Differenzmaschine

2025-05-20T10:04:26Z

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{{Begriffsklärungshinweis|Zum gleichnamigen Science-Fiction-Roman siehe [[Die Differenzmaschine]]}}
[[Datei:Babbage difference engine drawing.gif|mini|Differenzmaschine No. 1 von Charles Babbage]]
Eine '''Differenzmaschine''' ({{enS|difference engine}}) ist ein Rechenwerk, mit dem [[polynom]]iale [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] ausgewertet werden können. Die ersten Differenzmaschinen waren rein [[Mechanik|mechanische]] Umsetzungen eines ansonsten von Menschen durchgeführten [[Algorithmus]],<ref name="Campbell-Kelly_1996">{{Literatur |Autor=Martin Campbell-Kelly, William Aspray |Titel=Computer. A History of the Information Machine |Reihe=The Sloan Technology Series |Auflage=1. |Verlag=Basic Books |Ort=New York |Datum=1996 |ISBN=0-465-02990-6}}</ref>{{rp|12f.}} der hauptsächlich in der Berechnung und Erweiterung bestehender Tabellenwerke Anwendung fand. Da jede [[Differenzierbarkeit|stetig differenzierbare]] Funktion durch ein Polynom angenähert werden kann ([[Approximation]]), sind Differenzmaschinen vielseitig einsetzbar, sowohl zur [[Interpolation (Mathematik)|Interpolation]] zwischen Tabelleneinträgen, als auch zur Neuberechnung von Funktionswerten.<ref name="Markoff_1896">{{Literatur |Autor=[[Andrei Andrejewitsch Markow (Mathematiker, 1856)|A. A. Markoff]] |Titel=Differenzenrechnung |Verlag=B. G. Teubner |Ort=Leipzig |Datum=1896 |Kapitel=4 |Originalsprache=ru |Übersetzer=Theophil Friesendorff, Erich Prümm |Online={{archive.org|differenzenrech00markgoog|Blatt=}}}}</ref> Trotz dieser allgemein anerkannten Nützlichkeit vergingen fast 80 Jahre von der ersten Maschine bis zum systematischen Einsatz bei der Tabellenerstellung.

Erste Gedanken zu einer solchen Maschine fanden sich bereits im ausgehenden 18. Jahrhundert. Unabhängig davon wurde die Idee der Mechanisierung der Erstellung von Tabellenwerken 1812 von [[Charles Babbage]] aufgegriffen und 1820–1822 erstmals umgesetzt. Die Versuche von Babbage, eine nutzbare Maschine zu bauen, scheiterten. Die Veröffentlichungen über seine Maschine, insbesondere die von [[Dionysius Lardner]],<ref name="Lardner_1834">{{Literatur |Autor=Dionysius Lardner |Titel=Babbage’s calculating engine |Sammelwerk=The Edinburgh Review |Band=59 |Datum=1834-07 |Kommentar=Auch verfügbar in ''Campbell-Kelly (1989).'' S. 118–186 und als deutsche Übersetzung in ''Dotzler (1996)'', Abschnitt 12.}}</ref> erwiesen sich jedoch als sehr einflussreich und führten zu zahlreichen Maschinen ([[Georg Scheutz|Scheutz]],<ref name="Scheutz_1857">{{Literatur |Autor=George Scheutz, Edward Scheutz |Titel=Specimen Tables |TitelErg=Calculated, Stereomoulded, and Printed by the Swedish Calculating Machine |Verlag=Longman, Brown, Green, Longmans, and Roberts |Ort=London |Datum=2010 |ISBN=978-1-167-03892-1 |Kommentar=Reprint |JahrEA=1857 |Online={{Google Buch |BuchID=s5w5AAAAcAAJ}}}}</ref>{{rp|viii-ix}} [[Martin Wiberg|Wiberg]], [[Alfred Deacon|Deacon]]<ref name="Scheutz_1857" />{{rp|ix}}), die jeweils kurzzeitig eingesetzt wurden.
Die 1910 von [[Julius Bauschinger]] und ''Johann Theodor Peters'' herausgegebenen achtstelligen [[Logarithmentafel]]n<ref name="Bauschinger_1910_1">{{Literatur |Autor=Julius Bauschinger, Jean Peters |Titel=Logarithmisch-Trigonometrische Tafeln mit acht Dezimalstellen |TitelErg=Die Logarithmen aller Zahlen von 1 bis 200000 und die Logarithmen der Trigonometrischen Funktionen für jede Sexagesimalsekunde des Quadranten |Band=1/2 |Auflage=1. |Verlag=Verlag von Wilhelm Engelmann |Ort=Leipzig |Datum=1910 |Kommentar=Mit Unterstützung der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaft in Berlin und der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaft in Wien (Treitlstiftung) |Online={{archive.org|logarithmischtri01bausuoft|Blatt=}}}}</ref><ref name="Bauschinger_1910_2">{{Literatur |Autor=Julius Bauschinger, Jean Peters |Titel=Logarithmisch-Trigonometrische Tafeln mit acht Dezimalstellen |TitelErg=Die Logarithmen aller Zahlen von 1 bis 200000 und die Logarithmen der Trigonometrischen Funktionen für jede Sexagesimalsekunde des Quadranten |Band=2/2 |Auflage=1. |Verlag=Verlag von Wilhelm Engelmann |Ort=Leipzig |Datum=1910 |Online={{archive.org|logarithmischtri02bausuoft|Blatt=}}}}</ref> waren das erste bedeutende, mit einer Differenzmaschine erstellte Tabellenwerk.<ref name="Comrie_1928">{{Literatur |Autor=Leslie John Comrie |Titel=On the Application of the Brunsviga-Dupla Calculating Machine to Double Summation with Finite Differences |Sammelwerk=Monthly Notices of the Royal Astronomical Society |Band=88 |Datum=1928-03 |Seiten=447–459, Tafeln 4 & 5 |bibcode=1928MNRAS..88..447C}}</ref>{{rp|451}} Die von [[Christel Hamann]] für die Erstellung des Tabellenwerkes konstruierte Differenzmaschine wurde gestohlen, und die Pläne galten bereits 1928 als untergegangen.<ref name="Comrie_1928" />{{rp|450–451}} Getragen von dem Erfolg dieser Maschine, wurden zahlreiche kommerzielle Rechenmaschinen so angepasst, dass sie auch als Differenzmaschinen nutzbar waren: 1912 entwickelte ''T. C. Hudson'' mit der [[Burroughs Corporation|Burroughs Adding Machine Company]] eine Maschine für zwei Differenzen. 1928 wurde die [[Brunsviga]]-Dupla vorgestellt, eine Rechenmaschine mit zwei Ergebnisregistern, die als Differenzmaschine genutzt werden konnte.<ref name="Comrie_1928" /> 1931 stellte [[Leslie John Comrie]] bei der Inspektion einer ''National Accounting Machine Class 3000''-Buchungsmaschine fest, dass diese auch als Differenzmaschine mit sechs Differenzen genutzt werden konnte.<ref name="Comrie_1933">{{Literatur |Autor=Leslie John Comrie |Titel=Modern Babbage Machines |TitelErg=A typescript of Comrie’s Modern Babbage Machines |Sammelwerk=Bulletin of the Office Machinery Users’ Association Limited |Datum=1933}}</ref><ref name="Campbell-Kelly_2003" />{{rp|137–138}}
Für die Berechnung seiner 20-stelligen Logarithmentafel baute ''Alexander John Thompson'' 1950 eine Differenzmaschine, indem er vier Rechenmaschinen auf einem Holzträger fixierte und mechanisch koppelte.<ref name="Campbell-Kelly_2003" />{{rp|136–137}}<ref name="Thompson_1952_1">{{Literatur |Autor=Alexander John Thompson |Titel=Logarithmetica britannica being a standard table of logarithms to twenty decimal places |TitelErg=Numbers 10,000 to 50,000 together with general introduction |Band=1/2 |Ort=Cambridge |Datum=1952}}</ref><ref name="Thompson_1952_2">{{Literatur |Autor=Alexander John Thompson |Titel=Logarithmetica britannica being a standard table of logarithms to twenty decimal places |TitelErg=Numbers 50,000 to 100,000 |Band=2/2 |Ort=Cambridge |Datum=1952}}</ref>

Mit dem Aufkommen der Computer verschwanden erst die Differenzmaschinen und später die Logarithmentafeln.

