imported>Dioskorides: Eigenname, "besselsch" ist kein allgemein gebräuchliches Adjektiv

2024-12-19T21:21:45Z

Eigenname, "besselsch" ist kein allgemein gebräuchliches Adjektiv

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Die '''Besselsche Ungleichung''' beschreibt in der [[Funktionalanalysis]] den Sachverhalt, dass ein [[Vektor]] eines [[Hilbertraum]]s mindestens so „lang“ wie seine [[Orthogonalprojektion]] auf einen beliebigen [[Untervektorraum]] ist. Sie ist nach dem deutschen Mathematiker [[Friedrich Wilhelm Bessel]] benannt, der sie im Jahr 1828 für den Spezialfall der [[Fourierreihe]] bewies.

== Aussage ==
Ist <math>H</math> ein Hilbertraum und <math>S \subset H</math> ein [[Orthonormalsystem]], so gilt für alle <math>x\in H</math> die Ungleichung

:<math>\sum_{e \in S} \vert \langle x, e\rangle \vert^2 \leq \Vert x \Vert^2 ,</math>

wobei <math>\langle \cdot,\cdot \rangle</math> das [[Skalarprodukt]] auf dem Hilbertraum darstellt.

Ist das Orthonormalsystem sogar eine [[Orthonormalbasis]], so gilt stets Gleichheit. Die Relation heißt dann [[parsevalsche Gleichung]] und stellt eine Verallgemeinerung des [[Satz des Pythagoras|Satzes des Pythagoras]] für [[Prähilbertraum|Prähilberträume]] dar.

Die Besselsche Ungleichung folgt außerdem direkt aus der Identität

<math>\begin{aligned}
0 \leq\left\|x-\sum \limits_{k=1}^{n}\left\langle x, e_{k}\right\rangle e_{k}\right\|^{2} & =\|x\|^{2}-2 \sum \limits_{k=1}^{n} \operatorname{Re}\left\langle x,\left\langle x, e_{k}\right\rangle e_{k}\right\rangle+\sum \limits_{k=1}^{n}\left|\left\langle x, e_{k}\right\rangle\right|^{2} \\
& =\|x\|^{2}-2 \sum \limits_{k=1}^{n}\left|\left\langle x, e_{k}\right\rangle\right|^{2}+\sum \limits_{k=1}^{n}\left|\left\langle x, e_{k}\right\rangle\right|^{2} \\
& =\|x\|^{2}-\sum \limits_{k=1}^{n}\left|\left\langle x, e_{k}\right\rangle\right|^{2},
\end{aligned}</math>

was für jedes natürliche <math>n</math> gilt.

== Literatur ==
* {{BibISBN|9783540725336}}

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Ungleichung]]
[[Kategorie:Friedrich Wilhelm Bessel als Namensgeber]]

Besselsche Ungleichung - Versionsgeschichte

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