</math>

Gesucht seien beispielsweise alle Zahlen <math>x\in\R</math> mit der Eigenschaft <math>|x-3| \leq 9</math>.

Dann rechnet man:
:: <math>|x-3| \leq 9</math>
: <math>\Leftrightarrow -9 \leq x - 3 \leq 9</math>
: <math>\Leftrightarrow -9 + 3 \leq x \leq 9 + 3</math>
: <math>\Leftrightarrow -6 \leq x \leq 12</math>

Als Lösung erhält man also alle <math>x</math> aus dem [[Intervall (Mathematik)|Intervall]] <math>[-6,12]</math>.

Allgemein gilt für reelle Zahlen <math>x</math>, <math>m</math> und <math>r</math>:
: <math>|x-m| \leq r \iff x \in [m-r, m+r]</math>.

== {{Anker|Betragsnorm|Betragsmetrik}}Betragsnorm und Betragsmetrik ==
Die Betragsfunktion erfüllt die drei Normaxiome [[Definitheit]], [[Homogene Funktion|absolute Homogenität]] und [[Additivität#Sub- und Superadditivität|Subadditivität]] und ist damit eine [[Norm (Mathematik)|Norm]], genannt '''Betragsnorm''', auf dem [[Vektorraum]] der reellen oder komplexen Zahlen. Die Definitheit folgt daraus, dass die einzige [[Nullstelle]] der Wurzelfunktion im Nullpunkt liegt, womit
: <math>| z | = 0 \; \Leftrightarrow \; \sqrt{z \bar{z}} = 0 \; \Rightarrow \; z \bar{z} = 0 \; \Leftrightarrow \; z = 0</math>
gilt. Die Homogenität folgt für komplexe <math>w, z</math> aus
: <math>| w \cdot z |^2 = (w \cdot z) \overline{(w \cdot z)} = (w \cdot z) (\bar{w} \cdot \bar{z}) = (w \cdot \bar{w}) (z \cdot \bar{z}) = | w |^2 \cdot | z |^2</math>
und die Dreiecksungleichung aus
: <math>\begin{align}| w + z |^2 & = (w + z) \overline{(w + z)} = (w + z) (\bar{w} + \bar{z}) = w \bar{w} + w \bar{z} + z \bar{w} + z\bar{z} = \\ & = | w |^2 + | z |^2 + w \bar{z} + \overline{w \bar{z}} = | w |^2 + | z |^2 + 2 \operatorname{Re}(w\bar{z}) \\ & \leq | w |^2 + | z |^2 + 2 \, |w\bar{z}| = \\ & = | w |^2 + | z |^2 + 2 \, |w| \, |z| = (|w| + |z|)^2,\end{align}</math>
wobei sich die beiden gesuchten Eigenschaften jeweils durch Ziehen der (positiven) Wurzel auf beiden Seiten ergeben. Hierbei wurde genutzt, dass die Konjugierte der Summe bzw. des Produkts zweier komplexer Zahlen die Summe bzw. das Produkt der jeweils konjugierten Zahlen ist. Weiterhin wurde verwendet, dass die zweimalige Konjugation wieder die Ausgangszahl ergibt und dass der Betrag einer komplexen Zahl immer mindestens so groß wie ihr Realteil ist. Im reellen Fall folgen die drei Normeigenschaften analog durch Weglassen der Konjugation.

Die Betragsnorm ist vom [[Standardskalarprodukt]] zweier reeller bzw. komplexer Zahlen <math>x</math> und <math>y</math> [[Norm (Mathematik)#Induzierte Normen|induziert]]. Die Betragsnorm selbst induziert wiederum eine [[Metrischer Raum|Metrik]] (Abstandsfunktion), die '''Betragsmetrik'''
: <math>d(x,y) := | x-y |</math>,
indem als Abstand der Zahlen der Betrag ihrer Differenz genommen wird.

== Analytische Eigenschaften ==
In diesem Abschnitt werden Eigenschaften der Betragsfunktion angeführt, die insbesondere im mathematischen Bereich der [[Analysis]] von Interesse sind.

=== Nullstelle ===
Die einzige Nullstelle der beiden Betragsfunktionen ist 0, das heißt <math>|z|=0</math> gilt genau dann, wenn <math>z=0</math> gilt. Dies ist somit eine andere [[Terminologie]] der zuvor erwähnten Definitheit.

=== Verhältnis zur Vorzeichenfunktion ===
Für alle <math>z \in \mathbb{C}</math> gilt <math>z = |z| \cdot \sgn(z)</math>, wobei <math>\sgn</math> die [[Vorzeichenfunktion]] bezeichnet. Da die reelle nur die [[Einschränkung]] der komplexen Betragsfunktion auf <math>\R</math> ist, gilt die Identität auch für die reelle Betragsfunktion. Die Ableitung der auf <math>\R\setminus\{0\}</math> eingeschränkten Betragsfunktion ist die auf <math>\R\setminus\{0\}</math> eingeschränkte Vorzeichenfunktion.

=== Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit ===
Die reelle Betragsfunktion <math>|\cdot| \colon \R\to \R_0^+</math> und die komplexe <math>|\cdot| \colon \Complex \to \R_0^+</math> sind auf ihrem ganzen [[Definitionsbereich]] [[Stetige Funktion|stetig]]. Aus der Subadditivität der Betragsfunktion beziehungsweise aus der [[Umgekehrte Dreiecksungleichung|(umgekehrten) Dreiecksungleichung]] folgt, dass die beiden Betragsfunktionen sogar [[Lipschitz-stetig]] sind mit Lipschitz-Konstante <math>L = 1</math>:
: <math>\bigl||z|-|w|\bigr| \leq |z-w|</math>.

Die reelle Betragsfunktion ist an der Stelle <math>0</math> nicht [[Differenzierbare Funktion|differenzierbar]] und somit auf ihrem Definitionsbereich <math>\R</math> keine differenzierbare Funktion. Sie ist jedoch [[fast überall]] differenzierbar, was auch aus dem [[Satz von Rademacher]] folgt. Für <math>x \neq 0</math> ist die Ableitung der reellen Betragsfunktion die Vorzeichenfunktion <math>\sgn</math>. Als stetige Funktion ist die reelle Betragsfunktion über beschränkte Intervalle [[Integralrechnung|integrierbar]]; eine [[Stammfunktion]] ist <math>x \mapsto \tfrac{1}{2} x^2 \sgn(x)</math>.

Die komplexe Betragsfunktion <math>|\cdot| \colon \Complex \to \R_0^+</math> ist nirgends [[Holomorphe Funktion|komplex differenzierbar]], denn die [[Cauchy-Riemannsche partielle Differentialgleichungen|Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]] sind nicht erfüllt.

=== Archimedischer Betrag ===
Beide Betragsfunktionen, die reelle und die komplexe, werden ''[[Archimedisches Axiom|archimedisch]]'' genannt, weil es eine ganze Zahl <math>n</math> gibt mit <math>|n|>1</math>. Daraus folgt aber auch, dass für alle ganzen Zahlen <math>m>1</math> ebenfalls <math>|m|>1</math> ist.<ref>{{Literatur |Autor=[[Bartel Leendert van der Waerden|van der Waerden]] |Titel=[[Algebra]] |Band=2. Teil |Verlag=Springer-Verlag |Datum=1967 |Kapitel=Bewertete Körper |Seiten=203, 212}}</ref>

== Verallgemeinerungen ==
{{Belege fehlen}}
=== Betragsfunktion für Körper ===
==== Definition ====
Verallgemeinert spricht man von einem ''Betrag'', wenn eine Funktion <math>\varphi</math> von einem [[Integritätsbereich]] <math>D</math> in die reellen Zahlen <math>\R</math> folgende Bedingungen erfüllt:

{|
|-
|style="width:1.3em"| ||style="width: 250px"| <math>\varphi(x) \geq 0</math>
|style="width: 50px" | (0)
| Nicht-Negativität
|-
| || <math>\varphi(x) = 0 \iff x = 0</math>
| (1)
| [[Definitheit]]
|-
|colspan="3"| || (0) und (1) zusammen nennt man positive Definitheit
|-
| || <math>\varphi(x \cdot y) = \varphi(x) \cdot \varphi(y)</math>
| (2)
| Multiplikativität (kann auch als [[Homogene Funktion|absolute Homogenität]] interpretiert werden)
|-
| || <math>\varphi(x + y) \leq \varphi(x) + \varphi(y)</math>
| (3)
| [[Additivität#Subadditivität|Subadditivität]], [[Dreiecksungleichung]]
|}

Die [[Einschränkung (Mathematik)|Fortsetzung]] auf den [[Quotientenkörper]] <math>K := \operatorname{Quot}(D)</math> von <math>D</math> ist wegen der Multiplikativität eindeutig.

;Bemerkung
: Eine Betragsfunktion <math>\varphi</math> für einen Körper ist eine [[Bewertung (Algebra)|Bewertung]] <math>\varphi</math> dieses Körpers.

{{Anker|nichtarchimedisch}}
Ist <math>\varphi(n) \leq 1</math> für alle [[natürliche Zahl|natürlichen]] <math>n:=\underbrace {1 + \dotsb + 1}_{n \text{-mal}}</math>, dann nennt man den Betrag (oder die Bewertung) ''nichtarchimedisch.''