== Geschichte ==
=== Johann Helfrich von Müller ===
Nach Fertigstellung seiner Rechenmaschine<ref name="Weber_1980">{{Literatur |Autor=Otto Weber |Titel=Ein Computer des 18. Jahrhunderts |TitelErg=Die Rechenmaschine des Landbaumeisters Müller |Sammelwerk=Photorin |WerkErg=Mitteilungen der Lichtenberg-Gesellschaft |Nummer=3 |Datum=1980-12 |Seiten=13–23}}</ref> verfasste [[Johann Helfrich von Müller|Johann Helfrich Müller]] 1786 ein Benutzerhandbuch, in dessen Anhang er einen Ausblick für zukünftige Verbesserungen darstellte.<ref name="Klipstein_1786">{{Literatur |Autor=Johann Helfrich von Müller |Hrsg=Philipp Engel Klebstein |Titel=Beschreibung seiner neu erfundenen Rechenmaschine |TitelErg=Nach ihrer Gestalt, ihrem Gebrauch und Nutzen |Verlag=Varrentrapp Sohn und Wenner |Ort=Frankfurt |Datum=1786 |Kommentar=Staats- und Stadtbibliothek Augsburg, Signatur: H 1594. |OCLC=633555891}}</ref> Neben Andeutungen über die Nützlichkeit eines Druckwerks zur Dokumentation von Rechenergebnissen stellte er auch seine Gedanken über eine neuartige Maschine dar, die Zahlenreihen mittels der Methode der Differenzen berechnen können sollte.<ref name="Klipstein_1786" /><ref name="Bülow_1989">{{Literatur |Autor=Ralph Bülow |Titel=Ein Entwurf für eine Differenzenmaschine aus dem Jahre 1784 |Sammelwerk=Sudhoffs Archiv |Band=73 |Nummer=2 |Datum=1989 |Seiten=219–222}}</ref> Es gibt keinen Hinweis darauf, dass es sich bei der Beschreibung von Müller um mehr als ein Konzept handelte. Vielmehr ist die Beschreibung als Angebot zu sehen, bei entsprechender Finanzierung eine solche Maschine einschließlich eines Druckers zu konstruieren und zu fertigen.<ref name="Campbell-Kelly_2003">{{Literatur |Hrsg=Martin Campbell-Kelly, Mary Croarken, R. Flood, [[Eleanor Robson]] |Titel=The History of Mathematical Tables |TitelErg=From Sumer to Spreadsheets |Verlag=Oxford University Press |Ort=Oxford |Datum=2003 |ISBN=0-19-850841-7}}</ref>{{rp|124–126}}<ref name="Bülow_1989" /> Er stand deshalb unter anderem mit dem Göttinger Mathematiker [[Albrecht Ludwig Friedrich Meister]] im Briefkontakt. Die erste schriftliche Erwähnung der grundlegenden Prinzipien einer Differenzmaschine findet sich in einem Brief von Müller an Meister vom 10. September 1784. In der neueren Forschung wird hervorgehoben, dass der ''Gedanke'' an den Bau einer solchen Differenzmaschine von Meister ausgegangen sei: Die Ausführungen von Müller belegen, dass dieser von den Anwendungsmöglichkeiten einer solchen Maschine keine Vorstellung besaß.<ref name="Bülow_1989" />{{rp|222}}

=== Charles Babbage ===
==== Difference Engine No. 0 ====
Die erste funktionsfähige Differenzmaschine wurde von [[Charles Babbage]] zwischen 1820 und 1822 gebaut.<ref name="Babbage_1822">{{Literatur |Autor=Charles Babbage |Titel=A Note Respecting the Application of Machinery to the Calculation of Astronomical Tables |Sammelwerk=Memoirs of the Astronomical Society |Band=1 |Datum=1822 |Seiten=309 |Kommentar=Auch verfügbar in ''Campbell-Kelly'' (1989){{rp|3–4}}, sowie als deutsche Übersetzung in ''Bernhard Dotzler'' (1996){{rp|Aufsatz 7}}}}</ref> Babbage kannte zu diesem Zeitpunkt, nach heutiger Lehrmeinung, die Überlegungen von Johann Helfrich von Müller nicht,<ref name="Campbell-Kelly_2003" />{{rp|126–127}} diese wurden ihm erst später von seinem Freund [[John Herschel]] ins Englische übersetzt. Diese erste Differenzmaschine konnte mit zwei Differenzen bei einer Genauigkeit von sechs Stellen rechnen.<ref name="Campbell-Kelly_2003" />{{rp|127}} Babbage sah die Maschine als Teil-Modell einer noch zu bauenden, größeren Differenzmaschine an. Das Modell hatte die Funktion einer Machbarkeitsstudie, um finanzielle Unterstützung für eine größere Maschine zu erhalten. Das Modell wurde vielfach vorgeführt, seine Rechengeschwindigkeit wurde in einem Brief an den Präsidenten der [[Royal Society]], [[Humphry Davy|Sir Humphry Davy]], mit 44 Ergebnissen pro Minute angegeben.<ref name="Babbage_1823">{{Literatur |Autor=Charles Babbage |Titel=On the Applications of Machinery to the Purpose of Calculating and Printing Mathematical Tables |Sammelwerk=Parliamentary Papers |Band=15 |Datum=1823 |Seiten=9–14 |Kommentar=Ursprünglich Brief an Sir Humphry Davy, 1822. Auch verfügbar in ''Campbell-Kelly'' (1989){{rp|6–14}}, sowie als deutsche Übersetzung in ''Bernhard Dotzler'' (1996){{rp|Aufsatz 8}}}}</ref> Auch wenn Babbage die Fertigung der Maschine als verbesserungswürdig beschrieb,<ref name="Babbage_1823" /> so ist festzuhalten, dass die Maschine vor allem aufgrund ihrer konservativen Auslegung hervorragend funktionierte.<ref name="Taylor_1992">{{Literatur |Autor=Nicholas K. Taylor |Titel=Charles Babbage’s Mini-Computer |TitelErg=Difference Engine No. 0 |Sammelwerk=Bulletin |WerkErg=The Institute of Mathematics and its Applications |Band=28 |Nummer=6/7/8 (Juni/Juli/August) |Ort=Southend-on-Sea, Essex |Datum=1992 |Seiten=112–114}}</ref> Auch wenn es die einzige Rechenmaschine war, die Babbage zu Lebzeiten fertigstellte, so zeigt sie, dass er sehr wohl in der Lage war, die fertigungstechnischen Probleme und Ungenauigkeiten seiner Zeit durch ein entsprechendes Design zu kompensieren.<ref name="Taylor_1992" /> Die Maschine verfehlte ihre Wirkung nicht, ein Jahr nach ihrer Vorstellung wurden Babbage von der Regierung 1500 [[£]] für die Entwicklung und Herstellung einer Differenzmaschine zur Verfügung gestellt.<ref name="Campbell-Kelly_2003" />{{rp|127}}

In der Fachliteratur wird das Modell als ''Differenzmaschine No. 0'' bezeichnet.<ref name="Taylor_1992" /><ref name="Tee_1994">{{Literatur |Autor=Garry John Tee |Titel=More about Charles Babbage’s Difference Engine No. 0 |Sammelwerk=Bulletin |WerkErg=The Institute of Mathematics and its Applications |Band=30 |Nummer=9/10 (September/Oktober) |Ort=Southend-on-Sea, Essex |Datum=1994 |Seiten=134–137}}</ref> Eine detaillierte Beschreibung einschließlich Funktionszeichnungen von Maschinenteilen finden sich in einem Manuskript von Babbage, das dieser zur Veröffentlichung seinem Freund H. W. Buxton gab.<ref name="Babbage_1821">{{Literatur |Autor=Charles Babbage |Titel=The science of number reduced to mechanism |Datum=1821 |Kommentar=Zu Lebzeiten von Babbage unveröffentlicht. Abgedruckt in ''Campbell-Kelly'' (1989){{rp|15–32}}}}</ref> Das Modell, eine zeitgenössische Darstellung des Modells oder dessen Baupläne existieren heute nicht mehr. Es wird angenommen, dass Henry Prevost Babbage Teile der Differenzmaschine No. 0 für die Erstellung der Fragmente der Differenzmaschine No. 1 (siehe unten) nutzte.<ref name="Roegel_2009" />{{rp|74}}

==== Difference machine No. 1 ====
[[Datei:Babbages Difference Engine No 1, 1824-1832. (9660573845).jpg|mini|Von Charles Babbage 1832 erbauter Demonstrator der Differenzmaschine No. 1 ([[Science Museum]], London).]]
[[Datei:Gearwheel cut-outs for Babbages Difference Engine No 1, 1824-1832. (9660574123).jpg|mini|Von Charles Babbage als Funktionsmodell hergestellte Zahnräder aus Pappe (1831), (Science Museum, London).]]

