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2025-06-13T09:40:09Z

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[[Datei:Isosceles right triangle with legs length 1.svg|mini|alt=Die Quadratwurzel von 2 ist eine algebraische Zahl, und zwar die Länge der [[Hypotenuse]] eines [[Gleichschenkliges Dreieck|gleichschenklig-]][[Rechtwinkliges Dreieck|rechtwinkligen Dreiecks]] mit Katheten der Länge 1. |Die Quadratwurzel aus 2 ist eine algebraische Zahl, denn sie ist Lösung der Gleichung <math>x^2-2=0</math>]]
In der [[Mathematik]] ist eine '''algebraische Zahl''' <math>x</math> eine reelle oder komplexe Zahl, die [[Nullstelle]] eines [[Polynom]]s vom Grad größer als Null (nicht-konstantes Polynom)
:<math>f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dotsb + a_1 x + a_0</math>
mit [[Rationale Zahl|rationalen]] Koeffizienten <math>a_k \in \Q</math> für <math>k=0, \dotsc, n</math> und <math>a_n \neq 0</math> ist, also eine Lösung der Gleichung <math>f(x) = 0</math>.<ref>{{Internetquelle |url=https://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Algebraic_number&oldid=44744 |titel=Algebraic number |werk=EncyclopediaOfMath.org |hrsg=Encyclopedia of Mathematics |datum=2020-02-14 |abruf=2023-05-28}}</ref>

Die so definierten algebraischen Zahlen bilden eine echte Teilmenge <math>\mathbb A</math> der [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] <math>\Complex</math>. Offenbar ist jede [[rationale Zahl]] <math>q</math> algebraisch, da sie die Gleichung <math>x - q = 0</math> löst. Es gilt also <math>\Q \subsetneq \mathbb A \subsetneq \Complex</math>.

Ist eine [[Reelle Zahlen|reelle]] (oder allgemeiner komplexe) Zahl nicht algebraisch, so heißt sie [[Transzendente Zahl|transzendent]].

Die ebenfalls gebräuchliche Definition der algebraischen Zahlen als Nullstellen von Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten ist äquivalent zur oben angegebenen:<ref name="Scheid-Schwarz">{{Literatur |Autor=[[Harald Scheid]], Wolfgang Schwarz |Titel=Elemente der Arithmetik und der Algebra |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin |Datum=2016 |Auflage=6 |ISBN=978-3-662-48773-0 |Fundstelle=S. 168}}</ref> Jedes Polynom mit rationalen Koeffizienten kann durch Multiplikation mit dem [[Hauptnenner]] der Koeffizienten in eines mit ganzzahligen Koeffizienten umgewandelt werden. Das entstehende Polynom hat dieselben Nullstellen wie das Ausgangspolynom.

Polynome mit rationalen Koeffizienten kann man ''normieren,'' indem man alle Koeffizienten durch den Koeffizienten <math>a_n</math> dividiert. Nullstellen von normierten Polynomen, deren Koeffizienten ''ganz''zahlig sind, nennt man ''ganzalgebraische Zahlen'' oder auch ''ganze algebraische Zahlen.'' Die ganzalgebraischen Zahlen bilden einen [[Ring (Algebra)#Unter- und Oberstrukturen|Unterring]] der algebraischen Zahlen, der aber nicht [[Faktorieller Ring|faktoriell]] ist.<ref name=":0">{{Literatur |Autor=Alexander Schmidt |Titel=Einführung in die algebraische Zahlentheorie |Verlag=Springer-Verlag |Datum=2007-03-11 |ISBN=978-3-540-45974-3 |Seiten=71 |Online={{Google Buch |BuchID=YAIjBAAAQBAJ |Seite=71}} |Abruf=2023-05-27}}</ref> Zum allgemeinen Begriff der Ganzheit siehe [[Ganzheit (kommutative Algebra)]].

Man kann den Begriff der algebraischen Zahl zu dem des [[Algebraisches Element|algebraischen Elements]] erweitern, indem man die Koeffizienten des Polynoms statt aus <math>\mathbb Q</math> aus einem beliebigen [[Körper (Algebra)|Körper]] entnimmt.

== Grad und Minimalpolynom einer algebraischen Zahl ==

Für viele Untersuchungen algebraischer Zahlen sind der im Folgenden definierte Grad und das [[Minimalpolynom (Körpertheorie)|Minimalpolynom]] einer algebraischen Zahl wichtig.

Ist <math>x</math> eine algebraische Zahl, die eine algebraische Gleichung
:<math>f(x) = x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \dotsb + a_{1} x + a_{0} = 0</math>
mit <math>n \geq 1</math>, <math>a_k \in \mathbb{Q}</math> erfüllt, aber im Fall <math>n \geq 2</math> keine derartige Gleichung geringeren Grades, dann nennt man <math>n</math> den ''Grad'' von <math>x</math>.<ref name=":1">{{Literatur |Titel=Algebraische Zahl |Hrsg=Guido Walz |Sammelwerk=Lexikon der Mathematik |Auflage=1 |Verlag=Spektrum Akademischer Verlag |Ort=Mannheim/Heidelberg |Datum=2000 |ISBN=3-8274-0439-8}}</ref> Damit sind alle rationalen Zahlen vom Grad 1. Alle irrationalen Quadratwurzeln rationaler Zahlen sind vom Grad 2.