{{Anker|trivial}}
Der Betrag <math>\varphi(x) = 1</math> für alle <math>x\neq 0</math> (ist nichtarchimedisch und) wird ''trivial'' genannt.

Bei nichtarchimedischen Beträgen (oder Bewertungen) gilt
{|
|-
|style="width:1.3em"| ||style="width: 250px" | <math>\varphi(x + y)\leq\max(\varphi(x),\varphi(y))</math>
|style="width: 50px" | (3’)
| die verschärfte Dreiecksungleichung.
|}

Sie macht den Betrag zu einem ''[[Ultrametrik|ultrametrischen]].'' Umgekehrt ist jeder ultrametrische Betrag nichtarchimedisch.

==== Betrag und Charakteristik ====
* Integritätsbereiche mit einem archimedischen Betrag haben die [[Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]] 0.
* Integritätsbereiche mit einer von 0 verschiedenen Charakteristik (haben Primzahlcharakteristik und) nehmen nur nichtarchimedische Beträge an.
* Endliche Integritätsbereiche sind [[Endlicher Körper|endliche Körper]] mit Primzahlcharakteristik und nehmen nur den trivialen Betrag an.
* Der Körper der rationalen Zahlen <math>\Q</math> als [[Primkörper]] der Charakteristik 0 und seine endlichen [[Körpererweiterung|Erweiterungen]] nehmen sowohl archimedische als auch nichtarchimedische Beträge an.

==== Vervollständigung ====
Der Körper <math>K</math> lässt sich für jede Betragsfunktion, genauer: für die von jeder Betragsfunktion (oder Bewertung) induzierte Metrik, [[Vervollständigung (metrischer Raum)|vervollständigen]]. Die Vervollständigung von <math>K</math> wird häufig mit <math>\hat K</math> bezeichnet.

Archimedische Vervollständigungen der rationalen Zahlen <math>\Q</math> sind <math>\hat {\Q}=\R</math> und <math>\widehat {\Q(\mathrm{i})}=\hat {\Q}(\mathrm{i})=\Complex</math>, nichtarchimedische sind <math>\hat {\Q}=\Q_p</math> (die [[P-adische Zahl|p-adischen Zahlen]]) für Primzahlen <math>p</math>.

Beim trivialen Betrag entsteht nichts Neues.

==== Äquivalenz von Beträgen ====
Sind <math>\varphi</math> und <math>\psi</math> Beträge (oder Bewertungen) eines Körpers <math>K</math>, dann sind die folgenden drei Behauptungen gleichwertig:
# Jede Folge <math>\{x_{\nu}\}</math>, die unter <math>\varphi</math> eine [[Nullfolge]] ist, d. h. <math>\lim\limits_{\nu \to \infty} \varphi(x_{\nu}) = 0</math>, ist auch unter <math>\psi</math> eine Nullfolge – und umgekehrt.
# Aus <math>\varphi(x)<1</math> folgt <math>\psi(x)<1</math>.
# <math>\psi</math> ist eine Potenz von <math>\varphi</math>, d. h. <math>\psi(x)=\varphi(x)^{\epsilon}</math> für alle <math>x</math> mit einem festen <math>\epsilon>0</math>.

==== Die Betragsfunktionen der rationalen Zahlen ====
Nach dem [[Satz von Ostrowski]] repräsentieren die in diesem Artikel erwähnten Beträge, der eine archimedische (und euklidische) und die unendlich vielen je einer [[Primzahl]] zuzuordnenden nichtarchimedischen, alle Klassen von Beträgen (oder Bewertungen) der rationalen Zahlen <math>\Q</math>.

Für diese Beträge gilt der [[p-adische Zahl#Approximationssatz|Approximationssatz]].

=== Norm ===
{{Hauptartikel|Norm (Mathematik)}}

Die Betragsfunktion auf den reellen bzw. komplexen Zahlen kann durch die Eigenschaften Definitheit, absolute Homogenität und Subadditivität auf beliebige Vektorräume verallgemeinert werden. Jede Funktion mit diesen Eigenschaften heißt ''Norm''. Im Allgemeinen lassen sich auf einem Vektorraum verschiedene Normen definieren.

=== Pseudobetrag ===
{{Hauptartikel|Pseudobetrag}}

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Mathe für Nicht-Freaks: Betrag, Maximum und Minimum#Betrag|Mathe für Nicht-Freaks: Betrag}}
* {{MathWorld |id=AbsoluteValue |title=Absolute Value}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Lineare Algebra]]
[[Kategorie:Mathematische Funktion]]
[[Kategorie:Arithmetik]]

Betragsfunktion - Versionsgeschichte

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