Mit der gesicherten finanziellen Unterstützung durch die Regierung beauftragte Babbage den Präzisions-Mechaniker [[Joseph Clement]], ihn beim Bau der Differenzmaschine No. 1 zu unterstützen. Clement war zu dem Zeitpunkt der beste Metallbearbeiter Londons. Sein Perfektionismus erstreckte sich sowohl auf die Konstruktion, die Zeichnungen als auch die handwerkliche Ausführung. Mit Babbage und Clement trafen zwei Perfektionisten aus unterschiedlichen Gebieten aufeinander, die sich jedoch darin einig waren, dass die Maschine eher von hervorragender Qualität sein denn schnell fertiggestellt werden sollte.<ref name="Campbell-Kelly_2003" />{{rp|127}} Babbages Auftraggeber in der Regierung hatten andere Ansichten, die im Jahr 1833 im Zerwürfnis von Babbage und Clement über die Bezahlung von dessen Diensten mündeten. Entsprechend der damaligen Rechtsprechung durfte Babbage nur die gefertigten Teile behalten, die Konstruktionspläne der Differenzmaschine und deren Einzelteile sowie die hergestellten Werkzeuge blieben bei Clement.<ref name="Roegel_2009">{{Literatur |Autor=Denis Roegel |Titel=Prototype Fragments from Babbage’s First Difference Engine |Sammelwerk=IEEE Annals of the History of Computing |Band=31 |Nummer=2 (April–Juni) |Datum=2009 |ISSN=1058-6180 |Seiten=70–75 |Online=[http://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?tp=&arnumber=5070067 online] |Abruf=2012-08-12 |DOI=10.1109/MAHC.2009.31}}</ref> Als Besonderheit war in der ''Difference Engine No. 1'' ein Rekursionsmechanismus vorgesehen, durch den das Rechenergebnis, verschoben um beliebige [[Zehnerpotenz]]en, von der zweiten Differenz abgezogen werden konnte. Zu diesem Zeitpunkt wurde aus den bis dahin von Clement gefertigten Teilen der Demonstrator der Differenzmaschine No. 1 zusammengesetzt. Dieser Demonstrator wurde nie zu einer vollständigen Differenzmaschine ausgebaut; er ist heute im Science Museum in London zu besichtigen.<ref name="Campbell-Kelly_2003" />{{rp|127–128}} Als Clement die Konstruktionszeichnungen an Babbage aushändigte, war dessen Aufmerksamkeit ganz auf die [[Analytical Engine]] gerichtet, eine Maschine, die, wenn fertiggestellt, alle Differenzmaschinen hätte vollständig ersetzen können.<ref name="Franksen_1981">{{Literatur |Autor=Ole Immanuel Franksen |Titel=Mr. Babbage, the difference engine, and the problem of notation. An account of the origin of recursiveness and conditionals in computer programming |Sammelwerk=International Journal of Engineering Science |Band=19 |Nummer=12 |Datum=1981 |Seiten=1657–1694 |DOI=10.1016/0020-7225(81)90158-0}}</ref>{{rp|Abschnitt 12}}<ref name="Bromley_1987_2">{{Literatur |Autor=Allan G. Bromley |Titel=Review of O. I. Franksen’s 1981 article on Charles Babbage’s Difference Engine |Sammelwerk=IEEE Annals of the History of Computing |Band=5 |Nummer=4 |Datum=1987 |Seiten=411–415 |DOI=10.1109/MAHC.1983.10092}}</ref><ref name="Roberts_1987">{{Literatur |Autor=C. J. D. Roberts |Hrsg=Werner Buchholz |Titel=Babbage’s Difference Engine No. 1 and the Production of Sine Tables |Sammelwerk=IEEE Annals of the History of Computing |Band=9 |Nummer=2 |Datum=1987 |Seiten=210–212 |DOI=10.1109/MAHC.1987.10020}}</ref> Durch diesen Mechanismus konnten z. B. [[Trigonometrische Funktion]]en berechnet und nicht nur vorhandene Tabellenwerte interpoliert werden.<ref name="Roberts_1987" /> Es handelt sich bei dieser Erweiterung um den ersten Rekursionsmechanismus überhaupt.<ref name="Franksen_1981" />{{rp|Abschnitt 12}}

Kurz nach dem Bau des Demonstrators veröffentlichte [[Dionysius Lardner]] 1834 in der [[Edinburgh Review]] einen Artikel über die Rechenmaschine von Charles Babbage.<ref name="Lardner_1834" /> Babbage lieferte die Details für den Artikel, die Lardner jedoch fast nach Belieben ausschmückte und veränderte.<ref name="Campbell-Kelly_2003" />{{rp|130}} Ziel des Artikels war es, die Regierung von der Nützlichkeit der Maschine zu überzeugen und die weitere Finanzierung zu garantieren. Auch wenn er dieses Ziel verfehlte, so inspirierte er sowohl ''George Scheutz'' als auch ''Alfred Deacon'', eigene Differenzmaschinen zu konstruieren und auch zu bauen.

===== Fragmente aus Originalteilen =====
Auch wenn die Differenzmaschine No. 2 und die Originalteile von Babbage heute im Science Museum in London die zentralen Ausstellungsstücke in der Mathematik- und Computer-Abteilung sind,<ref name="Tee_1983">{{Literatur |Autor=Garry John Tee |Titel=The Heritage of Charles Babbage in Australasia |Sammelwerk=Annals of the History of Computing |Band=5 |Nummer=1 |Datum=1983 |Seiten=45–60 |DOI=10.1109/MAHC.1983.10006}}</ref>{{rp|47}} wollte das Museum zu seinen Lebzeiten die Differenzmaschine, die Demonstratoren späterer Differenzmaschinen oder Teile davon nicht aufnehmen.<ref name="Babbage_1864">{{Literatur |Autor=Charles Babbage |Titel=Passages from the Life of a Philosopher |Verlag=Longman, Green, Longman, Roberts & Green |Ort=London |Datum=1864 |Online={{archive.org|passagesfromlif01babbgoog|Blatt=}}}}</ref>{{rp|148}}
Im Jahre 1879, nach dem Tod von Babbage, setzte sein jüngster Sohn, Henry Prevost Babbage, aus den vorgefundenen Originalteilen, die allesamt vor 1834 hergestellt wurden, sechs eigenständige Differenzmaschinen-Fragmente zusammen<ref name="Tee_1983" />{{rp|Appendix 4}} und verschenkte sie.<ref name="Cohen_1988">{{Literatur |Autor=I. Bernard Cohen |Titel=Babbage and Aiken |TitelErg=with Notes on Henry Babbage’s Gift to Harvard, and to other Institutions, of a Portion of His Father’s Difference Engine |Sammelwerk=IEEE Annals of the History of Computing |Band=10 |Nummer=3 (Juli–September) |Datum=1988 |Seiten=171–193 |DOI=10.1109/MAHC.1988.10029}}</ref>
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Demonstration model of Babbage’s Difference Engine No 1, 19th century. (9660573663).jpg|Ursprünglich [[University College London]],<ref name="Cohen_1988" />{{rp|187}} jetzt [[Science Museum]], London.
BabbageDifferenceEngine.jpg|[[Whipple Museum]], [[Cambridge]].
Difference Engine Fragment 3 Babbage.jpg|Ursprünglich von ''H. W. Buxton'', jetzt [[Museum of the History of Science]], [[Oxford]]. Funktionsloses Modell.<ref name="Roegel_2009" />{{rp|73f.}}
30x-Polaroid.png|[[Owens College]], Manchester, z. Z. nicht auffindbar.<ref name="Cohen_1988" />{{rp|187}}
30x-Polaroid.png|Croft Laboratory, [[Harvard University]].<ref name="Cohen_1988" />{{rp|Figure 1, 4}}
30x-Polaroid.png|The Collection of Jean Babbage, Auckland, Neuseeland.<ref name="Tee_1983" />{{rp|Figure 11}}
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==== Difference Engine No. 2 ====
Im Jahr 1849 besann sich Babbage wieder auf seine Verpflichtungen der Regierung gegenüber und wandte sich von der weiteren Entwicklung der ''Analytical Engine'' ab, um seine ''Difference Engine No. 2'' zu konstruieren. Er wollte seine durch die Beschäftigung mit dem Entwurf seiner ''Analytical Engine'' gewonnenen konstruktiven Fortschritte auf die Differenzmaschinen übertragen.<ref name="Bromley_1987_1">{{Literatur |Autor=Allan G. Bromley |Titel=The Evolution of Babbage’s Calculating Engines |Sammelwerk=IEEE Annals of the History of Computing |Band=9 |Nummer=2 |Datum=1987 |Seiten=113–136 |DOI=10.1109/MAHC.1987.10013}}</ref> Es ging Babbage hierbei nur um die Anfertigung der Konstruktionszeichnungen, nicht um den eigentlichen Bau der Differenzmaschine. Er ging davon aus, dass die Regierung den Bau der Differenzmaschine No. 2 eigenverantwortlich durchführen würde.<ref name="Dodge_1873">{{Literatur |Autor=N. S. Dodge |Titel=Charles Babbage eulogy |Sammelwerk=IEEE Annals of the History of Computing |Band=22 |Nummer=4 |Datum=2000 |Seiten=22–43 |Kommentar=Kommentierter Nachdruck aus dem Smithonian Report von 1873 |DOI=10.1109/MAHC.2000.887987}}</ref> Durch die Erstellung der Konstruktionszeichnung wollte er seine Schuld gegenüber der Regierung für die Nichtfertigstellung der Differenzmaschine No. 1 begleichen.<ref name="Campbell-Kelly_2003" />{{rp|129}} Der Satz der Konstruktionszeichnungen für die Differenzmaschine No. 2 ist der einzige vollständige Satz an Konstruktionszeichnungen für eine von Babbages Maschinen, alle anderen Maschinen wurden nur unvollständig dokumentiert.<ref name="Campbell-Kelly_2003" />{{rp|129}} Die Konstruktion der Differenzmaschine No. 2 hatte eine Breite und Höhe von jeweils 3 Metern bei einer Tiefe von 1,5 Metern. Die Maschine konnte mit 7 Differenzen bei jeweils 31 Stellen rechnen.<ref name=":1">Gerard O’Regan: [https://books.google.com/books?id=QqrItgm351EC&lpg=PA204&dq=Difference%20Engine%20No.%202%20order&hl=en&pg=PA204#v=onepage&q=Difference%20Engine%20No.%202%20order&f=false ''A Brief History of Computing.''] Springer Science & Business Media, ISBN 978-1-4471-2359-0.</ref> Ein angebauter Drucker sollte die Rechenergebnisse direkt in eine [[Matrize (Druck)|Druckmatrize]] übertragen.