Die Zahl <math>n</math> ist gleichzeitig der Grad des [[Polynom]]s <math>f</math>, des sogenannten ''Minimalpolynoms'' von <math>x</math>.<ref name=":1" />

== Beispiele ==

* Beispielsweise ist <math>\sqrt{2}</math> eine ganze algebraische Zahl, denn sie ist eine Lösung der Gleichung <math>x^2 - 2 = 0</math>. Ebenso ist die [[imaginäre Einheit]] <math>i</math> als Lösung von <math>x^2 + 1 = 0</math> ganzalgebraisch.
* <math>\sqrt{2} + \sqrt{3}</math> ist eine ganze algebraische Zahl vom Grad 4. Siehe dazu [[Algebraisches Element#Beispiel|Beispiel für algebraisches Element]].
* <math>\tfrac 12</math> und <math>\tfrac 1\sqrt{2}</math> sind Beispiele für algebraische Zahlen 1. bzw. 2. Grades, die ''nicht'' ganzalgebraisch sind.
* Gegen Ende des 19. Jahrhunderts wurde bewiesen, dass die [[Kreiszahl]] <math>\pi</math> und die [[Eulersche Zahl]] <math>e</math> nicht algebraisch sind.<ref name=":0" /> Von anderen Zahlen, wie zum Beispiel <math>\pi + e</math>, weiß man bis heute nicht, ob sie algebraisch oder transzendent sind. Siehe dazu den Artikel [[Transzendente Zahl]].

== Eigenschaften ==

Die Menge der algebraischen Zahlen ist [[Abzählbare Menge|abzählbar]]<ref name="Scheid-Schwarz" /> und bildet einen [[Körper (Algebra)|Körper]].

Der Körper der algebraischen Zahlen ist [[algebraisch abgeschlossen]], d. h., jedes Polynom mit algebraischen Koeffizienten besitzt nur algebraische Nullstellen. Dieser Körper ist ein minimaler algebraisch abgeschlossener Oberkörper von <math>\Q</math> und ist damit dessen [[algebraischer Abschluss]]. Man schreibt ihn oft als <math>\overline{\Q}</math> (für „algebraischer Abschluss von <math>\Q</math>“; verwechselbar mit anderen Abschlussbegriffen) oder als <math>\mathbb A</math> (für „'''A'''lgebraische Zahlen“).

Oberhalb des Körpers der rationalen Zahlen und unterhalb des Körpers der algebraischen Zahlen befinden sich unendlich viele Zwischenkörper, etwa die Menge aller Zahlen der Form <math>a + b \cdot q</math>, wobei <math>a</math> und <math>b</math> rationale Zahlen sind sowie <math>q</math> irrational und Quadratwurzel einer rationalen Zahl <math>r</math> ist. Auch der Körper der mit Zirkel und Lineal aus <math>\{0,1\}</math> konstruierbaren Punkte der komplexen Zahlenebene ist ein solcher algebraischer Zwischenkörper.
{{Siehe auch|Euklidischer Körper}}

Im Rahmen der [[Galoistheorie]] werden diese Zwischenkörper untersucht, um so tiefe Einblicke über die Lösbarkeit oder Nichtlösbarkeit von Gleichungen zu erhalten. Ein Resultat der Galoistheorie ist, dass zwar jede komplexe Zahl, die man aus rationalen Zahlen durch Verwendung der [[Grundrechenart]]en ([[Addition]], [[Subtraktion]], [[Multiplikation]] und [[Division (Mathematik)|Division]]) sowie durch [[Wurzelziehen|Ziehen ''n''-ter Wurzeln]] (''n'' eine natürliche Zahl) erhalten kann (man nennt solche Zahlen „durch Radikale darstellbar“), algebraisch ist, umgekehrt aber algebraische Zahlen existieren, die man nicht in dieser Weise darstellen kann; alle diese Zahlen sind Nullstellen von Polynomen mindestens 5. Grades.

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Alan Baker (Mathematiker)|Alan Baker]]
|Titel=Transcendental Number Theory
|Verlag=[[Cambridge University Press]]
|Ort=London
|Datum=1975
|ISBN=0-521-20461-5
|Online=[https://zbmath.org/?format=complete&q=an:0297.10013 Eintrag im Zentralblatt]}}
* {{Literatur
|Autor=[[Peter Bundschuh]]
|Titel=Einführung in die Zahlentheorie
|Reihe=Springer-Lehrbuch
|Auflage=2.
|Verlag=Springer Verlag
|Ort=Berlin, Heidelberg, New York
|Datum=1992
|ISBN=3-540-55178-6
|Online=[https://zbmath.org/0746.11001 Eintrag im Zentralblatt]}}
* {{Literatur
| Autor=[[G. H. Hardy]], [[E. M. Wright]]
|Titel=An Introduction to the Theory of Numbers
|TitelErg=Revised by [[Roger Heath-Brown|D. R. Heath-Brown]] and [[Joseph H. Silverman|J. H. Silverman]], with a foreword by [[Andrew Wiles]]. 1st edition 1938
|Auflage=6.
|Verlag=Oxford University Press
|Ort=Oxford
|Datum=2008
|ISBN=978-0-19-921985-8}}

== Weblinks ==
* [[Barry Mazur]]: [https://bpb-us-e1.wpmucdn.com/sites.harvard.edu/dist/a/189/files/2023/01/Algebraic-Numbers.pdf Algebraic Numbers.] (PDF; 272 kB).
* {{MathWorld|title=Algebraic number|urlname=AlgebraicNumber}}

== Einzelnachweise ==

<references />

[[Kategorie:Zahl]]
[[Kategorie:Algebraische Zahlentheorie]]
[[Kategorie:Körpertheorie]]

Algebraische Zahl - Versionsgeschichte

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