===== Bau der Differenzmaschine No. 2 im Science Museum, London =====
Erst zwischen 1989 und 1991 wurde im Londoner [[Science Museum]] die ''Difference Engine No. 2'' gebaut und ihre Funktionsfähigkeit nachgewiesen.<ref>Doron D. Swade: ''Der mechanische Computer des Charles Babbage.'' In: ''Spektrum der Wissenschaft.'' 4, 1993, S. 78–84.</ref> 2000 wurde der ebenfalls von Babbage entworfene Drucker fertiggestellt.<ref>[https://collection.sciencemuseumgroup.org.uk/objects/co62748/babbages-difference-engine-no-2-2002 Fertigstellung des Druckers: 2000]</ref> Die Kombination von Rechenmaschine und Drucker ist etwa fünf Tonnen schwer und wurde aus 8000 Bronze- und Gussteilen zusammengesetzt. 2008 wurde eine weitere, ebenfalls vom Science Museum in London gebaute ''Difference Engine No. 2'' einschließlich Drucker im kalifornischen [[Computer History Museum]] vorgestellt<ref>[http://www.computerhistory.org/babbage/ Webseite des Museums]: „An identical Engine completed in March 2008 is on display at the Computer History Museum“</ref> und bis Januar 2016 ausgestellt.<ref>[http://www.computerhistory.org/exhibits/babbage/ Webseite des Museums]: "The Babbage Difference Engine No. 2 was on Display from May 2008 till January 2016"</ref> Der Bau der Difference Engine Nr. 2 am Science Museum in London geschah unter Leitung des Kurators [[Doron Swade]] und in Zusammenarbeit mit dem Computerhistoriker [[Allan G. Bromley]].

Das Science Museum legt Wert darauf, dass es sich bei den beiden Differenzmaschinen No. 2 nicht um Replikate handelt, da Charles Babbage niemals eine funktionsfähige ganze Differenzmaschine No. 2 baute. Die Maschinen von 1991 und 2008 werden deshalb als Originale bezeichnet.<ref>[http://www.computerhistory.org/babbage/modernsequel/ Second Original]</ref>

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Babbage Difference Engine.jpg|Differenzmaschine No. 2, Science Museum, London
Babbage Difference Engine (Being utilised).jpg|Differenzmaschine No. 2, Computer History Museum, Ca
LondonScienceMuseumsReplicaDifferenceEngine.jpg|Zahlenwalzen
Babbage Difference Engine (The output end).jpg|Drucker
Charles Babbage Difference Engine No2 Gears on Drawing.jpg|Zeichnung mit Zahnrädern und Hebelwerk
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=== Georg und Edvard Scheutz ===
[[Datei:Scheutz maskin 2012.jpg|mini|Scheutz Prototyp von 1843, restauriert. Holzrahmen mit den beweglichen Teilen aus Metall. Antriebskurbel vorne links.<br />Maschine im [[Tekniska museet]], Stockholm]]

==== Scheutz No. 0 ====
Im Rahmen seiner verlegerischen Tätigkeit kam Scheutz 1830 mit den Ausführungen von [[Charles Babbage]] über dessen Differenzmaschine in Berührung.<ref name="Lindgren_1990" />{{rp|98}} Er war von der Idee, eine Maschine zu bauen, die rechnen und das Ergebnis gleich auf Druckplatten festhalten konnte, fasziniert. Mit Hilfe einer detaillierten Funktionsbeschreibung in einer Übersichtsarbeit von ''Dionysius Lardner'' in der ''Edinburgh Review''<ref name="Lardner_1834" /><ref>{{Literatur |Autor=Dionysius Lardner |Hrsg=Martin Campbell-Kelly |Titel=Babbage’s calculating engine |Sammelwerk=The Works of Charles Babbage |WerkErg=The Difference Engine and Table Making |Band=2 |Verlag=William Pickering |Ort=London |Datum=1989 |ISBN=1-85196-005-8 |Seiten=118–186 |Kommentar=Abdruck aus ''The Edinburgh Review'' von 1834}}</ref> konstruierte Georg Scheutz ein Modell aus Holz, Draht und Pappe, um sich von der Funktionsfähigkeit des Prinzips zu überzeugen.<ref name="Lindgren_1990" />{{rp|104f.}} Im Sommer 1837 erlaubte er seinem 16-jährigen Sohn, dem späteren Ingenieur [[Edvard Scheutz]] (1821–1881), ein größeres Modell aus Metall zu bauen. Georg Scheutz war von den Möglichkeiten dieses Modells derart begeistert, dass er es der [[Königlich Schwedische Akademie der Wissenschaften|Königlich Schwedischen Akademie der Wissenschaften]] vorstellte und um finanzielle Unterstützung für die Herstellung einer vollständigen Differenzmaschine bat. Die Unterstützung wurde nicht gewährt.

Edvard Scheutz verfeinerte das Modell weiter: Eine Differenzmaschine mit fünf Stellen und einer Differenz war 1840 fertiggestellt, die Erweiterung auf drei Differenzen 1843.

Das Modell von 1843 wurde nach dem Tod von Edvard Scheutz für 50 Kronen an das [[Nordiska Museet]], Stockholm, verkauft.<ref name="Lindgren_1990" />{{rp|Appendix 1}} Das Modell wurde im Dezember 1979 von Michael Lindgren, im Rahmen der Recherche für seine Dissertation, im Fundus des Museums wiederentdeckt und zusammen mit ''Per Westberg'', dem Möbel-Restaurator des Museums, so weit wie möglich restauriert. Da das Hauptantriebs-Zahnrad bereits vor Wiederentdeckung zahlreiche abgebrochene Zähne aufwies und dieses Zahnrad als zentrales Teil der Maschine im Rahmen der Restaurierung nicht ersetzt werden sollte, befindet sich die Maschine derzeit in einem nicht funktionsfähigen Zustand. Das Modell wird im [[Tekniska museet]], Stockholm, ausgestellt.<ref>{{Webarchiv|url=http://www.tekniskamuseet.se/1/1779.html |wayback=20120703010315 |text=Exponat hier sichtbar}}</ref>

[[Datei:Scheutz mechanical calculator.png|mini|Scheutz Differenzmaschine No. 1. (1853)<br />Maschine seit 1963 Teil der [[Smithsonian Institution]], USA]]

==== Scheutz No. 1 ====
1844 suchte George Scheutz bei der [[König von Schweden|schwedischen Krone]] um finanzielle Unterstützung für den Bau eines vollständigen Modells der Differenzmaschine nach. Erst 1851 wurde ihm ein Drittel des ursprünglichen Betrages für den Fall versprochen, dass er ein vollständig funktionierendes Modell vorführen könne. Mit technischer und logistischer Unterstützung durch [[Johan Wilhelm Bergström]] (1812–1881) konnten Georg und Edvard Scheutz im Oktober 1853 eine funktionsfähige 15-stellige Differenzmaschine mit einer Tiefe von vier Differenzen vorstellen, die ein achtstelliges Ergebnis drucken konnte.<ref name="Merzbach_1977">{{Literatur |Autor=Uta C. Merzbach |Titel=Georg Scheutz and the first printing calculator |Sammelwerk=Smithsonian Studies in History and Technology |Band=36 |Verlag=Smithsonian Institution Press |Ort=City of Washington |Datum=1977 |Online=[http://www.sil.si.edu/smithsoniancontributions/HistoryTechnology/pdf_hi/SSHT-0036.pdf online] |Format=PDF |KBytes=30900 |Abruf=2012-09-10 |LCCN=76-15379}}</ref>{{rp|13}} Die Maschine wird auch als ''Scheutz No. 1'' bezeichnet: Die erste vollständige Differenzmaschine der Scheutzs. Manche Autoren bezeichnen die No. 1 auch als die zweite Maschine der Scheutzs, sie sehen den Demonstrator von 1843 als erste Differenzmaschine der Scheutzs an.<ref name="Lindgren_1990">{{Literatur |Autor=Michael Lindgren |Titel=Glory and failure |TitelErg=The difference engines of Johann Müller, Charles Babbage and Georg and Edvard Scheutz |Reihe=Stockholm papers in history and philosophy of technology |BandReihe=2017 |Auflage=2. |Verlag=MIT Press |Datum=1990 |ISBN=0-262-12146-8 |Kommentar=Zugleich Dissertationsschrift Linköping Universität (Linköping studies in arts and science, Band 9, 1987) |Originalsprache=sv |Übersetzer=Craig G. McKay}}</ref>

Im Herbst 1854 starteten die Scheutzs auf eine Werbereise für die Differenzmaschine nach England. Hier wurde ihnen am 13. April 1855 ein Patent (No. 2216 aus 1854) erteilt. Die Maschine wurde u. a. in [[Somerset House]] der [[Royal Society]] ausgestellt, vorgeführt und begutachtet.<ref name="Stokes_1855">{{Literatur |Autor=George G. Stokes, W. H. Miller, Charles Wheatstone, R. Willis |Titel=Report of a Committee appointed by the Council to examine the Calculating Machine of M[essrs] Scheutz |Datum=1855 |Seiten=499–509}}</ref> Anschließend wurde die Maschine auf der [[Weltausstellung Paris 1855|Pariser Weltausstellung von 1855]] gezeigt.
Charles Babbage zeigte Interesse an der Maschine der Scheutzs und unterstützte diese sowohl in London als auch in Paris bei ihren Verkaufsbemühungen, jedoch nicht ohne seinen Beitrag herauszustellen.<ref name="Merzbach_1977" />{{rp|20–1}} Er versuchte vergeblich, die Royal Society (London) davon zu überzeugen, Georg Scheutz zum Mitglied zu ernennen.<ref name="Merzbach_1977" />{{rp|22}}

1856 veranlasste [[Benjamin Apthorp Gould|Benjamin A. Gould]] den Kauf der Differenzmaschine für 1000 [[£]] für das [[Dudley Observatory]] in [[Schenectady]], N. Y.<ref name="Merzbach_1977" />{{rp|25}} Die Maschine wurde im April 1857 geliefert und im nachfolgenden Winter für zwei Monate<ref name="Lindgren_1990" />{{rp|282}} in Betrieb genommen.<ref name="Merzbach_1977" />{{rp|26}} Nach diesen zwei Monaten wurde Gould von seinen Aufgaben entbunden und die Maschine nicht weiter genutzt.<ref name="Lindgren_1990" />{{rp|282–283}} Die ''Scheutz No. 1'' wurde somit nie entsprechend ihrer eigentlichen Bestimmung, der direkten Erstellung von Druckvorlagen für Tabellenwerke, eingesetzt.<ref name="Merzbach_1977" />{{rp|42}} 1963 wurde die Differenzmaschine der [[Smithsonian Institution]] übereignet.<ref name="Smithonian_1996">{{Literatur |Autor=Edwards Park |Titel=What a difference the Difference Engine made |TitelErg=From Charles Babbage’s calculator emerged today’s computer |Sammelwerk=Smithsonian magazine |Datum=1996-02 |Online=[http://www.smithsonianmag.com/history-archaeology/object_feb96.html online] |Abruf=2012-08-05}} {{Webarchiv |url=http://www.smithsonianmag.com/history-archaeology/object_feb96.html |text=online |wayback=20131121065348 }}</ref>

==== Scheutz No. 2 ====
[[Datei:Difference engine Scheutz.jpg|mini|Scheutz Differenzmaschine No. 2. (1859)<br />Maschine im [[Science Museum]], London.]]
Eine zweite Differenzmaschine (Scheutz No. 2), praktisch eine Kopie der ersten Maschine, baute Edvard Scheutz im Auftrag des britischen Finanzministeriums zusammen mit [[Bryan Donkin]] in London, England, auf. Die Maschine wurde nach 19 Monaten Bauzeit am 5. Juli 1859 übergeben.<ref name="Lindgren_1990" />{{rp|223f.}} Die ersten mit Druckvorlagen aus der Maschine gedruckten Tabellen waren die Barometertabellen von [[William Gravatt]],<ref>William Gravatt, ''Companion to the Barometer, Mountain Barometer Tables; Calculated and Stereotyped by Messrs. Scheutz’s Calculating Machine No. 2 and Printed by Machinery.'' London 1859.</ref> 1859.<ref name="Lindgren_1990" />{{rp|224}} In den folgenden Jahren wurden u. a. die Sterbetafeln (London, 1864) mit Hilfe der Differenzmaschine berechnet.<ref name="Lindgren_1990" />{{rp|231}} Die Maschine wurde 1914 ausgemustert und dem [[Science Museum]] in London übereignet.<ref name="Merzbach_1977" />{{rp|32}}

Obwohl die Scheutzs nur zwei Differenzmaschinen bauten und diese Maschinen nicht fehlerfrei funktionierten,<ref name="Merzbach_1977" />{{rp|26,31}} gelang es ihnen, für diese beiden Maschinen ein [[öffentliches Interesse]] zu wecken.<ref name="Merzbach_1977" />{{rp|32}} Neben den Ausstellungen führten die Scheutzs ihre Maschine immer wieder vor. 1857 druckten die Scheutzs eine 50-seitige Broschüre über die Möglichkeiten der Differenzmaschine, einschließlich einer 29-seitigen [[Logarithmentafel]] von 1 bis 10.000.<ref name="Scheutz_1857" /><ref name="Lindgren_1990" />{{rp|207f.}} Das Buch wurde an alle möglichen Kaufinteressenten einer Differenzmaschine verschickt.<ref name="Lindgren_1990" />{{rp|Appendix 2}} Eine französische Ausgabe wurde 1858 fertiggestellt.<ref name="Lindgren_1990" />{{rp|380}}

=== Alfred Deacon ===
Die Übersichtsarbeit von ''Dionysius Lardner'' in der ''Edinburgh Review''<ref name="Lardner_1834" /> inspirierte nicht nur George Scheutz zur Konstruktion einer Differenzmaschine, sondern auch unabhängig davon Alfred Deacon aus London. Dessen Maschine konnte mit drei Differenzen und 20 Stellen rechnen.<ref name="Scheutz_1857" />{{rp|ix}} Die Maschine ist verlorengegangen, es ist aber möglich, dass sie sich zumindest zeitweise im Besitz von Charles Babbage befand, der für die [[Weltausstellung London 1862|Weltausstellung in London (1862)]] eine kleine Differenzmaschine aus London als Exponat anbot.<ref name="Campbell-Kelly_2003" />{{rp|136}}<ref name="Babbage_1864" />{{rp|155}}

=== Martin Wiberg und George Bernard Grant ===
Der Erfolg von George und Edvard Scheutz in der Konstruktion einer Differenzmaschine führte Martin Wiberg (1826–1905) und George Bernard Grant (1849–1917) zu eigenen Konstruktionen.

Martin Wiberg stellte seine Maschine mit vier Differenzen und einem Rechenwerk von 15 Stellen 1860 vor. Neben einer Würdigung durch den zukünftigen schwedischen König [[Oskar II. (Schweden)|Oscar II.]] und zahlreichen Auszeichnungen<ref name="Merzbach_1977" />{{rp|32–33}} wurde die Maschine auf Empfehlung von Charles Babbage in der [[Académie des sciences]] vorgestellt und wohlwollend beurteilt.<ref name="Merzbach_1977" />{{rp|32–33}}<ref name="Mathieum_1863">{{Literatur |Autor=Mathieum Chasles, Delaunay |Titel=Rapport sur la machine a calculer presentee par M. Wiberg |Sammelwerk=Competes Rendus |WerkErg=Hebdomadaires des seances de L’academie des Sciences |Band=56 |Nummer=1 |Verlag=Mallet-Bachelier |Ort=Paris |Datum=1863 |Seiten=330–339 |Online={{archive.org|ComptesRendusAcademieDesSciences0056|Blatt=}}}}</ref> Wibergs Ziel war nicht der Verkauf der Maschine, sondern die Erstellung von wissenschaftlichen Tabellen bzw. deren Druckvorlagen. Eine mit der Maschine berechnete Logarithmentafel konnte Wiberg erst 1875 in Schwedisch und 1876 in Deutsch und Englisch herausgeben.<ref name="Wiberg_1876">{{Literatur |Autor=Martin Wiberg |Titel=Tables de logarithmes, calculées et imprimées au moyen de la machine à calculer |Verlag=Compagnie anonyme de Forsete |Ort=Stockholm |Datum=1876}}</ref><ref name="RCA_1947">{{Literatur |Autor=[[Raymond Clare Archibald]] |Titel=Martin Wiberg, his Table and Difference Engine |Sammelwerk=Mathematical Tables and Other Aids to Computation |Band=2 |Nummer=20 |Datum=1947-10 |Seiten=371–374 |Kommentar=Rezension |Online=[http://www.ams.org/journals/mcom/1947-02-020/S0025-5718-47-99566-5/S0025-5718-47-99566-5.pdf online] |Format=PDF |KBytes=561}}</ref> In der Einleitung seiner Tafeln machte Wiberg sein Bemühen um eine ansprechende Typographie für die Verzögerungen verantwortlich.<ref name="RCA_1947" /> Das Tafelwerk wurde 1876 auf der [[Centennial Exhibition|Weltausstellung in Philadelphia]] ausgestellt. Die Nachfrage war gering, das Tafelwerk ist heutzutage sehr selten.<ref name="Campbell-Kelly_2003" />{{rp|131–132}} Die Differenzmaschine befindet sich im [[Tekniska museet]] in Stockholm.

[[Datei:Grant 1876 Calculating Machine.jpg|mini|Differenzmaschine von George Bernard Grant, 1876]]
George Bernard Grant hörte 1870 noch als Student zum ersten Mal etwas von den Differenzmaschinen des Charles Babbage. Zu diesem Zeitpunkt hatte er schon zahlreiche Versuche unternommen, Rechenvorgänge zu mechanisieren.<ref name="Campbell-Kelly_2003" />{{rp|132–135}} Seinen Demonstrator einer Differenzmaschine stellte er 1871 fertig und beschrieb ihn in einer Veröffentlichung.<ref name="Grant_1871">{{Literatur |Autor=George Bernard Grant |Titel=On a New Difference Engine |Sammelwerk=American Journal of Science |WerkErg=Third Series |Datum=1871-08 |Seiten=113–117 |Online={{archive.org|mobot31753002152806|Blatt=}}}}</ref> Nach seinem Abschluss arbeitete er weiter an der Differenzmaschine. Ziel war es, zur Weltausstellung in Philadelphia (1876) eine funktionsfähige Maschine auszustellen. Die Maschine wurde wenige Tage vorher fertig, jedoch war sie nicht vollständig einsetzbar.<ref name="Campbell-Kelly_2003" />{{rp|133}} Die Maschine war 2,5 m lang und 1,5 m hoch und konnte mit einer Handkurbel betrieben werden. Wurde die Handkurbel durch einen [[Riemengetriebe|Riementrieb]] ersetzt, so verdoppelte sich die Rechenleistung von 12 Termen pro Minute auf 24.<ref name="Merzbach_1977" />{{rp|35}} Als Zugeständnis an seine Geldgeber wurde die Maschine an die [[University of Pennsylvania]] übereignet. Die Maschine ist untergegangen.<ref name="Campbell-Kelly_2003" />{{rp|134}} Eine Differenzmaschine nach den Plänen von Grant wurde an die ''Provident Mutual Life Insurance Company'', wo sie zur Berechnung von Sterbetafeln genutzt wurde, verkauft.<ref name="Williams_1995">{{Literatur |Autor=Michael R. Williams |Titel=A History of Computing Technology |Auflage=2. |Verlag=IEEE Computer Science Press |Ort=Los Alamitos, Ca. |Datum=1995 |ISBN=0-8186-7739-2}}</ref>{{rp|176}}

=== Christel Hamann ===
[[Datei:Hamann 1910 Differenzmaschine.jpg|mini|Differenzmaschine von Christel Hamann]]
Als [[Julius Bauschinger]] und Johann Theodor Peters<ref name="Campbell-Kelly_2003" />{{rp|135}} (1889–1941) ein Projekt zur Erstellung von achtstelligen statt der bisherigen siebenstelligen Logarithmentafeln für die [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] und die [[Trigonometrische Funktion|trigonometrischen Funktionen]] begannen, wandten sie sich mit der Bitte um die Konstruktion einer Differenzmaschine an [[Christel Hamann]] (1870–1948).<ref name="Campbell-Kelly_2003" />{{rp|135–136}} Hamann lieferte die Maschine 1909 aus. Eine detaillierte Beschreibung der Maschine findet sich im Vorwort des ersten Bandes der Tafeln.<ref name="Bauschinger_1910_1" />{{rp|xi-xv}} Es handelte sich um eine 16-stellige Maschine mit zwei Differenzen und eingebautem Papierdrucker. Die Differenzmaschine war sehr viel einfacher aufgebaut als die bisherigen Konstruktionen: Nicht nur arbeitete sie mit nur zwei Differenzen, auch hatte sie keine Art von Automatik, d. h. der Nutzer musste selbst erst die zweite Differenz durch das Betätigen der einen Kurbel zu der ersten addieren, um dann mit der zweiten Kurbel die erste Differenz zum Funktionswert zu addieren. Trotz dieser Einschränkung konnte ein geübter Benutzer 36 Tabelleneinträge in fünf Minuten berechnen.<ref name="Campbell-Kelly_2003" />{{rp|136}} Bauschinger und Peters planten ihr Tabellenwerk um eine Differenzmaschine mit nur zwei Differenzen, indem sie die Maschine nur zur Interpolation über kleine Intervalle nutzten.<ref name="Campbell-Kelly_2003" />{{rp|136}} Die Maschine selbst ist untergegangen,<ref name="Campbell-Kelly_2003" />{{rp|135–136}} ein Abbild findet sich in der Umschlagseite der 1910 herausgegebenen Tafeln.<ref name="Bauschinger_1910_1" /><ref name="Bauschinger_1910_2" />

=== Burroughs Adding Machine Company ===
[[Datei:Burroughs 1914 Difference Engine.jpg|mini|Eingabefeld, Burroughs Maschine der Nautical Almanac Office]]
Um 1912 trat T. C. Hudson vom [[Nautical Almanac|Nautical Almanac Office]] an die [[Burroughs Corporation|Burroughs Adding Machine Company]] mit der Bitte um die Konstruktion einer im Sechziger-[[Zahlensystem]] arbeitende Differenzmaschine heran. Die von Hudson zu berechnenden Tabellen listeten [[Winkel]] in Grad, Minuten und Sekunden.<ref name="Comrie_1928" />{{rp|450–451}} Schon die erste Maschine von Babbage konnte, durch einfachen Tausch der Zahlenwalzen, mit verschiedenen Zahlsystemen unterschiedlicher [[Stellenwertsystem#Gebräuchliche Basen|Basen]] umgehen, da die englische Währung zum damaligen Zeitpunkt aus [[Penny (Münze)|Pence]], [[Shilling#Großbritannien|Shilling]] und [[Pfund Sterling|Pfund]] nicht auf der Basis gebildet war: 12 Pence = 1 Shilling, 20 Shilling = 1 Pfund. Hudson bekam für seine Arbeit eine tastaturbetriebene Buchhaltungsmaschine, die sowohl im Zehner- als auch im Sechzigersystem rechnen konnte und zusätzlich direkt subtrahieren konnte, also keine [[Zehnerkomplement (Mathematik)|Komplementbildung]] vor der Addition benötigte.<ref name="Comrie_1932_1">{{Literatur |Autor=Leslie John Comrie |Titel=The Nautical Almanac Office Burroughs Machine |Sammelwerk=Monthly Notices of the Royal Astronomical Society |Band=92 |Datum=1932-04 |Seiten=523–541, Tafeln 5 & 6 |bibcode=1932MNRAS..92..523C}}</ref> Die Maschine konnte jedoch nur eine Addition oder Subtraktion durchführen, weswegen der Ausdruck der ersten Differenz ein weiteres Mal durch die Maschine geführt wurde, um den eigentlichen Funktionswert zu berechnen. Durch geschicktes Einspannen des Ausdrucks wurde das Ergebnis der ersten Rechnung von der Eingabe der ersten Differenz im zweiten Berechnungsschritt überdruckt, wodurch Fehleingaben offensichtlich wurden. Die Maschine wurde 1914 auf der ''Napier Tercentenary Exhibition'' in [[Edinburgh]] ausgestellt.<ref name="Hudson_1914">{{Literatur |Autor=T. C. Hudson |Hrsg=Ellice Martin Horsburg |Titel=H.M. Nautical Almanac Office Anti-Difference Machine |Sammelwerk=The Tercentenary Exhibition of Napier Relics |WerkErg=1914: Edinburgh, Scotland |Verlag=G. Bell and Sons, Royal Society of Edinburgh |Ort=London |Datum=1914 |Seiten=127–131 |Online={{archive.org|moderninstrument00horsuoft|Blatt=}}}}</ref> Für die tägliche Nutzung wurden zwei der Maschinen über ihren Ausdruck hintereinander gekoppelt, so dass die erste Maschine die zweiten Differenzen zu den ersten addierte und die zweite Maschine die erste Differenz zum Ergebnis addierte.<ref name="Comrie_1928" />{{rp|451}}<ref name="Comrie_1932_1" /> Später fügte Burroughs ein zusätzliches Register für die erste Differenz in die Maschinen hinzu, so dass eine Buchungsmaschine als Differenzmaschine mit zwei Differenzen genutzt werden konnte.<ref name="Comrie_1928" />{{rp|451}}

=== Leslie John Comrie ===
[[Leslie John Comrie]] führte die Idee von T. C. Hudson, aus Standard-Büromaschinen durch minimale Änderungen Differenzmaschinen zu bauen, weiter: Jede neue Maschine wurde von ihm detailliert untersucht und beschrieben.<ref name="Comrie_1933_29">{{Literatur |Autor=Leslie John Comrie |Titel=Modern Babbage Machines |TitelErg=A typescript of Comrie’s Modern Babbage Machines |Sammelwerk=Bulletin of the Office Machinery Users’ Association Limited |Datum=1933 |Seiten=29}}</ref> Comrie nutzte die Differenzmaschinen hauptsächlich zur Kontrolle von Tabellenwerken.

==== Brunsviga Dupla ====
1928 stellte Comrie die [[Brunsviga]]-Dupla, eine Rechenmaschine mit Zwischenregister, als Differenzmaschine vor. Er schrieb praktisch eine Bedienungsanleitung für die Rechenmaschine als Differenzmaschine, indem er darlegte, wie man das der Maschine eigene Zwischenregister nutzen sollte.<ref name="Comrie_1928" /> Die Maschine ist sehr selten,<ref name="Campbell-Kelly_2003" />{{rp|136}} die Rechenwege können heutzutage am einfachsten durch Simulationen nachvollzogen werden.<ref name="Brunsviga_Dupla">[http://www.mechrech.info/workmod/BruDupla/BruDuplaMod.htm Flash Simulation] der Brunsviga-Dupla</ref>

==== Hollerith Tabulationsmaschine ====
Es war Comrie, der bei der begutachtenden Zerlegung einer neuen Buchungsmaschine, der ''Hollerith Tabulating Machine'', die in der Maschine versteckten mechanischen Register für die Zwischensummen der [[Konto|Buchungskonten]] entdeckte und eine Nutzung der Maschine als Differenzmaschine beschrieb.<ref name="Comrie_1932_2">{{Literatur |Autor=Leslie John Comrie |Titel=The application of the Hollerith tabulating machine to Brown’s tables of the moon |Sammelwerk=Monthly Notices of the Royal Astronomical Society |Band=92 |Datum=1932-04 |Seiten=694–707, Tafeln 11–13 |bibcode=1932MNRAS..92..694C}}</ref> Die Tabulationsmaschinen konnten ohne Umbauten als druckende Differenzmaschine genutzt werden.

[[Datei:Triumphator Typ C.jpg|mini|Triumphator Typ C1.<br />Vier von diesen Maschinen bildeten die Basis für die von Thompson gebaute Differenzmaschine.]]

=== Alexander John Thompson ===
Für die Berechnung seiner zwischen 1924 und 1952 herausgegebenen 20-stelligen Logarithmentafeln<ref name="Thompson_1952_1" /><ref name="Thompson_1952_2" /> suchte [[Alexander John]] Thompson vergebens nach einer Maschine, die mit vier oder fünf Differenzen rechnen konnte. Er koppelte vier ''Triumphator Typ C''-Rechenmaschinen ([[Sprossenrad]]maschinen, auch nach [[Willgodt Theophil Odhner]] als Odhner-Maschinen bezeichnet) mechanisch so hintereinander, dass der Inhalt des Ergebnisregisters der hinteren Maschine auf die Sprossenräder der vorderen Maschine übertragen werden konnte. Ebenso konnten die Einstellungen der Sprossenräder der vorderen Maschine auf das Ergebnisregister der hinteren Maschine übertragen werden. Weiterhin wurde die Zahl der Sprossenräder jeder Maschine von 9 auf 13 Stellen, die der Ergebnisregister von 13 auf 18 Stellen erweitert.<ref name="Thompson_1952_1" />{{rp|liv-lvi}}

== Funktionsweise ==
Differenzmaschinen dienen der Berechnung von [[Folge (Mathematik)|Zahlenfolgen]]. Als Differenz wird der numerische Abstand zwischen zwei benachbarten Elementen der Folge bezeichnet. Diese Differenzen bilden ihrerseits wieder eine Folge. Berechnet man aus diesen ersten Differenzen erneut die Differenz, so spricht man von der zweiten Differenz.

Allgemein gilt, dass bei einer auf einem [[Polynom]] n-ter Ordnung basierenden Folge die n-te Differenz konstant ist. Diese Eigenschaft kann man sich dahingehend zu Nutze machen, dass man für die Konstruktion der Folge erst die n-ten, dann die n-1-ten usw. Differenzen durch Addition bildet, bis man die eigentliche Folge berechnet hat. Natürlich muss man für dieses Vorgehen die Startwerte für die einzelnen Differenzen kennen. Die einmalige Bestimmung der Startwerte ist in der Regel aber wesentlich einfacher, als alle Elemente der Folge zu berechnen.

Die häufigste Nutzung der Differenzmaschinen war die [[Interpolation (Mathematik)|Interpolation]] von Werten zwischen bekannten Stützstellen: Man berechnete für eine Funktion die Funktionswerte mit der gesuchten Genauigkeit in einem weiteren Abstand als für die gewünschte Tabelle. Die Zwischenwerte wurden durch Berechnung eines Polynoms n-ter Ordnung durch die berechneten Stützstellen gewonnen. D. h. die Zwischenwerte wurden durch das Polynom nur angenähert. Bei entsprechender Wahl der Abstände zwischen der Stützstellung und einer ausreichenden Genauigkeit der Rechenschritte können die berechneten von den interpolierten Tabellenwerten nicht unterschieden werden. Die Interpolation wurde auch vor der Verfügbarkeit von Differenzmaschinen genutzt, nur dass die Berechnung dann von Menschen durchgeführt werden musste. Auch hier war der Rechenaufwand für die Interpolation deutlich geringer als für die Berechnung der Stützstellen.

Früh zeigte sich, dass sich für die Differenzmaschine interessante Einsatzmöglichkeiten ergeben, wenn die n-te Differenz nicht konstant ist. Charles Babbage sah hierfür vor, dass der Bediener die höchste Differenz vor jedem Berechnungsschritt anpassen konnte. Besonders einfach ist dies in der Maschine von Thompson möglich. Da die Differenzmaschine eigentlich nur addieren kann, sah Charles Babbage in seiner Differenzmaschine No. 1 eine Rückkopplung der Folge auf die höchste Differenz vor. Hierbei ist zu beachten, dass er bei der Rückkopplung die Wertigkeit der Stellen um Potenzen von 10 variieren konnte. Durch diesen ''Trick'' konnte die Differenzmaschine multiplizieren und z. B. die [[Sinus]]-Funktion direkt berechnen.

Der Legende nach hat Charles Babbage sich den druckenden Differenzmaschinen verschrieben, da in den verfügbaren Logarithmentafeln so viele Fehler waren. Mittlerweile ist die Fehlerzahl in den Logarithmentafeln objektiviert worden. Zwar konnte durch eine Verfolgung der Fehler nachgewiesen werden, welcher Tafelersteller bei wem abgeschrieben hat, insgesamt war die Zahl der Fehler, insbesondere bei Berücksichtigung der Korrekturnotizen, jedoch so gering, dass dies mehr als ein Verlegenheitsargument für die Konstruktion einer solch aufwendigen Maschine zu werten ist. Für die Scheutz No. 2-Maschine liegen umfangreiche Belege über die Funktionsgüte und Reparaturanfälligkeit vor: Die Maschine war weder ohne Fehler, noch war ihr Unterhalt preiswerter als ein menschlicher Berechner.

== Würdigung ==
Zum Zeitpunkt der Erfindung der Differenzmaschine durch Charles Babbage bildete die Maschine einen Rechenvorgang, der bis zu dem Zeitpunkt manuell durchgeführt wurde, nach. Charles Babbage gelang es 1822, eine funktionierende Differenzmaschine (No. 0) für Differenzen zweiter Ordnung zu bauen und vorzuführen; leider ist die Maschine untergegangen. Höchstwahrscheinlich wurden Einzelteile im Demonstrator der Differenzmaschine No. 1, sicher jedoch in den Fragmenten der Differenzmaschine No. 1, verbaut. Die von Babbage entworfenen Maschinen waren zu seiner Zeit herstellbar und hätten funktioniert. Durch die zahlreichen Veröffentlichungen über seine Differenzmaschinen und Werbung für Differenzmaschinen, die anhand seiner Artikel konstruiert und gebaut wurden, inspirierte er Generationen von Mathematikern, Ingenieuren und Bastlern, sich an der Automatisierung der Berechnung zu versuchen. Der große Durchbruch der Differenzmaschinen erfolgte durch die Nutzung der Maschine von Christel Hamann für das Tabellenwerk von Bauschinger und Peters. Den Höhepunkt und Abschluss erreichte die Nutzung der Differenzmaschine jedoch in der Vier-Differenz-Maschine von Alexander John Thompson und seiner Berechnung der 20-stelligen Logarithmentafeln zwischen 1924 und 1952.

== Liste der Differenzmaschinen ==
{| class="wikitable sortable"
|+ Differenzmaschinen
! Erfinder !! Erbauer !! Name !! Maschine !! Baubeginn !! Fertigstellung !! Differenzen !! Stellen Rechenwerk !! Stellen Drucker !! Einsatz !! Heutiger Standort !! Funktionsfähigkeit !! Quelle
|-
| Johann Helfrich Müller
|
|
| Beschreibung
| ---
| ---
|
|
|
| ---
| ---
| ---
|<ref name="Klipstein_1786" />
|-
| Charles Babbage
| Charles Babbage
| No. 0
| funktionsfähig
| 1820
| 1822
| 2
| 6
| ---
| Charles Babbage
| ---
| ---
|<ref name="Taylor_1992" /><ref name="Tee_1994" /><ref name="Babbage_1864" />{{rp|47}}
|-
| Charles Babbage
| Joseph Clement
| No. 1
| Demonstrator
|
| 1832
| 2
|
| ---
| ---
| Science Museum, London
| Ja
|
|-
| Charles Babbage
| Roberto Guatelli
| No. 1
| Demonstrator, Replikat
|
| ca. 1981
| 2
|
| ---
| ---
| Canada Science and Technology Museum, Ottawa, Kanada
| Ja
|
|-
| Charles Babbage
| Doron Swade
| No. 2
| funktionsfähig
|
| 1991/2000
| 7
| 31
|
|
| Science Museum, London
| Ja
|
|-
| Charles Babbage
| Doron Swade
| No. 2
| funktionsfähig
|
| 2008
| 7
| 31
|
|
| Computer History Museum, Ca.
| Ja
|
|-
| George Scheutz
| Edvard Scheutz
|
| Demonstrator
| 1837
| 1843
| 3
| 5
| ---
| ---
| Tekniska museet, Stockholm
| Nein
|
|-
| George Scheutz
| Edvard Scheutz, Johan Wilhelm Bergström
| Scheutz No. 1
| funktionsfähig
| 1851
| 1853
| 4
| 15
| 8
| Dudley Observatory, Schenectady, N.Y.
| National Museum of American History, Smithonian Institution, Washington D.C.
| Ja
|
|-
| George Scheutz
| Edvard Scheutz, Bryan Donkin
| Scheutz No. 2
| funktionsfähig
| 1857
| 1859
| 4
| 15
| 8
| Standesamt (General Register Office), Sommerset House, London
| Science Museum, London
| Ja
|
|-
| Martin Wiberg
| Martin Wiberg
|
| funktionsfähig
|
| 1860
| 4
| 15
|
|
| Tekniska museet, Stockholm
| Ja
|<ref name="Merzbach_1977" />{{rp|32–33}}
|-
| Alfred Deacon
| Alfred Deacon
|
| funktionsfähig
|
| 1862
| 3
| 20
|
|
|
|
|<ref name="Campbell-Kelly_2003" />{{rp|136}}<ref name="Babbage_1864" />{{rp|48,155}}
|-
| George Barnard Grant
| George Barnard Grant
|
| Demonstrator
| 1870
| 1871
|
|
|
| ---
| ---
| ---
|<ref name="Grant_1871" />
|-
| George Barnard Grant
| George Barnard Grant
| Grant’s Difference Engine
| bedingt funktionsfähig<ref name="Campbell-Kelly_2003" />{{rp|132–135}}
| 1874
| 1876
|
|
|
| ---
| ---
| ---
|<ref name="Campbell-Kelly_2003" />{{rp|132–135}}<ref name="Grant_1871" />
|-
| George Barnard Grant
| George Barnard Grant(?)
| Grant’s Difference Engine
| funktionsfähig
|
| 1876 oder später
|
|
|
| Provident Mutual Life Insurance Company
| unbekannt
| Ja
|<ref name="Williams_1995" />{{rp|176}}
|-
| Christel Hamann
| Christel Hamann
|
| funktionsfähig
|
| 1909
| 2
| 16
|
| Bauschinger, Peters
| ---
| ---
|<ref name="Bauschinger_1910_1" />{{rp|XI-XV}}
|-
| T. C. Hudson
| Burroughs Adding Machine Company
|
| funktionsfähig
|
| 1912
| 2
|
|
|
|
|
|<ref name="Comrie_1928" />{{rp|450–451}}
|-
|
| Brunsviga
| Brunsviga Dupla
| funktionsfähig
|
| 1928
| 2
| 16
| ---
|
|[[Deutsches Museum]], München; [[Braunschweigisches Landesmuseum]] (z. Z. nicht ausgestellt)
|
|<ref name="Comrie_1928" />
|-
|
|
| Hollerith Tabulating Machine
| funktionsfähig
|
|
|
|
|
|
|
|
|<ref name="Comrie_1932_2" />
|-
| Alexander John Thompson
| Alexander John Thompson, 4 mal Triumphator Typ C
|
| funktionsfähig
|
| 1924–1950
| 4
| 13
| ---
| Alexander John Thompson
|Dept. of Statistical Science, [[University College London]]<ref name="Weiss_2007">{{Literatur |Autor=Stephan Weiss |Titel=Difference Engines in the 20th Century |Sammelwerk=Proceedings 16th International Meeting of Collectors of Historical Calculating Instruments |Ort=Leiden |Datum=2010-09 |Online=[http://www.mechrech.info/publikat/DiffEng20c.pdf online] |Format=PDF |KBytes=859 |Abruf=2013-09-08}}</ref>
|Ja
|<ref name="Thompson_1952_1" />{{rp|liv-lvi}}
|}

== Literatur ==
* [[Allan G. Bromley]]: ''Difference and Analytical Engines'', in [[William Aspray]] (Hrsg.), ''Computing Before Computers'', Iowa State University Press 1990.
* {{Literatur
|Autor=Michael Lindgren
|Titel=Glory and failure
|TitelErg=The difference engines of Johann Müller, Charles Babbage and Georg and Edvard Scheutz
|Reihe=Stockholm papers in history and philosophy of technology
|BandReihe=2017
|Auflage=2.
|Verlag=MIT Press
|Datum=1990
|ISBN=0-262-12146-8
|Kommentar=Zugleich Dissertationsschrift Linköping Universität (Linköping studies in arts and science, Band 9, 1987)
|Originalsprache=sv
|Übersetzer=Craig G. McKay}}
* {{Literatur
|Autor=[[Uta C. Merzbach]]
|Titel=Georg Scheutz and the first printing calculator
|Reihe=Smithsonian Studies in History and Technology
|BandReihe=36
|Verlag=Smithsonian Institution Press
|Ort=Washington, D.C.
|Datum=1977
|Online=[http://www.sil.si.edu/smithsoniancontributions/HistoryTechnology/pdf_hi/SSHT-0036.pdf online]
|Format=PDF
|KBytes=30900
|Abruf=2012-05-05}}
* {{Literatur
|Hrsg=[[Bernhard Dotzler]]
|Titel=Babbages Rechen-Automate.
|Reihe=Computerkultur
|BandReihe=IV
|Verlag=Springer
|Ort=Wien / New York
|Datum=1996
|ISBN=3-211-82640-8}}
* {{Literatur
|Autor=[[Doron Swade]]
|Titel=The Cogwheel Brain
|TitelErg=Charles Babbage and the Quest to Build the First Computer
|Auflage=1.
|Verlag=Little, Brown & Co.
|Datum=2000
|Kommentar=Reprint bzw englische Ausgabe unter ''The Difference Engine'' bei Penguin}}
* Doron Swade: ''Redeeming Charles Babbage's Mechanical Computer'', Scientific American, Februar 1993

== Weblinks ==
{{Commonscat|Difference engines|Differenzmaschinen}}
* [http://www.sciencemuseum.org.uk/objects/computing_and_data_processing/1992-556.aspx?keywords=difference+engine+no.2 The London Science Museum exhibition on the Difference engine] (englisch)

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Rechenmaschine]]
[[Kategorie:Geschichte der Informatik]]
[[Kategorie:Charles Babbage]]

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